轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量一樣，是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性，用字母J表示。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過(guò)桿的中點(diǎn)并垂直于桿時(shí)；J=mL^2/12 其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長(zhǎng)度。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過(guò)桿的端點(diǎn)并垂直于桿時(shí)：J=mL^2/3

其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長(zhǎng)度。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時(shí)；J=mr^2/2

其中m是圓柱體的質(zhì)量，r是圓柱體的半徑。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定理： M=Jβ

其中M是扭轉(zhuǎn)力矩

J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

β是角加速度

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心與環(huán)面垂直時(shí)，J=mR^2；

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)邊緣與環(huán)面垂直時(shí)，J=2mR^2；

R為其半徑。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心與盤面垂直時(shí)，J=﹙1/2﹚×mR^2；

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過(guò)邊緣與盤面垂直時(shí)，J=﹙3/2﹚×mR^2；

R為其半徑。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為對(duì)稱軸時(shí)，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2；]

R1和R2分別為其內(nèi)外半徑。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為中心軸時(shí)，J=﹙2/3﹚mR^2；

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的切線時(shí)，J=﹙5/3﹚mR^2；

R為球殼半徑。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球體的中心軸時(shí)，J=﹙2/5﹚mR^2；

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球體的切線時(shí)，J=﹙7/5﹚mR^2；

R為球體半徑。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為其中心軸時(shí)，J=﹙1/6﹚mL^2；

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為其棱邊時(shí)，J=﹙2/3﹚mL^2；

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為其體對(duì)角線時(shí)，J=（3/16）mL^2；

L為立方體邊長(zhǎng)。

現(xiàn)在已知：一個(gè)直徑是80的軸，長(zhǎng)度為500，材料是鋼材。計(jì)算一下，當(dāng)在0.1秒內(nèi)使它達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的速度時(shí)所需要的力矩？

分析：知道軸的直徑和長(zhǎng)度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進(jìn)而計(jì)算出這個(gè)軸的質(zhì)量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.

根據(jù)在0.1秒達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的角速度，我們可以算出軸的角加速度β=△ω/△t=500轉(zhuǎn)/分/0.1s

電機(jī)軸我們可以認(rèn)為是圓柱體過(guò)軸線，所以J=mr^2/2。

所以M=Jβ

=mr^2/2△ω/△t

=ρπr^2hr^2/2△ω/△t

=7.8×10^3 ×3.14× 0.04^2×0.5×0.04^2÷2 ×500×2π÷60÷0.1

=8.203145

單位M=kgm^2/s^2=N*m ? ?

1.測(cè)定儀器常數(shù)。

恰當(dāng)選擇測(cè)量?jī)x器和用具，減小測(cè)量不確定度。自擬實(shí)驗(yàn)步驟，確保三線擺的上、下圓盤的水平，使儀器達(dá)到最佳測(cè)量狀態(tài)。

2.測(cè)量下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，并計(jì)算其不確定度。

轉(zhuǎn)動(dòng)三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運(yùn)動(dòng)，而避免產(chǎn)生左右晃動(dòng)。自己擬定測(cè) 的方法，使周期的測(cè)量不確定度小于其它測(cè)量量的不確定度。利用式，求出 ，并推導(dǎo)出不確定度傳遞公式，計(jì)算的不確定度。

3.測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 　　

在下圓盤上放上待測(cè)圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，測(cè)量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑 。利用式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。并與理論值進(jìn)行比較，求出相對(duì)誤差。

4.驗(yàn)證平行軸定理　　

將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來(lái)放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過(guò)圓柱質(zhì)心時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。然后將兩圓柱對(duì)稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測(cè)量此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 測(cè)量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離計(jì)算，并與測(cè)量值比較。

三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點(diǎn)對(duì)稱地連接在下面的一個(gè)較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點(diǎn)上。

當(dāng)上、下圓盤水平三線等長(zhǎng)時(shí)，將上圓盤繞豎直的中心軸線O1O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸O1O作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)。同時(shí)，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)軸升降，=H是上、下圓盤中心的垂直距離；=h是下圓盤在振動(dòng)時(shí)上升的高度；是上圓盤的半徑；是下圓盤的半徑；α是扭轉(zhuǎn)角。

由于三懸線能力相等，下圓盤運(yùn)動(dòng)對(duì)于中心軸線是對(duì)稱的，僅分析一邊懸線的運(yùn)動(dòng)。用L表示懸線的長(zhǎng)度，當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)一個(gè)角度α?xí)r，下圓盤的懸線點(diǎn)移動(dòng)到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。

測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。三線擺是通過(guò)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其特點(diǎn)是無(wú)力圖像清楚、操作簡(jiǎn)便易行、適合各種形狀的物體，如機(jī)械零件、電機(jī)轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可用三線擺測(cè)定。這種實(shí)驗(yàn)方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義。

