OMP收斂性證明

通過(guò)(7)，由于與正交，將兩個(gè)殘值移到右邊后求二范的平方，并將ak的值代入可以得到：

可見(jiàn)每一次殘差比上一次殘差小，可見(jiàn)是收斂的。

3.3 算法步驟

整個(gè)OMP算法的步驟如下：

由于有了上面的來(lái)龍去脈，這個(gè)算法就相當(dāng)好理解了。

到這里還不算完，后來(lái)OMP的迭代運(yùn)算用另外一種方法可以計(jì)算得知，有位同學(xué)的論文[2]描述就非常好，我就直接引用進(jìn)來(lái)：

對(duì)比中英文描述，本質(zhì)都是一樣，只是有細(xì)微的差別。這里順便貼出網(wǎng)一哥們寫的OMP算法的代碼，源出處不得而知，共享給大家。

再貼另外一個(gè)洋牛paper[3]中關(guān)于OMP的描述，之所以引入，是因?yàn)樗枋龅姆浅?yán)謹(jǐn)，但是也有點(diǎn)苦澀難懂，不過(guò)有了上面的基礎(chǔ)，就容易多了。

它的描述中的Sweep步驟就是尋找與當(dāng)前殘差最大的內(nèi)積時(shí)列在字典矩陣D中的索引，它的這個(gè)步驟描述說(shuō)明為什么要選擇內(nèi)積最大的以及如何選擇。

它的算法步驟Update Provisional Solution中求很簡(jiǎn)單，就是在 b = Ax 已知 A和b求x， 在x的最小二范就是A的偽逆與b相乘，即：2100433B

3.1 算法描述

OMP算法的改進(jìn)之處在于：在分解的每一步對(duì)所選擇的全部原子進(jìn)行正交化處理，這使得在精度要求相同的情況下，OMP算法的收斂速度更快。

那么在每一步中如何對(duì)所選擇的全部原子進(jìn)行正交化處理呢？在正式描述OMP算法前，先看一點(diǎn)基礎(chǔ)思想。

先看一個(gè) k 階模型，表示信號(hào) f 經(jīng)過(guò) k 步分解后的情況，似乎很眼熟，但要注意它與MP算法不同之處，它的殘值與前面每個(gè)分量正交，這就是為什么這個(gè)算法多了一個(gè)正交的原因，MP中僅與最近選出的的那一項(xiàng)正交。

(1)

k 1 階模型如下：

(2)

應(yīng)用 k 1階模型減去k 階模型，得到如下：

(3)

我們知道，字典矩陣D的原子是非正交的，引入一個(gè)輔助模型，它是表示對(duì)前k個(gè)項(xiàng)的依賴，描述如下：

(4)

和前面描述類似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的項(xiàng)是殘值。這個(gè)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)描述：

請(qǐng)注意，這里的 a 和 b 的上標(biāo)表示第 k 步時(shí)的取值。

將(4)帶入(3)中，有：

（5）

如果一下兩個(gè)式子成立，(5)必然成立。

(6)

(7)

令，有

其中。

ak的值是由求法很簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)(7)左右兩邊添加作內(nèi)積消減得到：

后邊的第二項(xiàng)因?yàn)樗鼈冋?，所以?，所以可以得出ak的第一部分。對(duì)于，在（4）左右兩邊中與作內(nèi)積，可以得到ak的第二部分。

對(duì)于(4)，可以求出，求的步驟請(qǐng)參見(jiàn)參考文件的計(jì)算細(xì)節(jié)部分。為什么這里不提，因?yàn)楹竺鏁?huì)介紹更簡(jiǎn)單的方法來(lái)計(jì)算。

3.2

bm擺線馬達(dá)共六大系列，可完全替代進(jìn)口伊頓J2K、J6K；丹佛斯DANFOSS，OMP、OMR、OMS、OMV、OMT等系列，同時(shí)亦可替換國(guó)產(chǎn)BM1、BM2、BM3、BM4、BM5/2X、BM6/6X等系產(chǎn)品 。

本項(xiàng)目在國(guó)內(nèi)外土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域首先開(kāi)展了數(shù)據(jù)壓縮采樣的研究，研究了數(shù)據(jù)稀疏分解的正交匹配追蹤（OMP）算法，獲得信號(hào)的稀疏表示；由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)具有稀疏性，因此研究了結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)的壓縮采樣；研究了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)聲發(fā)射數(shù)據(jù)壓縮采樣的OMP算法；為增加無(wú)線傳感器數(shù)據(jù)傳輸?shù)聂敯粜裕岢隽嘶趬嚎s采樣技術(shù)的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)丟失的恢復(fù)方法，并將算法嵌入到美國(guó)UIUC大學(xué)B.F. Spencer教授研制的Imote2無(wú)線傳感器里?？紤]測(cè)量噪聲，提出了Bayesian壓縮采樣方法。并進(jìn)一步將壓縮采樣方法擴(kuò)展用于具有稀疏解的系統(tǒng)識(shí)別反問(wèn)題，提出了基于壓縮采樣理論與子結(jié)構(gòu)靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。研究成果采用山東濱州黃河公路大橋、哈爾濱松浦大橋以及國(guó)家游泳中心等現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，取得好的結(jié)果。項(xiàng)目研究成果可用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)壓縮，無(wú)線傳感器和傳感網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)魯棒傳輸，具有稀疏解的系統(tǒng)識(shí)別問(wèn)題。為土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析與處理的發(fā)展提供了新的思路，具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。 2100433B

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