激波捕捉法激波捕捉差分方法研究

湍流的直接數(shù)值模擬(DNS)、大渦模擬(LES)以及計算聲學(xué)(CAA)等都對計算格式具有很高要求。通常，為了得到高品質(zhì)的數(shù)值結(jié)果，需要采用譜方法、緊致格式或其他高階格式。但是，當(dāng)流場含有間斷或弱間斷時，采用線性格式計算會出現(xiàn)非物理解，這些非物理解常常影響和制約了數(shù)值計算精度，于是需要對格式做出相應(yīng)的處理，其中尤為關(guān)鍵的是提高格式光滑捕捉激波的能力。

自上個世紀(jì)中后期以來，在計算含有激波的流場方面取得了不斷的進(jìn)步，并發(fā)展出了多種激波捕捉差分方法。比如TVD方法，近似Riemann方法,，ASUM類方法，ENO以及WENO方法，MP （monotonicity preserving）方法等。TVD、近似Riemann和ASUM等格式在航空航天工程中得到大量運(yùn)用，但是，發(fā)展相應(yīng)的高階精度格式是及其困難的，比如傳統(tǒng)的TVD格式在極值點的精度常降為一階.ENO/ WENO格式在光滑捕捉激波的同時，也能在極值點保持高階精度，被大量用于DNS和LES，但是在計算大梯度流場(比如邊界層和熱流計算)時不太理想，對接觸間斷的耗散也較大。MP方法的精度和分辨率都較高，但是在多維情況下和極值點附近的精度有所降低.

為了在光滑捕捉激波的同時又能提高格式精度，中國空氣動力研究與發(fā)展中心的徐國華等融合了以下幾點已經(jīng)比較成熟的處理方法：1)矢通量分裂和迎風(fēng)處理;2)限制器;3)TVD思想;4)特征投影;5)高精度計算格式特別是緊致格式。他們首先在矢通量分裂技術(shù)和迎風(fēng)型格式的基礎(chǔ)之上，把物理量(通量或守恒變量等)沿特征方向進(jìn)行投影，然后通過具有TVD性質(zhì)的限制器對投影量的變化幅值進(jìn)行約束以避免發(fā)生非物理現(xiàn)象。針對以下5種不能光滑捕捉間斷的線性迎風(fēng)格式：二階和三階迎風(fēng)顯式格式，三階、五階和七階迎風(fēng)緊致格式，采用他們的激波捕捉方法進(jìn)行處理后，得到了在間斷附近基本上無虛假振蕩的非線性激波捕捉格式，并在一維和二維Eider系統(tǒng)中通過數(shù)值計算驗證了該方法的高階精度和高分辨率。

激波的計算方法大體可以分為激波捕捉和激波裝配兩種。捕捉方法無需事先知道激波位置，激波是在計算過程中自動得到的。這種方法如果沒有特殊處理，數(shù)值解會在激波附近產(chǎn)生非物理振蕩。盡管激波捕捉方法在過去20多年得到廣泛研究和迅速發(fā)展，但其仍存在很多問題，如精度、穩(wěn)定性等。而且這些問題很容易出現(xiàn)在基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高超聲速流動計算中。相對激波捕捉方法，激波裝配方法由于不存在這些數(shù)值問題，對其研究也是具有很大的實際意義。

激波捕捉法(shock capture methods)亦稱激波抹平法，是一種激波數(shù)值處理方法。它們是一種在差分格式中直接或間接加人相當(dāng)于粘性的項使間斷光滑化的方法，它不考慮激波，在光滑區(qū)和間斷處采用統(tǒng)一格式求解，使激波在應(yīng)出現(xiàn)的地方自動呈現(xiàn)或被捕。直接加人VR人工粘性項的VR偽粘性法，通過差分格式結(jié)構(gòu)間接引人粘性項的拉克斯格式、TVD法、戈杜諾夫方法等都屬此類.自從美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼(von Neumann, J.)和里希特邁耶(Richtmyer,R. D.)于1950年發(fā)表VR偽粘性法以來，激波捕捉法得到很大發(fā)展，它們算法簡單、易于在計算機(jī)上實現(xiàn)，是現(xiàn)代計算流體力學(xué)的主導(dǎo)方法。

激波捕捉法是雙曲型方程數(shù)值解法中處理激波的一種方法。對激波不需作任何特殊處理，而在計算公式中直接或間接地引進(jìn)“黏性效應(yīng)”項，以便自動算出激波的位置和強(qiáng)度，來捕捉激波。