還有垂直軸定理：垂直軸定理

一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量之和。

表達(dá)式：Iz=Ix+Iy

剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為 I=MK^2，式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L(zhǎng)^2M，在SI單位制中，它的單位是kg·m^2。

剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對(duì)稱張量，它完整地刻畫(huà)出剛體繞通過(guò)該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。

補(bǔ)充對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：

先說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來(lái)，先從動(dòng)能說(shuō)起大家都知道動(dòng)能E=（1/2）mv^2，而且動(dòng)能的實(shí)際物理意義是：物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)（選定一個(gè)參考系）運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量，（P勢(shì)能實(shí)際意義則是物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量的大?。?/p>

E=（1/2）mv^2 （v^2為v的2次方）

把v=wr代入上式 （w是角速度，r是半徑，在這里對(duì)任何物體來(lái)說(shuō)是把物體微分化分為無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r，而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r）

得到E=（1/2）m（wr）^2

由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替，

K=mr^2

得到E=（1/2）Kw^2

K就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，分析實(shí)際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運(yùn)動(dòng)平動(dòng)分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運(yùn)動(dòng)角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。

變換一下公式角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)

1.E=（1/2）Kw^2本身代表研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)能量

2.之所以用E=（1/2）mv^2不好分析轉(zhuǎn)動(dòng)物體的問(wèn)題，是因?yàn)槠渲胁话D(zhuǎn)動(dòng)物體的任何轉(zhuǎn)動(dòng)信息。

3.E=（1/2）mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動(dòng)信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運(yùn)動(dòng)的信息，因?yàn)槔锩娴乃俣葀只代表那個(gè)物體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況。

4.E=（1/2）Kw^2之所以利于分析，是因?yàn)榘艘粋€(gè)物體的所有轉(zhuǎn)動(dòng)信息，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量K=mr^2本身就是一種積分得到的數(shù)，更細(xì)一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)不變的信息的等效結(jié)果K=∑ mr^2 （這里的K和上面的J一樣）

所以，就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，就有了價(jià)值。

若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式可寫成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV

其中dV表示dm的體積元，σ表示該處的密度，r表示該體積元到轉(zhuǎn)軸的距離。

若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行，且該軸與過(guò)質(zhì)心的軸相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：

J=Jc+md^2

其中Jc表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

這個(gè)定理稱為平行軸定理

一個(gè)物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過(guò)質(zhì)心的固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。也就是說(shuō)，繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等同于繞過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加

?轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。 電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，可分別用于測(cè)量微小電流（檢流計(jì)）或電量（沖擊電流計(jì)）。在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計(jì)上，精確地測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，都是十分必要的。

對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計(jì)算出相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計(jì)算出它相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。而對(duì)于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)精確地測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法就顯得更為重要。

Moment of Inertia剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

求和號(hào)（或積分號(hào)）遍及整個(gè)剛體。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)（如角速度的大?。o(wú)關(guān)。形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，一般用實(shí)驗(yàn)法測(cè)定。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中。

描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于該剛體對(duì)同此軸平行并通過(guò)質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項(xiàng)恒大于零，因此剛體繞過(guò)質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的最小者。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是一個(gè)張量，必須從張量的角度對(duì)其進(jìn)行定義。出于簡(jiǎn)單的角度考慮，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達(dá).

設(shè)有一個(gè)剛體A,其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量定義為Jc，則Jc=∫ρ(r●rδ-rr)dV。該積分遍及整個(gè)剛體A，且，

其中，r=r1 e_1 + r2 e_2 + r3 e_3 ，是剛體質(zhì)心C到剛體上任一點(diǎn)B的矢徑；表達(dá)式rr是兩個(gè)矢量的并乘；而單位張量δ是度量張量，δ=δ_ij e_i e_j ，這里i和j是啞指標(biāo)，標(biāo)架(C;e_1，e_2，e_3)是一個(gè)典型的單位正交曲線標(biāo)架；ρ是剛體的密度。

設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為ΣMc，剛體A在慣性系下的角速度矢量為ω，角加速度矢量為α，A繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量為Jc，則有如下的力矩方程：

ΣMc=Jc●α+ω×Jc●ω

將上面的矢量形式的力矩方程向各個(gè)坐標(biāo)軸投影（或者，更確切地說(shuō)，與各個(gè)坐標(biāo)軸的單位方向矢量相點(diǎn)乘），就可以獲得各個(gè)坐標(biāo)軸分量方向的標(biāo)量形式的力矩方程。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量Jc是一個(gè)二階張量，雖然在標(biāo)架(C;e_1，e_2，e_3)下它有九個(gè)分量，但是因?yàn)樗且粋€(gè)對(duì)稱張量，故其實(shí)際獨(dú)立的分量只有六個(gè)。