模型參數(shù)估計(jì)的反問題理論與方法

Preface

1 The General Discrete Inverse Problem

2 Monte Carlo Methods

3 The Least-Squares Criterion

4 Least-Absolute-Values Criterion and Minimax Criterion

5 Functional Inverse Problems

6 Appendices

7 Problems

References and References for General Reading

Index

《國外數(shù)學(xué)名著系列(續(xù)一)(影印版)40:模型參數(shù)估計(jì)的反問題理論與方法》主要內(nèi)容：Prompted by recent developments in inverse theory, Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation is a completely rewritten version of a 1987 book by the same author. In this version there are many algorithmic details for Monte Carlo methods, least- squares discrete problems, and least-squares problems involving functions. In addition, some notions are clarified, the role of optimization techniques is underplayed, and Monte Carlo methods are taken much more seriously. The first part of the book deals exclusively with discrete inverse problems with afinite number of parameters, while the second part of the book deals with general inverse problems.

The book is directed to all scientists, including applied mathematicians, facing the problem of quantitative interpretation of experimental data in fields such as physics, chemistry, biology, image processing, and information sciences. Considerable effort has been made so that this book can serve either as a reference manual for researchers or as a textbook in a course for undergraduate or graduate students.

Prompted by recent developments in inverse theory, Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation is a completely rewritten version of a 1987 book by the same author. In this version there are many algorithmic details for Monte Carlo methods, leastsquares discrete problems, and least-squares problems involving functions. In addition, some notions are clarified, the role of optimization techniques is underplayed, and Monte Carlo methods are taken much more seriously. The first part of the book deals exclusively with discrete inverse problems with afinite number of parameters, while the second part of the book deals with general inverse problems.

首先粗略估計(jì)參數(shù)的初始值，然后從初始值出發(fā)，通過反復(fù)擬合不斷搜索較優(yōu)參數(shù)值，直到模型參數(shù)取得“認(rèn)為的”最優(yōu)值為止。該過程涉及兩個(gè)主要概念，一個(gè)是參數(shù)初始值粗略計(jì)算，另外一個(gè)是參數(shù)最優(yōu)估計(jì)。基準(zhǔn)劑量分析在此基礎(chǔ)上估計(jì)基準(zhǔn)劑量值，以及基準(zhǔn)劑量下限值。

參數(shù)初始值計(jì)算

在數(shù)值分析軟件的開發(fā)中，一般把參數(shù)初始值的計(jì)算分為三種情況。第一種情況是模型形式很復(fù)雜、不易化簡計(jì)算，而且沒有人為的經(jīng)驗(yàn)可以借鑒，在這種情況下一般由計(jì)算機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)賦值，或者人為地猜測指定。從這樣的初始值出發(fā)不斷搜索計(jì)算，可以預(yù)想到時(shí)間的漫長以及不確定性，這樣的求取參數(shù)初始值方法一般不作為軟件的主要計(jì)算方法，有時(shí)作為計(jì)算的一種輔助辦法在軟件設(shè)置中供選擇使用。第二種情況是模型形式較復(fù)雜，里然不能通過化簡求解，但是可以借助實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行粗略計(jì)算，比如從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中選取最大反應(yīng)數(shù)據(jù)，最小反應(yīng)數(shù)據(jù)，平均反應(yīng)值等，將這些值帶入劑量——反應(yīng)模型，通過解方程組或線性回歸等數(shù)學(xué)方法求得計(jì)算結(jié)果。第三種情況是對一般常用的主要數(shù)學(xué)模型，其模型形式相對簡單，屬于線性的，或者可以化簡為線性的，比如帶有指數(shù)的，可以對模型公式取對數(shù)轉(zhuǎn)換成線性模型，然后用線性回歸方法求解。第三種方法是常見的參數(shù)初始值計(jì)算方法。

