在經(jīng)典意義上，一個(gè)多面體(polyhedron) (英語詞來自希臘語 πολυεδρον，poly-，就是詞根πολυ?, 代表"多"， + -edron，來自εδρον，代表"基底"，"座"，或者"面")是一個(gè)三維形體，它由有限個(gè)多邊形面組成，每個(gè)面都是某個(gè)平面的一部分，面相交于邊，每條邊是直線段，而邊交于點(diǎn)，稱為頂點(diǎn)。立方體，棱錐和棱柱都是多面體的例子。多面體包住三維空間的一塊有界體積;有時(shí)內(nèi)部的體也視為多面體的一部分。一個(gè)多面體是多邊形的三維對(duì)應(yīng)。多邊形，多面體和更高維的對(duì)應(yīng)物的一般術(shù)語是多胞體。

正多面體 所謂正多面體，是指多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角。例如，正四面體(即正棱錐體)的四個(gè)面都是全等的三角形，每個(gè)頂點(diǎn)有一個(gè)三面角，共有三個(gè)三面角，可以完全重合，也就是說它們是全等的。

正多面體的種數(shù)很少。多面體可以有無數(shù)，但正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體。有些化學(xué)元素的結(jié)晶體呈正多面體的形狀，如食鹽的結(jié)晶體是正六面體，明礬的結(jié)晶體是正八面體。

古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾對(duì)五種小多面體作過專門研究，并將研究成果拿到柏拉頓學(xué)校教授。故而，西方數(shù)學(xué)界也將這五種正多面體稱為柏拉頓立體。

多面體要素是一種可存儲(chǔ)面集合的GIS 對(duì)象，能夠在數(shù)據(jù)庫中將 3D 對(duì)象的邊界表示為單個(gè)行。面可存儲(chǔ)表示要素組成部分的紋理、顏色、透明度和幾何信息。面中存儲(chǔ)的幾何信息可以是三角形、三角扇、三角條帶或環(huán)。

所有多面體都將 z 值作為用于構(gòu)建面的坐標(biāo)系的一部分而存儲(chǔ)。盡管可以使用數(shù)字要素屬性建立多面體的基礎(chǔ) z值模型，但此選項(xiàng)可能不支持使用嵌入式 z 值時(shí)可用的相同分析和交互選項(xiàng)。

有些多面體要素被視為已閉合，這表示它們正確定義了體積。閉合的多面體可用于其他分析工具，如 3D 聯(lián)合和 3D相交。要將多面體視為已閉合，必須以正確方式構(gòu)造該多面體。要素必須代表一個(gè)相異的體積。構(gòu)成該體積的面必須具有與其坐標(biāo)相同的逆時(shí)針方向并參與定義體積的外殼。這些面不得彼此相交，并且殼中不得存在間距或空白空間。可以使用是否為閉合地理處理工具來驗(yàn)證多面體是否已正確閉合。

多面體要素的示例包括帶紋理的建筑物、燈柱、樹、子表面地層、地下建筑物或某種類型的分析表面。

要?jiǎng)?chuàng)建新的多面體要素類，只需在定義要素類的幾何時(shí)從類型下拉菜單中選擇"多面體要素"。

Z 值用于表示多面體要素的形狀和高程。它可以表示絕對(duì)高度或相對(duì)于地面的高度。對(duì)生成的 3D 要素類進(jìn)行顯示和分析時(shí)，兩種方法均完全受支持。

應(yīng)該在要素類所在的要素?cái)?shù)據(jù)集(如果存在)或在要素類自身(如果沒有要素?cái)?shù)據(jù)集)中定義要素類 z 值的單位和基準(zhǔn)面。如果未定義單位，ArcGIS 將假定 z 的單位與 x,y 的單位匹配。此假定可能會(huì)帶來問題，尤其當(dāng) x,y 的單位是地理單位(緯度-經(jīng)度)時(shí)。

使用地理處理工具將現(xiàn)有 3D 模型導(dǎo)入到 ArcGIS 中可創(chuàng)建多面體要素。3D 圖層到要素類地理處理工具會(huì)將通過各種模型格式(如 SketchUp、OpenFlight、3ds 或 COLLADA)符號(hào)化的點(diǎn)轉(zhuǎn)換為多面體要素類。導(dǎo)入 3D 文件地理處理工具也可執(zhí)行相同操作，但會(huì)提供更多導(dǎo)入格式選項(xiàng)(如 VRML)。此外，也可使用 ArcObjects 以程序的方式來構(gòu)造多面體要素。

由若干個(gè)多邊形所圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

面與面之間僅在棱處有公共點(diǎn)，且沒有任何兩個(gè)面在同一平面上。 一個(gè)多面體至少有四個(gè)面。

通常情況下，只有當(dāng)多面體的所有面均為平面且單聯(lián)通，并且其所包圍的內(nèi)部空間單聯(lián)通時(shí)，才為經(jīng)典多面體

注意:各面都是平面的立體圖形稱為多面體。像圓錐、圓臺(tái)因?yàn)橛械拿媸乔?，而不被稱為"多面體"。圓錐、圓柱、圓臺(tái)統(tǒng)稱為旋轉(zhuǎn)體。立體圖形的各個(gè)面都是平的面，這樣的立體圖形稱為多面體。

一個(gè)小竅門:從正六面體開始，每兩個(gè)正多面體的棱數(shù)相同，頂點(diǎn)數(shù)與面數(shù)正好相反，但只適用于一部分正多面體。

正多面體，或稱柏拉圖立體， 指各面都是全等的正多邊形且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都是一樣的凸多面體。因此對(duì)于每兩個(gè)頂點(diǎn)來說都有一個(gè)等距的映射將其中一點(diǎn)映射到另一點(diǎn)。

命名由來

正多面體的別稱柏拉圖立體是因柏拉圖而命名的。柏拉圖的朋友特埃特圖斯告訴柏拉圖這些立體，柏拉圖便將這些立體寫在《提瑪友斯》內(nèi)。正多面體的作法收錄《幾何原本》的第13卷。在命題13描述正四面體的作法，命題14就是正八面體，命題15為立方體，命題16是正二十面體，命題17是正十二面體。

判斷依據(jù)

判斷正多面體的依據(jù)有三條:

(1)正多面體的面由正多邊形構(gòu)成

(2)正多面體的各個(gè)頂角相等

(3)正多面體的各條棱長都相等

這三個(gè)條件都必須同時(shí)滿足，否則就不是正多面體，比如五角十二面體，雖然和正十二面體一樣是由十二個(gè)五角形圍成的，但是由于它的各個(gè)頂角并不相等因此不是正多面體。

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，正偶數(shù)邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 如果 n 是偶數(shù)，則這些軸線中有一半經(jīng)過相對(duì)的頂點(diǎn)，另外一半經(jīng)過相對(duì)邊的中點(diǎn)。如果 n 是奇數(shù)，則所有的軸線都是經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)以及其相對(duì)邊的中心。例如:正多邊形的周長與它的外接圓的直徑的比值，與直徑長短無關(guān)。古代數(shù)學(xué)家正是利用這一性質(zhì)，逐次倍增正多邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長趨近它的外接圓的周長，從而求得了圓周率的近似值。