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冪等矩陣(idempotent matrix)定義:若A為方陣,且A^2=A,則A稱為冪等矩陣。例如,某行全為1而其他行全為0的方陣是冪等矩陣。實際上,由Jordan標準型易知,所有冪等矩陣都相似于對角元全為0或1的對角陣。
冪等矩陣的主要性質(zhì):
1.冪等矩陣的特征值只可能是0,1;
2.冪等矩陣可對角化;
3.冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩,即tr(A)=rank(A);
4.可逆的冪等矩陣為E;
5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣;
6.冪等矩陣A滿足:A(E-A)=(E-A)A=0;
7.冪等矩陣A:Ax=x的充要條件是x∈R(A);
8.A的核N(A)等于(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。 考慮冪等矩陣運算后仍為冪等矩陣的要求,可以給出冪等矩陣的運算:
1)設 A1,A2都是冪等矩陣,則(A1+A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為:A1·A2 =A2·A1 = 0,
且有:R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2);N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2);
2)設 A1, A2都是冪等矩陣,則(A1-A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為:A1·A2 =A2·A1=A2
且有:R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 );N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 );
3)設 A1,A2都是冪等矩陣,若A1·A2 =A2·A1,則A1·A2 為冪等矩陣, 且有:R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 );N (A
1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。
等價命題1:若A是冪等矩陣,則與A相似的任意矩陣是冪等矩陣;
等價命題2:若A是冪等矩陣,則A的AH,AT,A*,E-AH,E-AT都是冪等矩陣;
等價命題3:若A是冪等矩陣,則對于任意可逆陣T,T^(-1)·A·T也為冪等矩陣;
等價命題4:若A是冪等矩陣,A的k次冪仍是冪等矩陣
(由于數(shù)學符號編輯問題,更多等價命題及其證明見擴展閱讀1)
由于冪等矩陣所具有的良好性質(zhì)及其對向量空間的劃分,冪等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要的作用,同時也為空間的投影過程提供了一種工具。
符號說明如下:
AT為矩陣A的轉置矩陣;
AH矩陣A的共軛轉置矩陣;
A*為矩陣A的伴隨矩陣;
E為單位矩陣
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矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣
格式:pdf
大?。?span id="wit2huk" class="single-tag-height">112KB
頁數(shù): 6頁
矩陣函數(shù)求導 首先要區(qū)分兩個概念:矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣 (1) 函數(shù)矩陣 ,簡單地說就是多個一般函數(shù)的陣列, 包括單變量和多變量函數(shù)。 函數(shù)矩陣的求導和積分是作用在各個矩陣元素上,沒有更多的規(guī)則。 單變量函數(shù)矩陣的微分與積分 考慮實變量 t 的實函數(shù)矩陣 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ,所有分量函數(shù) ( )ijx t 定義域相同。 定義函數(shù)矩陣的微分與積分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函數(shù)矩陣的微分有以下性質(zhì): (1) ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ; (2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
矩陣
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第五章 矩 陣 §5.1 矩陣的運算 1.計算 421 421 421 963 642 321 ; 412 503 310 231 4102 2013 ; n n b b b aaa 2 1 21 ,,, ; n n bbb a a a ,, 21 2 1 ; 113 210 121 121 011 132 113 210 121 . 2.證明,兩個矩陣 A 與 B 的乘積 AB 的第 i 行等于 A 的第 i 行右乘以 B, 第 j 列等于 B的第 j 列左乘以 A. 3.可以按下列步驟證明矩陣的乘法滿足結合律: (i) 設 B=( ijb )是一個 n p矩陣.令 j = njj bjbb ,,2,1 是 B的第 j 列, j=1,2,? ,p. 又 設 pxxx ,,, 21 是 任 意 一 個 p 1 矩 陣 . 證 明 : B = ppxxx 211 . (ii)設 A 是一個