參數(shù)最優(yōu)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)也稱為參數(shù)推斷，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一項(xiàng)重要統(tǒng)計(jì)推斷。參數(shù)估計(jì)方法分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩類，點(diǎn)估計(jì)是指由樣本觀察值計(jì)算模型參數(shù)的估計(jì)值，到今天為止形成很多方法，包括最容易計(jì)算的矩估計(jì)，最常用最經(jīng)典的極大似然估計(jì)，通過使均方誤差最小的最小二乘法，還有1958年由圖基提出的適用于有偏樣木或存在異常值等情況的“刀切法”以及適用于多數(shù)概率分布的穩(wěn)健估計(jì)，假設(shè)參數(shù)具有先驗(yàn)分布的貝葉斯估計(jì)等。區(qū)間估計(jì)是估計(jì)參數(shù)的一個(gè)可信區(qū)間，主要方法有樞軸法、自助法和貝葉斯法等。

極大似然估計(jì)法，其基本思想是如果能找到這樣的參數(shù)，參數(shù)使得出現(xiàn)己有實(shí)驗(yàn)樣本的概率是最大的，那么就理所當(dāng)然的認(rèn)為這樣的參數(shù)就是最好的，將這些值做為真實(shí)值的估計(jì)。極大似然估計(jì)法由統(tǒng)計(jì)學(xué)家和遺傳學(xué)家在1912年最開始使用，如果假設(shè)模型正確，使用極大似然估計(jì)法推斷參數(shù)是最優(yōu)的。使用極大似然估計(jì)，首先要定義似然函數(shù)，但有時(shí)候似然函數(shù)存在，有時(shí)候不存在，或者可能還不唯一。在基準(zhǔn)劑量反應(yīng)模型巾，適用于二分?jǐn)?shù)據(jù)的反應(yīng)模型般認(rèn)為是服從二項(xiàng)分布的，適用于連續(xù)數(shù)據(jù)的反應(yīng)模型是服從正太分布的，有時(shí)也可以是對數(shù)正太分布，因此，都存在對應(yīng)的似然函數(shù)。

參數(shù)估計(jì)是由樣本推測總體分布的重要方法之一，但是在參數(shù)估計(jì)和最優(yōu)化求解相分離的情況下，參數(shù)估計(jì)就會(huì)造成目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際值偏差理論值，得到低效的結(jié)果，需采取有效的修正方法。2100433B

在該項(xiàng)目里， 1）我們首先研究了線性混合效應(yīng)模型中隨機(jī)效應(yīng)的正態(tài)性檢驗(yàn)問題，基于經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)建立了Baringhaus-Henze-Epps-Pulley (BHEP) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量， 采用蒙特卡洛方法模擬出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值，研究了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的大樣本性子，并給出小樣本下的模擬結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果. 2）我們研究了帶有單指標(biāo)扭曲的測量誤差模型的線性模型的參數(shù)估計(jì)問題，采用profile 最小二乘估計(jì)方法估計(jì)單指標(biāo)，然后使用變異系數(shù)中g(shù)lobal最小二乘估計(jì)方發(fā)估計(jì)模型中的未知參數(shù)，給出了估計(jì)的理論性質(zhì)， 并給出小樣本模擬結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)結(jié)果. 3）我們研究了部分線性單指標(biāo)模型的估計(jì)和變量選擇問題， 該模型中協(xié)變量不可觀測，僅有相應(yīng)的輔助變量的觀測值. 校正了易出錯(cuò)的協(xié)變量之后， 我們使用profile最小二乘估計(jì)方法估計(jì)模型中的未知參數(shù)，然后采用Scad變量選擇方法進(jìn)行選變量，并得到了估計(jì)的oracle性質(zhì)。 4）我們研究了高緯參數(shù)的變量選擇問題。基于響應(yīng)變量和協(xié)變量之間Kentall Tau秩相關(guān)系數(shù)提出了穩(wěn)健秩相關(guān)篩選方法。和已有的方法相比， 該方法具有四個(gè)理想的優(yōu)點(diǎn)。5）我們把部分線性單指標(biāo)模型轉(zhuǎn)化成雙指標(biāo)降維模型，以便識(shí)別線性部分和單指標(biāo)部分的顯著變量，采用的方法是單維數(shù)降維方法。6）我研究了響應(yīng)變量和協(xié)變量都帶有測量誤差的非線性回歸模型，提出了多元協(xié)調(diào)方法。 2100433B