實(shí)反對(duì)稱矩陣

實(shí)反對(duì)稱矩陣(real antisymmetric matrix)一種反對(duì)稱矩陣.

定義1 設(shè)A是一個(gè)n階方陣,如果AT=-A,則稱A為反對(duì)稱矩陣.

性質(zhì)1 任何一個(gè)n階矩陣A,均可唯一表為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C。

性質(zhì) 2 若 A 是反對(duì)稱矩陣,則其主對(duì)角線上的元素全為零.

證明 由定義 1 可知成立.

性質(zhì) 3 設(shè) A , B 為 n 階反對(duì)稱矩陣, k 為常數(shù) , l 為正整數(shù) ,則:

(1) A ±B , kA , AB - BA 為反對(duì)稱矩陣.

(2) AB 為對(duì)稱矩陣的充要條件為 AB = BA .

(3)當(dāng) l 為奇數(shù)時(shí) , A l 為反對(duì)稱矩陣,當(dāng) l 為偶數(shù)時(shí) , A l 為對(duì)稱矩陣.

證明 利用對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的定義直接驗(yàn)證即可.

性質(zhì) 4 設(shè) A 是任一 n 階矩陣 ,則 A - A T 必為反對(duì)稱矩陣.

證明 因?yàn)? A - A T) T = A T - ( A T) T = A T - A = - ( A - A T) ,所以 A - A T 為反對(duì)稱矩陣.

性質(zhì) 5 設(shè) A 是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣 ,則| A| = 0.

證明 因?yàn)閨 A| = | A T| = | - A| = - | A| ,所以| A| = 0.

性質(zhì) 6 設(shè) A 是 n 階反對(duì)稱矩陣, B 是 n 階對(duì)稱矩陣,則 AB + BA 是 n 階反對(duì)稱矩陣.

證明 由定義直接驗(yàn)證即可.

性質(zhì) 7 設(shè) B 為 n 階實(shí)矩陣 ,則 B 為反對(duì)稱矩陣的充要條件為對(duì)任意 n 維列向量 X ,均 有 X TB X = 0.

證明 必要性:因?yàn)?B 為反對(duì)稱矩陣,所以 X TB X = X T ( - B T) X = - ( X TB X) T = X TB X ,從而 X TB X = 0. 充分性 :令 B = ( bij) n ×n ,取 X = ei + ej ,其中 ei 表示第 i 個(gè)分量是 1 ,其余分量為 0 的 n元列向量. 則 X TB X = ( eT i + eT j ) B ( ei + ej) = eT i Bei + eT i Bej + eT j Bei + eT j Bej = eT i Bej + eT j Bei = bij + bji = 0. 所以 bij = - bji , i , j = 1 ,2 , ?, n. 從而 B 為反對(duì)稱矩陣.

性質(zhì) 8 設(shè) A 為 n 階反對(duì)稱矩陣, A*為其伴隨矩陣,則 n 為偶數(shù)時(shí), A*為反對(duì)稱矩陣;n 為奇數(shù)時(shí) , A*為對(duì)稱矩陣.

性質(zhì) 9 設(shè) A 為 n 階可逆反對(duì)稱矩陣 ,則 n 為偶數(shù) ,且 A - 1也是反對(duì)稱矩陣.