高等板殼理論

薄殼的幾何形狀和變形情況通常都很復(fù)雜，必須引入一系列簡(jiǎn)化假設(shè)才能進(jìn)行研究。最常用的假設(shè)是基爾霍夫－樂(lè)甫假設(shè)，以此為基礎(chǔ)可建立薄殼的微分方程組，通過(guò)解微分方程組可得到殼體中的位移和應(yīng)力。

基爾霍夫－樂(lè)甫假設(shè) 　1874年德國(guó)的H.阿龍將薄板理論中的基爾霍夫假設(shè)推廣到殼體。1888年經(jīng)英國(guó)的A.E.H.樂(lè)甫修正，形成至今仍然廣泛采用的薄殼理論。基爾霍夫－樂(lè)甫假設(shè)包括四個(gè)內(nèi)容：①殼體厚度（t）遠(yuǎn)小于中面最小曲率半徑R； ②殼體的變形和位移量都非常小，而且轉(zhuǎn)角和應(yīng)變是同級(jí)小量，在變形幾何關(guān)系中可以忽略二次以上的高階項(xiàng)；③中面法線方向的正應(yīng)力分量遠(yuǎn)小于與法線垂直方向上的正應(yīng)力分量，前者在應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系中可略去不計(jì)；④變形前中面的法線在變形后仍為法線，且在變形過(guò)程中，殼體厚度不變。嚴(yán)格地說(shuō)，③和④兩點(diǎn)假設(shè)是不相容的，不過(guò)由此引起的誤差在t/R量級(jí)以內(nèi)，這對(duì)薄殼來(lái)說(shuō)是允許的。

薄殼中的變形和內(nèi)力 　相應(yīng)于基爾霍夫－樂(lè)甫假設(shè)的薄殼的中面變形包括兩個(gè)正交方向（α、β方向）的中面正應(yīng)變ε1、ε2，中面剪應(yīng)變γ，兩個(gè)方向的中面曲率變化κ1、κ2和中面扭率變化值κ12；薄殼中的中面內(nèi)力包括法向力T1、T2，切向力T12、T21，橫向剪力N1、N2，彎矩Μ1、Μ2和扭矩Μ12、Μ21（見(jiàn)圖）。薄殼理論的任務(wù)就在于求出中面的變形和內(nèi)力，進(jìn)而根據(jù)下列表達(dá)式求出殼內(nèi)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量σ1、σ2、τ12：

式中z為所考慮的點(diǎn)到中面的距離。上述諸式中等號(hào)右端的第一項(xiàng)為沿厚度均勻分布的薄膜應(yīng)變和應(yīng)力，第二項(xiàng)為線性分布的彎曲或扭轉(zhuǎn)應(yīng)變和應(yīng)力。

殼體方程組十分復(fù)雜，所以對(duì)任意載荷下的任意形狀殼體求得一般解是很困難的，而只能求經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的某些特殊殼體的解，它們?cè)诠こ虘?yīng)用上具有重要的價(jià)值。這些殼體有：

薄殼理論薄膜殼

如果殼體的幾何形狀（包括厚度）和表面載荷都是連續(xù)可微函數(shù)，則除殼體邊緣局部區(qū)域可能由于受支承而出現(xiàn)彎曲應(yīng)力外，大部分殼體一般處于無(wú)彎矩的應(yīng)力狀態(tài)。這種狀態(tài)與薄膜受力狀態(tài)相當(dāng)，可根據(jù)殼體的無(wú)矩理論求解。按照這個(gè)理論，彎矩分量Μ1=Μ2=Μ12=0。根據(jù)平衡條件得到N1=N2=0;T12=T21，記為S。這樣，在一般情況下，殼體的六個(gè)平衡方程將簡(jiǎn)化成只包含三個(gè)未知內(nèi)力的三個(gè)方程：

無(wú)矩理論的上述基本方程是靜定可解的，并且可歸結(jié)為某個(gè)位移函數(shù)（見(jiàn)應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)）的四階偏微分方程。工程上常見(jiàn)的二次旋轉(zhuǎn)曲面殼體，在軸對(duì)稱載荷（如均布?jí)毫?、水壓、風(fēng)型載荷和重力等）作用下，可用無(wú)矩理論求得解析解。該解不僅近似地反映了殼體大部區(qū)域的應(yīng)力和變形，而且在一般情況下，它與考慮彎矩后得到的特解之差為t/R的數(shù)量級(jí)，故可近似地作為特解。此外，無(wú)矩狀態(tài)還是結(jié)構(gòu)最佳的受力狀態(tài)，所以無(wú)矩理論具有重要的實(shí)用價(jià)值。

