電場(chǎng)能量密度理想平行板電容器內(nèi)的靜電能及能量密度

一平行板電容器的兩極間距d比極板面的線(xiàn)度小很多時(shí)，可忽略邊緣效應(yīng)，看成一個(gè)無(wú)窮大的理想平行板電容器。板間不填充任何介質(zhì)，加有直流電壓

極板上面電荷密度為

由此可求出電場(chǎng)能量密度為

有些教材講該結(jié)論適合一切電場(chǎng)。平行板電容器的電場(chǎng)只是無(wú)數(shù)電場(chǎng)中的一個(gè)特例, 用該場(chǎng)推導(dǎo)的結(jié)論不一定具有普遍性，所以有學(xué)者又用其他方法推導(dǎo)公式來(lái)驗(yàn)證此結(jié)論。下面首先對(duì)靜電場(chǎng)中的一些能量公式進(jìn)行分析對(duì)比, 指出靜電能是電勢(shì)能、自能或固有能、相互作用能的統(tǒng)稱(chēng), 靜電場(chǎng)的能量就是激發(fā)靜電場(chǎng)的帶電體系總的靜電能。

電場(chǎng)能量密度電勢(shì)能、相互作用能

靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)或勢(shì)場(chǎng), 檢驗(yàn)電荷q0在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)p 的電勢(shì)能可表示為

式中Up 是靜電場(chǎng)中p 點(diǎn)的勢(shì)能。q0 的電勢(shì)能實(shí)際上是檢驗(yàn)電荷和靜電場(chǎng)(或產(chǎn)生靜電場(chǎng)的場(chǎng)源電荷)構(gòu)成的帶電體系所共有的,所以電勢(shì)能也稱(chēng)帶電體系的相互作用能, 又稱(chēng)帶電體系的靜電能, 屬于該帶電體系總靜電能的一部分.

電場(chǎng)能量密度自能

一個(gè)孤立的帶電體其靜電能稱(chēng)為自能或固有能。用做功的方法來(lái)定義,設(shè)物體帶電量為Q 時(shí), 其電勢(shì)為U , 則帶電體整個(gè)荷電過(guò)程中, 外界反抗電場(chǎng)力所做的功轉(zhuǎn)化為該帶電體的靜電自能W , 寫(xiě)成

同相互作用能比較可知, 帶電體的自能本質(zhì)上是帶電體上各部分電荷之間的相互作用能。

電場(chǎng)能量密度電荷連續(xù)分布的帶電體系的靜電能

這種體系可以是一個(gè)帶電體或若干個(gè)帶電體, 各帶電體的自能再加上它們之間的相互作用能便是整個(gè)帶電體系的總靜電能。設(shè)帶電體的體積為V , 電荷分布的體密度為ρ(x , y , z), 其總靜電能為:

積分遍及帶電體全部體積V 。U 為被積帶電體體積元所在處的電勢(shì), 此電勢(shì)是所有其它帶電體及被積帶電體積元電荷共同產(chǎn)生的。

電場(chǎng)能量密度用電力線(xiàn)管推導(dǎo)電場(chǎng)能量及其能量密度：

從帶電體系的總靜電能出發(fā), 導(dǎo)出帶電體系的靜電場(chǎng)能量, 進(jìn)而得到靜電場(chǎng)的能量密度。設(shè)有m 個(gè)電荷連續(xù)分布的帶電體構(gòu)成帶電體系。導(dǎo)體1 的電荷為Q1 , 導(dǎo)體2 的電荷為Q2 ...導(dǎo)體m 的電荷為Qm。設(shè)想電場(chǎng)空間的電力線(xiàn)由無(wú)限多電力線(xiàn)管構(gòu)成, 每一個(gè)電力線(xiàn)管在導(dǎo)體表面上的面積為ds , 如圖1所示。

對(duì)于任意考察的電力線(xiàn)管L , E·ds 為一定值, 等于通過(guò)電力線(xiàn)管截面的電通量。其中E 是電力線(xiàn)管中各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度, ds 為場(chǎng)強(qiáng)E 所在點(diǎn)的電力線(xiàn)管的截面積, ds 指向電力線(xiàn)方向。對(duì)于連接導(dǎo)體j 和導(dǎo)體k 的任意電力線(xiàn)管L , dsj 沿電力線(xiàn)方向, dsk 與電力線(xiàn)方向相反, 如圖2所示。

以上討論的是真空中的靜電場(chǎng), 對(duì)于線(xiàn)形電介質(zhì)中的靜電場(chǎng), 可以考慮電位移線(xiàn)管,對(duì)于任一考察的電位移線(xiàn)管,都可以得到

詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程請(qǐng)查看文獻(xiàn)‘用電力線(xiàn)管推導(dǎo)電場(chǎng)能量及電場(chǎng)能量密度’。

電場(chǎng)能量密度運(yùn)用元電容概念分析

在任意自由空間中的靜電場(chǎng)可用電通量管來(lái)描述電場(chǎng)的結(jié)構(gòu)，每個(gè)電通量管內(nèi)電通量線(xiàn)的根數(shù)是固定的，整個(gè)空間是由無(wú)窮個(gè)小點(diǎn)通量館組成的?？杉傧朊總€(gè)電通量管是無(wú)數(shù)個(gè)理想平行板電容器即元電容串聯(lián)的集合。由于空間不存在自由電荷，可假設(shè)通量管中元電容極板的每個(gè)平板在它兩個(gè)面上有相等而符號(hào)相反的電荷，因而在電通量管中不存在凈電荷。

對(duì)每個(gè)元電容不許考慮邊緣效應(yīng)，因?yàn)槊總€(gè)局部元電容中的場(chǎng)被周?chē)娙葜械膱?chǎng)加以保護(hù)。這樣任意一個(gè)自由空間是由無(wú)數(shù)個(gè)元電容組構(gòu)成的一個(gè)電容結(jié)構(gòu)，而每個(gè)元電容都相當(dāng)于一個(gè)無(wú)限大平行板電容器。所以用理想平行板電容器的均勻場(chǎng)研究空間電場(chǎng)能量分布具有普遍意義。2100433B

單位體積內(nèi)的磁場(chǎng)能量稱(chēng)為磁場(chǎng)能量密度。定義式：ω=W/V=(BH)/2。其中V是體積，B是磁感應(yīng)強(qiáng)度，H是磁場(chǎng)強(qiáng)度，H=B/μ。

磁場(chǎng)建立過(guò)程中本身儲(chǔ)存的能量。簡(jiǎn)稱(chēng)磁能。在一個(gè)線(xiàn)圈中建立磁場(chǎng)，電流從零增加到穩(wěn)定值的過(guò)程中，電源要反抗自感電動(dòng)勢(shì)做功，與這部分功相聯(lián)系著的能量稱(chēng)為自感磁能。若在兩個(gè)存在互感作用的線(xiàn)圈中分別通入電流時(shí)，電源除反抗自感電動(dòng)勢(shì)做功外，還要反抗線(xiàn)圈間的互感電動(dòng)勢(shì)而做功，和反抗互感電動(dòng)勢(shì)做功相聯(lián)系的能量稱(chēng)為互感磁能?？梢宰C明自感線(xiàn)圈中儲(chǔ)存的磁能為Wm=1/2LI2。式中L是線(xiàn)圈的自感系數(shù)，I是其中通過(guò)的電流。對(duì)于空心長(zhǎng)螺線(xiàn)管(近似看作無(wú)限長(zhǎng))，其自感系數(shù)L=μ₀n2V。式中n是單位長(zhǎng)度上線(xiàn)圈的匝數(shù)，V是螺線(xiàn)管的體積。將上式代入自感線(xiàn)圈的磁能公式得Wm=1/2(μ₀n2V)I2。由公式可知自感磁能與螺線(xiàn)管的體積有關(guān)。長(zhǎng)螺線(xiàn)管中磁場(chǎng)是均勻的，磁場(chǎng)能量應(yīng)在線(xiàn)圈所圍體積內(nèi)均勻分布，所以單位體積中的磁能為wm=wm/V=₁/2BH(因?yàn)锽=μ0nI，H=n_l)。wm稱(chēng)為磁場(chǎng)能量密度，簡(jiǎn)稱(chēng)磁能密度。一般寫(xiě)成wm=1/2B·H。磁能密度的數(shù)學(xué)表述雖由特例推出，但可以證明它是普遍成立的。對(duì)于非均勻磁場(chǎng)每一點(diǎn)的磁能密度仍用上式表示，只是場(chǎng)中各點(diǎn)的值不同而已。在非均勻磁場(chǎng)中，若求磁場(chǎng)的總磁能，可以表述為：Wm=VwmdV=1/2V(B·H)_dV。以上所述是在穩(wěn)恒磁場(chǎng)中的情況，這時(shí)磁能總與電流相伴隨，把磁能看成是與電流相聯(lián)系還是儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中，兩種觀點(diǎn)效果完全相同。但在變化的電磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)可以脫離電流而存在，這種磁場(chǎng)也具有能量，其磁能密度的表達(dá)式仍為wm=1/2B·H。在一般情況下，變化電磁場(chǎng)以波的形式傳播，在傳播過(guò)程中同時(shí)也傳播著能量，所以能量?jī)?chǔ)存在磁場(chǎng)中的觀點(diǎn)是正確的。