構(gòu)造高精度、高分辨率的計算格式是計算流體力學(xué)工作者長期追求的目標(biāo)，對于流動參數(shù)變化復(fù)雜的流動尤為重要。因此，近年來高精度計算方法的發(fā)展頗受重視,如緊致格式、高階ENO格式和譜方法等競相發(fā)展。劉秋生提出了基于Taylor展開的高精度計算方法：解析離散法。它的建立思想不同于傳統(tǒng)的差分格式構(gòu)造方法，是一類新型的計算格式。清華大學(xué)工程力學(xué)系李海東等以此為基礎(chǔ),建立適合應(yīng)用于Burgers方程和Euler方程的間斷捕捉方法。構(gòu)造高階精度激波捕捉方法的難點在于Euler方程可能出現(xiàn)數(shù)目和位置均未知的間斷。通量差分分裂方法是基于Riemann問題的近似解，對于捕捉激波十分有效，而為了抑制間斷附近的數(shù)值偽波動，又不降低光滑解區(qū)域的精度，必須采用一種保持光滑解高階精度的通量限制器。他們有機(jī)地結(jié)合了Roe的通量差分分裂方法和一種新型通量限制器midmod，很好地解決了以上問題。一系列的數(shù)值實驗結(jié)果表明，該方法對于激波間斷和接觸間斷有很高的分辨率。并且在對一階通量差分作三階精度逼近時，計算量與二階精度格式相比沒有明顯增加。

利用氣流通過激波時密度突變的特性，可借助光學(xué)儀器將激波形狀顯示出來或拍攝成像。飛行器在飛行中，激波的產(chǎn)生和它的形狀，對飛行器空氣動力有很大影響，一些國家對高速飛行的飛行器作了大量的試驗和研究，以便采用合適外形，推遲激波產(chǎn)生或減小波阻。激波可使氣體壓強(qiáng)和溫度突然升高，因此，在氣體物理學(xué)中常利用激波來產(chǎn)生高溫和高壓，以研究氣體在高溫和高壓下的性質(zhì)。利用固體中的激波，可使固體壓強(qiáng)達(dá)到幾百萬大氣壓（1大氣壓等于101325帕），用以研究固體在超高壓下的狀態(tài)。這對解決地球物理學(xué)、天體物理學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問題有重要意義。

在實際氣體中，激波是有厚度的。在只考慮氣體粘性和熱傳導(dǎo)作用的條件下，由理論計算可知，激波的厚度很小，與氣體分子的平均自由程同數(shù)量級。對于標(biāo)準(zhǔn)狀況下的空氣，激波厚度約為10^-5毫米。在空氣動力學(xué)中常把激波當(dāng)作厚度為零的不連續(xù)面，稱為強(qiáng)間斷面。氣體經(jīng)過激波時，速度和溫度都發(fā)生突躍變化，粘性和導(dǎo)熱作用很大。在氣體溫度很高，激波很強(qiáng)的情況下，甚至氣體的熱力學(xué)平衡狀態(tài)也會遭到破壞。這種破壞過程是不可逆過程，按熱力學(xué)第二定律，氣體的熵增加，同時有很大一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，這就是所謂激波損失。在超聲速流動中，一般總會產(chǎn)生激波。對于作超聲速運(yùn)動的飛行器，激波的出現(xiàn)會引起很大的阻力；對于超聲速風(fēng)洞（見風(fēng)洞）、進(jìn)氣道和壓氣機(jī)等內(nèi)流設(shè)備，在氣流由超聲速降為亞聲速時出現(xiàn)的激波，會降低風(fēng)洞和發(fā)動機(jī)的效率。所以，減弱激波強(qiáng)度以減小激波損失是實際工作中的一項重要課題。

激波可視為由無窮多的微弱壓縮波疊加而成。數(shù)學(xué)家B.黎曼在分析管道中氣體非定常運(yùn)動時發(fā)現(xiàn)，原來連續(xù)的流動有可能形成不連續(xù)的間斷面。圖1說明管道內(nèi)非定常流動中激波的形成過程。在管的左端用活塞向右推動氣體，使氣體運(yùn)動速度由零逐漸加大到，產(chǎn)生一系列向右傳播的壓縮波。在瞬間，A、B面之間為壓縮區(qū)，圖上方表示瞬間管內(nèi)氣體速度分布情況。下方的兩圖分別畫出沿管長x相應(yīng)的壓強(qiáng)p和速度的分布。由A到B，壓強(qiáng)由逐漸上升為，速度由零增大到。經(jīng)微小厚度dx的一薄層，流體壓強(qiáng)升高dp，這是一道微弱的壓縮波，向右的傳播速度為氣體速度和當(dāng)?shù)芈曀伲ㄒ娐曀伲┲?。整個壓縮區(qū)AB中有無窮多道壓縮波，左面的波都比右面的傳播得快，隨著波的前傳，在以后的瞬間、，壓縮區(qū)愈變愈窄。相應(yīng)的壓強(qiáng)、速度分布曲線如圖中虛線所示。最后在時刻，所有的壓縮波合在一起形成一道突躍的壓縮波——激波。經(jīng)過激波，壓強(qiáng)突然由增大到，流速由零增大。激波相對于波前氣體的傳播速度是超聲速的，激波愈強(qiáng)，傳播速度愈快；激波相對于波后氣體的傳播速度是亞聲速的。定常超聲速氣流沿凹壁流動時也會形成激波。圖2為定常超聲速流動中壓縮波疊加成激波的圖形。利用光線經(jīng)過密度不同的介質(zhì)會發(fā)生偏轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可用光學(xué)方法對激波照相。

圖1 管內(nèi)非定常流動中激波的形成

圖2 定常超聲速流動中壓縮波疊加成激波的圖形