離散時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

集總的線性時不變電路和系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的關(guān)系都由常系數(shù)線性微分方程來描述。如果施加以正弦形激勵，如Asin(ωt 嫓)，或指數(shù)形激勵，如，則其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般亦呈同頻率的正弦或指數(shù)形式。采用復(fù)數(shù)相量法，只需求解由電路方程所得復(fù)數(shù)方程組，就可以求得所需的響應(yīng)。

暫態(tài)分析的目的是要研究在電路中施加激勵后所出現(xiàn)的響應(yīng)。對于線性時不變電路和系統(tǒng),暫態(tài)的頻域分析的基本思想是將激勵展開為許多存在于 －∞tK倍(K是整數(shù))的諧波之和，即為激勵的傅里葉級數(shù)展開式,所得的響應(yīng)亦表示為類似的級數(shù)形式。在激勵是非周期時間函數(shù)的情況下,激勵的展開式是頻率連續(xù)分布在-∞ωg(t)=g(t T0)　T0≠0性質(zhì)的信號。滿足上式的最小的T0值稱為此信號的周期，其頻率為f0。

我們考慮如下形式的離散時間隨機(jī)線性系統(tǒng)：

線性隨機(jī)系統(tǒng)能檢測性

如果存在整數(shù)

那么我們說(A,C)是能檢測的。

線性隨機(jī)系統(tǒng)能觀測性

對于離散時間隨機(jī)系統(tǒng)，如果存在常數(shù)

成立，則稱連續(xù)時間線性隨機(jī)系統(tǒng)為能觀測的。

滿足狄里赫利條件的周期性時間信號可以用傅里葉級數(shù)展開為一系列頻率為Kf0（K=整數(shù)）的簡諧時間函數(shù)之和

(1)

式中將式(1)中頻率相同的正弦項、余弦項合并，即有

(2)

其中　由(1)、(2)兩式可知，周期性時間信號可表示為一系列諧波之和，這些諧波的頻率為f0的整倍數(shù),Ck是頻率為Kf0的諧波的振幅，φk就是這一諧波的初相角。對一周期性信號可以作出它的各諧波振幅Cn、初相角φn與角頻率ω的關(guān)系的圖像，這種圖像分別稱為振幅譜和相位譜。圖中的周期性矩形脈沖的傅里葉級數(shù)展開式是式中　非周期性時間信號的諧波分析 　非周期性信號g(t)滿足某些條件時，也可以展開為正弦形式的諧波的和。這時，由傅里葉級數(shù)的式中令T0→∞,=Δω→dω,可以得到傅里葉積分變換式

(3)

(4)

G(jω)為g(t)的傅里葉變換,g(t)則為G(jω)的傅里葉逆變換，記作

G(jω)=【g(t)】　 (5)

g(t)=-1【G(jω)】　 (6)

對式(4)可以作這樣的解釋:g(t)中頻率為ω的簡諧分量的復(fù)振幅以密度G(jω)分布在ω軸上，將這些頻率連續(xù)分布在(-∞,∞)上的所有諧波相加(積分)即得到g(t)。G(jω)是復(fù)數(shù),它的模和幅角都是頻率ω的函數(shù)。將G(jω)記作

(7)

式中|G(jω)|稱作幅頻函數(shù)，θ(ω)稱為相頻函數(shù)。對于實數(shù)值的信號有即幅頻函數(shù)是ω的偶函數(shù)，相頻函數(shù)是ω的奇函數(shù)。

應(yīng)用 　集總的線性系統(tǒng)的輸入激勵與輸出響應(yīng)的關(guān)系可以用一常系數(shù)線性微分方程表示

(8)

式中，u0、ui分別表示線性集總系統(tǒng)的輸出量和輸入量。帶上標(biāo)(K) 的量表示該量的K階導(dǎo)數(shù)，例如等。對于形如ejwt的激勵，式(8)所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

對于任一形式的激勵ui(t)作用于此系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)u0(t)，便可通過將ui作傅里葉變換，得其頻譜密度再應(yīng)用疊加定理分別計算各頻率為ω的指數(shù)形激勵產(chǎn)生的響應(yīng)，最后將這些不同頻率的響應(yīng)相加使得到u0(t)。它便是系統(tǒng)在ui(t)的作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。這一結(jié)果可表示為下面的積分上式就是U0(jω)的傅里葉反變換。在可以用解析的方法得到這一積分的通式的情況下,便可以得到u0(t)的表達(dá)式。在許多情況下，是采用數(shù)值方法去求上式的數(shù)值解。這時要將積分限限制在一有限的范圍，并作離散化的處理。由此發(fā)展起來的快速傅里葉變換技術(shù)，為解決這類問題提供了快速而有效的算法。