存在于載流導(dǎo)體、永久磁體、運(yùn)動(dòng)電荷或時(shí)變電場(chǎng)等周?chē)臻g的，以磁感應(yīng)強(qiáng)度表征的一種特殊形式的物質(zhì)。磁場(chǎng)的物質(zhì)性，可由它的如下許多特性顯示出來(lái)：磁場(chǎng)具有能量;磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷、載流導(dǎo)體有作用力;導(dǎo)線(xiàn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)或處在時(shí)變磁場(chǎng)中都將在導(dǎo)線(xiàn)中引起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，發(fā)電機(jī)、變壓器就是根據(jù)這一原理制成的;在磁場(chǎng)的作用下，磁致伸縮材料會(huì)發(fā)生變形，呈現(xiàn)磁致伸縮現(xiàn)象;將載流導(dǎo)體置于磁場(chǎng)中，導(dǎo)體的橫向兩側(cè)將出現(xiàn)電位差，即產(chǎn)生霍耳效應(yīng);磁場(chǎng)可使載流導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電阻發(fā)生變化，即產(chǎn)生磁致電阻效應(yīng)，等等。描述磁場(chǎng)的基本物理量是磁感應(yīng)強(qiáng)度B和重要的輔助量磁場(chǎng)強(qiáng)度H。

恒定磁場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)在空間某區(qū)域內(nèi)，若各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值和方向都不隨時(shí)間變化，該區(qū)域中的磁場(chǎng)稱(chēng)恒定磁場(chǎng)，否則稱(chēng)時(shí)變磁場(chǎng)。時(shí)變磁場(chǎng)總是和時(shí)變電場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，以電磁波的形式存在。研究某一區(qū)域中的時(shí)變磁場(chǎng)時(shí)，若電磁波的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于區(qū)域的線(xiàn)度尺寸，則可忽略位移電流對(duì)磁場(chǎng)的作用，這種時(shí)變磁場(chǎng)稱(chēng)似穩(wěn)磁場(chǎng)。大多數(shù)電力設(shè)備中的時(shí)變磁場(chǎng)可以認(rèn)為是似穩(wěn)磁場(chǎng)。

均勻磁場(chǎng)和非均勻磁場(chǎng)任何時(shí)刻，若空間某區(qū)域內(nèi)各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值和方向都相同，稱(chēng)區(qū)域中的磁場(chǎng)為均勻磁場(chǎng)，否則稱(chēng)非均勻磁場(chǎng)。

媒質(zhì)的磁化位于磁場(chǎng)中的媒質(zhì)將產(chǎn)生磁化效應(yīng)。為宏觀描述媒質(zhì)的磁化狀態(tài)及其對(duì)外磁場(chǎng)的影響，引入了磁場(chǎng)強(qiáng)度這一概念。磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，常用磁化曲線(xiàn)表示。電機(jī)工程中，在許多場(chǎng)合下，只考慮鐵磁材料的磁化;非鐵磁材料的磁化很弱，一般不予考慮，即認(rèn)為這種材料的磁導(dǎo)率和真空磁導(dǎo)率相同。

磁場(chǎng)的基本規(guī)律磁場(chǎng)具有如下的基本規(guī)律。

磁通量的連續(xù)性穿過(guò)任何閉合面的磁通量等于零(見(jiàn)磁通量)。

磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路積分規(guī)律磁場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合路徑的線(xiàn)積分，等于穿過(guò)以該閉合路徑為周界的曲面上的全電流(見(jiàn)磁場(chǎng)強(qiáng)度)。

磁場(chǎng)的能量密度在線(xiàn)性媒質(zhì)中，單位體積內(nèi)的磁場(chǎng)能量或磁場(chǎng)能量密度，等于(B·H)/2。

媒質(zhì)分界面處磁場(chǎng)量滿(mǎn)足的條件在媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的分界面上有：①媒質(zhì)1、2的磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量B_1n、B_2n連續(xù)，即B_1n=B_2n;②媒質(zhì)1、2的磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量H_1t、H_2t之差，等于分界面上的面電流密度Js(Js的方向垂直于H_1t和H_2t)，即H_1t-H_2t=Js。不存在面電流時(shí)，H_1t、H_2t連續(xù)。