電磁場的保角變換

數(shù)學(xué)上規(guī)定復(fù)平面和復(fù)平面之間的變換=()是導(dǎo)數(shù)′()厵0的各點(diǎn)處是保角變換,它是求解二維電磁場問題的一種有力工具。例如兩個(gè)平行的柱形電極,當(dāng)長度遠(yuǎn)大于間距從而可以忽略柱體的末端效應(yīng)時(shí)，就可近似為二維問題。保角變換可應(yīng)用于:靜電、靜磁問題，包括傳輸線(即橫電磁場)問題;具有復(fù)雜邊界的導(dǎo)波系統(tǒng)問題;以及電磁場的反演問題。

靜電、靜磁問題的應(yīng)用甚廣，在電源或磁源以外的區(qū)域，二維問題的電場強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度等于某一靜勢函數(shù)的梯度，后者滿足二維拉普拉斯方程，其解稱為(圓)調(diào)和函數(shù)，記為(,)，則

設(shè)復(fù)變數(shù)=+j，則根據(jù)已知的(,),總可以找到另一個(gè)調(diào)和函數(shù)=(,)，構(gòu)成解析函數(shù)

ω(z)=u+jv

z=x+jy

稱和為共軛函數(shù),為復(fù)勢函數(shù)?？梢宰C明也滿足二維拉普拉斯方程并且在復(fù)平面上的等值線是兩簇互相正交的曲線。若選其中的一簇為等勢線，則另一簇就代表力線(電力線、磁力線)，相應(yīng)地稱這兩簇曲線所對應(yīng)的函數(shù)為勢函數(shù)和流函數(shù)(通量函數(shù))。

電磁場的保角變換 若能找到兩個(gè)共軛函數(shù)，其中一個(gè)函數(shù)的等值線恰好和所研究的電極邊界重合，則另一個(gè)函數(shù)的等值線即代表由電極發(fā)出的電力線。因而,根據(jù)電力線的流函數(shù)就可以計(jì)算出電極表面所帶的電荷量，從而可以計(jì)算場分布和電容量等。例如平板電容器二維邊緣場的分析(圖1a)。設(shè)兩極板的電位分別為±1伏，間距為2(長度單位)，置于-平面中(=+j)，根據(jù)對稱性，只需分析上半平面(>0)的場。利用解析函數(shù)

的保角變換(=+j)，使-平面上由點(diǎn)、、連成的多角形變換成以點(diǎn)′、′、′連線為界的上半-平面(圖1b)。已知后者的復(fù)勢函數(shù)為

故平板電容器的復(fù)勢函數(shù)滿足關(guān)系式

據(jù)此可得出在-平面內(nèi)的等勢線(=常數(shù))和電力線(=常數(shù))的曲線方程。

某些邊界形狀較復(fù)雜的導(dǎo)波系統(tǒng)，經(jīng)保角變換可變換成一個(gè)較易處理的簡單邊界形狀。例如利用波導(dǎo)的電磁場解描述溝槽形波導(dǎo)(圖2)的電磁場時(shí)就需要用保角變換。

電磁場的保角變換 在電磁場反演問題中，由已知遠(yuǎn)區(qū)場推算電磁場源的距離、方向和形狀時(shí)，可采用保角變換，將已知二維閉合曲線的外域變換成單位圓的外域，并利用變換函數(shù)以及遠(yuǎn)區(qū)場兩者的勞倫茨級數(shù)展開式的系數(shù)關(guān)系，可以得出解的低頻估計(jì)。

在具體問題中，根據(jù)預(yù)給的勢函數(shù)或流函數(shù)，去尋找合適的共軛函數(shù)并不容易。對于場域具有多角形邊界的問題，施瓦茨變換是一種很有用的方法。它把一個(gè)復(fù)平面上由實(shí)軸和無限大的圓弧所圍成的上半平面變換到另一復(fù)平面上的多角形內(nèi)域，或反之。對于除了平角和零角之外只含一、二個(gè)正角的多角形，施瓦茨變換是初等解析函數(shù);當(dāng)正角增加到三、四個(gè)，變換與橢圓積分及橢圓函數(shù)有關(guān)。橢圓函數(shù)屬于雙周期解析函數(shù)，常應(yīng)用于分析帶狀線等特種截面?zhèn)鬏斁€。