在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分數(shù)，這類維數(shù)是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的"非規(guī)則"程度，1919年，數(shù)學家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分數(shù)，從而突破了一般拓撲集維數(shù)為整數(shù)的界限。

分維的概念我們可以從兩方面建立起來:

一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應的經(jīng)驗維數(shù)。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有:

a^D=b, D=logb/loga

的關(guān)系成立，則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)。另一方面，當我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點;如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪?看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1(大于0、小于2)。與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個與Koch曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是小數(shù)(即分數(shù))了，所以存在分維。其實，Koch曲線的維數(shù)是1.2618……。

1973年，曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設想。分形(Fractal)一詞，是曼德布羅特創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以后，很快就引起了許多學科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。曼德布羅特曾經(jīng)為分形下過兩個定義:

Dim(A)>dim(A)

的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(shù)(或分維數(shù))，dim(A)為其拓撲維數(shù)。一般說來，Dim(A)不是整數(shù)，而是分數(shù)。

然而，經(jīng)過理論和應用的檢驗，人們發(fā)現(xiàn)這兩個定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對"生命"也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。

(i)分形集都具有任意小尺度下的比例細節(jié)，或者說它具有精細的結(jié)構(gòu)。

(ii)分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。

(iii)分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計的自相似。

(iv)一般，分形集的"分形維數(shù)"，嚴格大于它相應的拓撲維數(shù)。

(v)在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。

數(shù)學家曼德布羅特(B. B. Mandelbrot)經(jīng)歷了不平凡的潛心研究，于1975年出版了他的關(guān)于分形幾何的專著《分形、機遇和維數(shù)》，標志著分形理論的誕生。

1.從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。

2.在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。

在制作分形圖形的過程中，我找到了許多結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它們能夠形成有規(guī)律的平鋪圖形。而這種圖形很適合用在剛提到的這些領(lǐng)域，反觀當下的平鋪圖，都千篇一律，沒有新意。分形圖最具價值的地方就是它的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，如果用在這些領(lǐng)域，會產(chǎn)生怎樣的價值呢?

這些年視覺工程領(lǐng)域越來越受歡迎了，2013春晚的效果非常棒。其中有個剪花花的節(jié)目，里面有些分形的味道。其實國外很多大片都應用了分形，早在星球大戰(zhàn)里，黑武士和天行者拼極光劍的時候，那周圍噴涌的巖漿，就是利用分形生成的。用來藝術(shù)創(chuàng)作的分形軟件有不少了，而且還發(fā)展的比較成熟，可以進行動畫的制作。這類藝術(shù)創(chuàng)作軟件能做出比電影里更絢麗的特效來。很多分形藝術(shù)作品具有很好的裝飾性，如果根據(jù)需要的環(huán)境、情景來挑選適當?shù)姆中诬浖碜鲆曈X特效的話，效果可以非常棒。其實春晚剪花花里的那段萬花筒效果已經(jīng)做的非常到位非常好看了，然而在分形軟件里只是一個很小的把戲而已，人們沒看到過的震撼效果，分形軟件里還多著呢，只是需要一位技術(shù)嫻熟的分形藝術(shù)家而已。

分形藝術(shù)中優(yōu)美豐富的圖形可以應用到各種布局中 如舞臺設計,園林設計，建筑設計等(悉尼歌劇院)。舉個例子吧，我們在apophysis里經(jīng)常用到julian、龐加萊這些變幻，能夠把任何結(jié)構(gòu)嵌入到這兩種結(jié)構(gòu)里去，形成很華麗驚艷的效果。比如說園林設計里，如果你按照julian的某些形態(tài)去構(gòu)建一些構(gòu)造，將原來呆板的布置按照分形圖形的結(jié)構(gòu)去擺放，像花壇這種就非常好。比如舞臺藝術(shù)中，那些燈光的效果、舞蹈造型、舞臺造型等等。分形藝術(shù)不僅僅是好看而已，她里面還蘊含了深刻的哲學美感，如果一些現(xiàn)實應用采用了分形方案，將可能是非常有創(chuàng)意、深度、境界的設計。

如廣告業(yè)，作為素材制作新穎的廣告畫面，各類商品包裝的設計，網(wǎng)站設計等。

最經(jīng)典案例的莫過于國外那條價值連城的julia集鉆石項鏈，珠寶設計師把一顆顆鉆石、藍寶石按照julia集的分形結(jié)構(gòu)給串聯(lián)在一起，產(chǎn)生了史無前例的絕美效果。這是一種提升競爭力的有效方法，當很多商家都在生產(chǎn)相同功能、外形相近的產(chǎn)品時，如果哪一家采用了分形元素，可能結(jié)果就大不一樣了。

隨著生活水平的提高，人們越來越注重生活品味了。分形藝術(shù)的最顯而易見的優(yōu)勢就是很好的裝飾性。選擇比較有個性、優(yōu)美的分形元素，可以起到很好的裝飾效果。最簡單的方法就是分形藝術(shù)裝飾畫、墻貼、藝術(shù)壁紙等了。

書籍插畫、掛歷、臺歷、海報、明信片、郵票等等，甚至可能的話，以后哪一版的人民幣將會采用分形圖案。因為分形圖案可以做到復雜的精細的令人難以置信的程度，這樣的人民幣可能是非常難偽造的。生成一個復雜的分形圖案，如果刪除了設計時的參數(shù)代碼，那就可以做到一勞永逸地防止盜版了，就連設計師本身也幾乎不可能做個一模一樣的出來。因為沒有代碼和參數(shù)，是無法再現(xiàn)該圖案的。