貝塞爾濾波器傳遞函數(shù)

描述貝塞耳濾波器低通濾波器的傳遞函數(shù)如下：

這里θn(s)是一個(gè)反向貝塞耳多項(xiàng)式，ω0是選定的期望截止頻率。

貝塞爾(Bessel)濾波器具有最平坦的幅度和相位響應(yīng)。帶通（通常為用戶關(guān)注區(qū)域）的相位響應(yīng)近乎呈線性。Bessel濾波器可用于減少所有IIR濾波器固有的非線性相位失真。

貝塞爾(Bessel)線性相位濾波器正是由于具有向其截止頻率以下的所有頻率提供等量延時(shí)的特性，才被用于音頻設(shè)備中，在音頻設(shè)備中，必須在不損害頻帶內(nèi)多信號(hào)的相位關(guān)系前提下，消除帶外噪聲。另外，貝塞爾濾波器的階躍響應(yīng)很快，并且沒有過沖或振鈴，這使它在作為音頻DAC輸出端的平滑濾波器，或音頻ADC輸入端的抗混疊濾波器方面，是一種出色的選擇。貝塞爾濾波器還可用于分析D類放大器的輸出，以及消除其它應(yīng)用中的開關(guān)噪聲，來提高失真測(cè)量和示波器波形測(cè)量的精確度。

雖然貝塞爾濾波器在它的通頻帶內(nèi)提供平坦的幅度和線性相位（即一致的群延時(shí)）響應(yīng)，但它的選擇性比同階（或極數(shù)）的巴特沃斯(Butterworth)濾波器或切比雪夫(Chebyshev)濾波器要差。因此，為了達(dá)到特定的阻帶衰減水平，需要設(shè)計(jì)更高階的貝塞爾濾波器，從而它又需要仔細(xì)選擇放大器和元件來達(dá)到最低的噪聲和失真度。

下面是一個(gè)三階貝塞爾低通濾波

gain值為

相位為

群延遲為

群延遲的泰勒級(jí)數(shù)展開為

注意在ω2和ω4的二個(gè)項(xiàng)是零，在ω=0造成非常平坦的群延遲。這是可以調(diào)整到零項(xiàng)的最大數(shù)量，因?yàn)樵谌A貝賽爾多項(xiàng)式中總共有四個(gè)系數(shù)，要求定義四個(gè)等式。一個(gè)等式是為了在ω = 0 時(shí)，結(jié)果是統(tǒng)一的。第二個(gè)等式指定ω =無窮時(shí)結(jié)果是零，剩下二個(gè)等式指定二個(gè)項(xiàng)的級(jí)數(shù)展開是零。這是n秩貝賽爾濾波的群延遲的一般特性：在群延遲的前n-1級(jí)數(shù)展開的項(xiàng)為零，因而ω = 0時(shí)群延遲的扁平得以最大化。

貝塞爾濾波器的相移與頻率關(guān)系如圖一所示。

從圖上可以看出，貝塞爾濾波器帶來的延時(shí)，基本是線性的，保證了濾波后的信號(hào)波形的完整性，貝塞爾濾波器在通頻帶內(nèi)，其幅度特性也較為平坦，如圖二所示。

但是與相同階數(shù)的巴特沃斯、切比雪夫?yàn)V波器相比，貝塞爾濾波器在信號(hào)衰減方面有劣勢(shì)，其阻帶下降響應(yīng)速度過慢，所以一般設(shè)計(jì)成高階數(shù)的濾波器來達(dá)到相應(yīng)的阻帶衰減水平。

貝塞爾濾波器在通頻帶范圍內(nèi)，有近似的線性時(shí)延特性和較平坦的幅度特性，保證了信號(hào)處理的準(zhǔn)確性及信號(hào)的無畸變傳輸，從而使貝塞爾濾波器常用作音頻系統(tǒng)ADC輸入之前的抗混疊濾波器以及DAC輸出端的平滑濾波器。在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)放大與處理過程中也得到廣泛的應(yīng)用。