非線性特征值問題廣泛出現(xiàn)于數(shù)學、物理、力學和計算機圖形學等一系列領域中。針對這些領域中提出的若干重要的大規(guī)模非線性特征值問題，充分利用其特殊性，提出和發(fā)展幾個高性能的數(shù)值計算方法，并給出這些方法的理論分析，將有著重要的理論價值和廣闊的應用前景，而且對推動我國矩陣計算這一領域的研究垮入世界先進行列有不可低估的作用。 2100433B

所謂最優(yōu)化問題，就是尋找一個最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達到預期的目標。在最優(yōu)化問題的數(shù)學模型建立后，主要問題是如何通過不同的求解方法解決尋優(yōu)問題。一般而言，最優(yōu)化方式有離線靜態(tài)優(yōu)化方式和在線動態(tài)優(yōu)化方式，而最優(yōu)化問題的求解方法大致可分為四類：

1.解析法

對于目標函數(shù)及約束條件具有簡單而明確的數(shù)學表達式的最優(yōu)化問題，通?？刹捎媒馕龇▉斫鉀Q。其求解方法是先按照函數(shù)極值的必要條件，用數(shù)學分析方法求出其解析解，然后按照充分條件或問題的實際物理意義間接地確定最優(yōu)解。

這種方法適用于性能指標及約束有明顯解析表達式的情況。其一般步是先用求導方法或變分法求出最優(yōu)控制的必要條件，得到一組方程或不等式，然后求解這組方程或不等式，得到最優(yōu)控制的解析解即為所求的最優(yōu)控制。解析法大致可分為兩大類。第一類，無約束時，采用微分法或變分法。第二類，有約束時，采用極大值原理或動態(tài)規(guī)劃。

（1）變分法：當控制向量不受約束時，引入哈密頓函數(shù)，應用變分法可以導出最優(yōu)控制的必要條件，即正則方程、控制方程、邊界條件、橫截條件。

（2）極大值原理：在用變分法求解最優(yōu)控制問題時，是假定控制向量u(O)不受任何限制，即容許控制集合可以看成是整個P維控制空間開集，控制變分u是任意的，同時還要求哈密頓出數(shù)H對u連續(xù)可微，但在實際工程上，控制變量往往受到一定的限制，這時可以用極大值原理來求解最優(yōu)控制問題，這種方法其實是由變分法引申而來的，但由于它能應用于控制變量u(t)受邊界限制的情況，并且不要求哈密頓出數(shù)H對u連續(xù)可微，因此獲得了廣泛的應用。

（3）動態(tài)規(guī)劃：極大值原理一樣，是處理控制向量限制在一定閉集內的最優(yōu)控制問題的有效數(shù)學方法，它把復雜的最優(yōu)控制間題變?yōu)槎嗉墰Q策過程的遞推函數(shù)關系，其基礎和核心時最優(yōu)性原理即在一個多級決策問題中無論初始狀態(tài)和初始決策如何，當把其中的任何一級和狀態(tài)再作為初始級和初始狀態(tài)時，如下的決定對與這一級開始往后的多級決策過程的一部分必定仍然是一個最優(yōu)決策。因此，利用這一最優(yōu)性原理必然可把一個多級決策問題化為最優(yōu)的單級決策問題并且本級決策與本級以前的任何決策無關，只與本級的初始位置和初始決策有關。對于連續(xù)系統(tǒng)用動態(tài)規(guī)劃法求最優(yōu)控制問題時，可以先把連續(xù)系統(tǒng)離散化，用有限差分方程近似代替連續(xù)方程，然后用離散動態(tài)規(guī)劃法求解。

2.數(shù)值解法（直接法）

對于目標函數(shù)較為復雜或無明確的數(shù)學表達式或無法用解析法求解的最優(yōu)化問題，通常可采用直接法來解決。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法經(jīng)過一系列的迭代以產(chǎn)生點的序列，使之逐步接近到最優(yōu)點。直接法常常是根據(jù)經(jīng)驗或實驗而得到的。

性能指標比較復雜或不能用變量顯函數(shù)表示時，可以采用直接搜索法，經(jīng)過若干次迭代搜索到最優(yōu)點，數(shù)值計算法可以分為兩大類：

（1）區(qū)間消去法，又稱為一維搜索法，適用于求解單變量極值問題。主要有黃金分割法、多項式插值法等。

（2）爬山法，又稱多維搜索法，適用于求解多變量極值問題。主要有坐標輪轉法、步長加速法等。

3.解析與數(shù)值相結合的尋優(yōu)方法（梯度型法）

是一種解析與數(shù)值計算相結合的方法。主要包括兩大類：一種是無約束梯度法，如陡降法、擬牛頓法等。第二類是有約束梯度法，如可行方向法、梯度投影法。

4.網(wǎng)絡最優(yōu)化方法

這種方法以網(wǎng)絡圖作為數(shù)學模型，用圖論方法進行搜索的尋優(yōu)方法。

有兩種途徑，一是求出既滿足微分方程又滿足邊界條件的精確解（如萊維法，納維法）；二是當?shù)貌坏骄_解時，采用各種近似方法求解，例如有限元法、有限差分方法等數(shù)值方法和能量方法。出于工程實際的需要，人們對矩形板和圓板的研究較多。

內容簡介

《薄壁曲梁線性和非線性分析理論》首先介紹了薄壁曲梁的通用線性分析理論，然后提出薄壁鋼拱的穩(wěn)定分析和曲梁非線性分析的完整理論；對常用截面的截面參數(shù)和非線性分析方程進行了推倒，對經(jīng)典的問題進行了求解，然后提出彈塑性分析的方法；對幾何和物理非線性分析過程中可能遇到的困難進行了詳細的闡述，提出了解決途徑。《薄壁曲梁線性和非線性分析理論》還介紹了曲梁試驗研究的成果。在驗證程序的基礎上，對1890根曲梁進行了極限承載力分析，對計算結果進行了歸一化分析，最后提出曲梁穩(wěn)定性設計的公式。2100433B