薄殼理論圓筒殼

圓筒殼制作方便，應(yīng)用極為廣泛。此外，圓筒殼沿母線方向的曲率為零，而其周向曲率又為常數(shù)，所以易于進(jìn)行理論分析。最初，圓筒殼方程的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜，1933年美國(guó)的L.H.唐奈作了簡(jiǎn)化：①在殼體中面的周向平衡方程中，忽略周向曲率對(duì)橫向剪力N2的影響；②在變形分量κ1、κ2和κ12的幾何方程中，略去含切向位移分量u和v的項(xiàng)。由此得到在僅有法向表面載荷q3作用的唐奈方程：

式中ξ=x/a，θ=s/a,a為圓筒的半徑，x、s分別表示軸向和周向的長(zhǎng)度變量；

1932年，蘇聯(lián)的В.З.符拉索夫針對(duì)周向加勁的長(zhǎng)圓柱殼體（見(jiàn)加勁板殼）提出了一種簡(jiǎn)化的半無(wú)矩理論（又稱半彎矩理論）。它是在忽略柱體母線方向所有彎矩和周向變形的基礎(chǔ)上建立的理論，它還被推廣應(yīng)用于任意截面形狀的長(zhǎng)柱殼體。

薄殼理論旋轉(zhuǎn)殼

德國(guó)的H.瑞斯納和瑞士的E.邁斯納分別于1912年和1913年以旋轉(zhuǎn)殼體經(jīng)線上的橫向剪力和緯線方向的主曲率半徑的積作為變量，并用經(jīng)線上切線的轉(zhuǎn)動(dòng)角為另一變量，將殼體基本方程簡(jiǎn)化成兩個(gè)互相耦合的二階常微分方程的方程組。在無(wú)表面載荷的情況下，它是齊次方程組，可化為一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)表達(dá)的二階常微分方程。由于殼體彎曲具有邊界效應(yīng)，作為初級(jí)近似，德國(guó)的J.W.蓋克勒于1926年曾利用這一特點(diǎn)把方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化。因原微分方程具有漸近性質(zhì)，所以可用漸近積分方法求得精度較高的解。

薄殼理論扁殼

對(duì)于工程上常用的拱高較?。ㄒ话愎案吲c底面特征長(zhǎng)度相比不超過(guò)1/5）的扁殼，德國(guó)的K.馬格雷和蘇聯(lián)的穆什塔利于1938年根據(jù)其幾何特點(diǎn)分別建立了這類殼體的基本方程。1944年符拉索夫?qū)⑦@一成果發(fā)展成為系統(tǒng)的扁殼近似理論。這一理論利用殼體中面扁平的特點(diǎn)把高斯曲率近似地取為零。另外，除了在中面應(yīng)變分量的幾何關(guān)系式和法向平衡方程中保留曲率效應(yīng)外，其他都近似地采用平板方程的表達(dá)式。由于這些簡(jiǎn)化和圓柱殼體中的唐奈方程的近似假定相同，扁殼理論應(yīng)用于零高斯曲率的圓柱殼體同唐奈方程完全一致，因此扁殼方程也可以說(shuō)是唐奈方程的推廣。

如圖，其中加強(qiáng)的桿叫作加勁桿，又稱加筋桿或加強(qiáng)肋。加勁桿的布局方式有多種，有等距加勁,不等矩加勁,單方向加勁和雙方向加勁等。圖為單向等距加勁板。有些加勁板殼是通過(guò)鉚接將加勁桿固定在薄板或薄殼上,有些是用較厚的材料通過(guò)機(jī)械銑切或化學(xué)腐蝕等加工方法制成的。復(fù)合材料加勁板殼一般是將加勁桿粘接在薄板或薄殼上，再經(jīng)加溫固化而成。

和相同截面積的光板殼相比，加勁板殼截面的厚度增大，內(nèi)力以較大的力臂組成反抗彎矩，所以在相同彎矩的作用下，加勁板殼中的應(yīng)力比光板殼中的應(yīng)力低得多，在光板殼開(kāi)始破壞時(shí)，加勁板殼還能繼續(xù)承載，即加勁板殼的強(qiáng)度較高；另一方面，加勁板殼比光板殼具有較大的截面慣性矩（見(jiàn)截面的幾何性質(zhì)），這意味著加勁板殼比光板殼具有較大的剛度。由于這些優(yōu)點(diǎn)，加勁板殼廣泛應(yīng)用于飛機(jī)、船舶、橋梁、建筑以及儀表中。