熱軋棒線材力學(xué)性能數(shù)學(xué)模型的建立

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)研究背景

數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動態(tài)特性之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。其中，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，不論是機(jī)械的、液壓的、電氣的或熱力學(xué)的系統(tǒng)等都可以用微分方程來描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入條件下的輸出相應(yīng)。所以，建立數(shù)學(xué)模型是研究系統(tǒng)、預(yù)測其動態(tài)響應(yīng)的前提。通常情況下，機(jī)械振動系統(tǒng)的微分方程都是應(yīng)用力學(xué)中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。

分析這種系統(tǒng)時(shí)，首先要根據(jù)彈簧、阻尼器的物理意義對與其固連的質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析，然后用牛頓第

二定律列寫質(zhì)量塊對應(yīng)的合力方程，從而得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程。在對質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析時(shí)一般遵循這樣的原則：

（1）彈簧受到外作用時(shí)，在線性范圍內(nèi)，彈簧力的大小與彈簧的形變成正比，彈簧力的方向總是與形變方向相反；

（2）尼器可以看作是一個(gè)活塞液壓缸系統(tǒng)，當(dāng)活塞和液壓缸之間存在相對運(yùn)動時(shí)，主動一方總要受到另一方的阻尼力。對于線性阻尼器，阻尼力的大小與阻尼器端點(diǎn)的相對移動速度成正比。外力作用下，當(dāng)彈簧或阻尼器的兩端點(diǎn)都產(chǎn)生位移時(shí)，在確定彈簧形變方向和阻尼器端點(diǎn)相對移動速度時(shí)，情況相對有點(diǎn)復(fù)雜。針對這一問題，研究提出了一種利用數(shù)軸建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程的簡單方法，稱之為數(shù)軸建模法。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)數(shù)軸建模法

彈簧、阻尼器、質(zhì)量塊是組成振動系統(tǒng)的理想元件。在對實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動分析時(shí)，有時(shí)可以略去阻尼，系統(tǒng)簡化為質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。當(dāng)物理系統(tǒng)的質(zhì)量很小時(shí)，系統(tǒng)就可近似成阻尼一彈簧環(huán)節(jié)。圖1(a)所示即為阻尼～彈簧環(huán)節(jié)，已知彈簧的剛度為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為c，輸入為位移，系統(tǒng)在輸入位移作用下的輸出設(shè)為以。來看一下如何用數(shù)軸法分析系統(tǒng)受力情況，進(jìn)而列寫系統(tǒng)的微分方程。

假設(shè)系統(tǒng)的A點(diǎn)處存在一個(gè)質(zhì)量塊m_A，這樣可以通過分析其受力情況求得系統(tǒng)的微分方程。由于彈簧和阻尼器都是垂直放置的，故建立一豎直數(shù)軸。先來看數(shù)軸的正方向朝下的情況。將彈簧和阻尼器端點(diǎn)的位移順序地標(biāo)在數(shù)軸上對應(yīng)位置，如圖1(b)所示。彈簧在一端受到輸入位移，作用后，另一端點(diǎn)也有位移，屬于兩端都產(chǎn)生位移的情況；阻尼器一端固定，另一個(gè)端點(diǎn)有位移輸出。

如果按照一般的物理方法來列寫系統(tǒng)微分方程，也需要取質(zhì)量塊m_A為脫離體，對其進(jìn)行受力分析。經(jīng)過能量

損耗后，輸出位移必定小于輸入位移，故彈簧受壓，所受彈簧力向下；質(zhì)量塊受到彈簧壓力使得阻尼器的活塞桿向下移動，這樣活塞桿將受到缸體施加的向上的阻尼力，此阻尼力傳到質(zhì)量塊，故m_A的受力分析簡圖如圖1(e)所示?？梢姲凑諗?shù)軸法和一般物理方法求得的系統(tǒng)微分方程是一致的。

從上例可以看出，用數(shù)軸法分析系統(tǒng)受力，列寫彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)微分方程時(shí)，我們無需考慮彈簧的壓縮或拉伸情況，也不用分析阻尼器內(nèi)部活塞和液壓缸的相互運(yùn)動情況，只需建立一個(gè)數(shù)軸，規(guī)定原點(diǎn)、正方向和單位長度，把彈簧或阻尼器的輸入位移變量和輸出位移變量當(dāng)作有理數(shù)按照實(shí)際順序標(biāo)在數(shù)軸上對應(yīng)位置。

而彈簧力或阻尼力的方向的確定遵循以下原則：當(dāng)系統(tǒng)中彈簧兩端或阻尼器兩端都有位移時(shí)，彈簧力或阻尼力的方向與所建立的數(shù)軸正方向相反；當(dāng)彈簧或阻尼器只有一端有位移時(shí)，彈簧力或阻尼力的方向與彈簧或阻尼器端點(diǎn)的實(shí)際位移方向相反。

這種通過建立與系統(tǒng)平行方向的數(shù)軸，借助數(shù)軸分析系統(tǒng)中質(zhì)量塊的受力情況，進(jìn)而根據(jù)牛頓第二定律列寫系統(tǒng)微分方程的方法就稱之為數(shù)軸建模法。在建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，這種方法非常有效。

當(dāng)彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的質(zhì)量塊時(shí)，建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)需對每個(gè)質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析。由于相鄰質(zhì)量塊間存在負(fù)載效應(yīng)，用數(shù)軸法對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析時(shí)需考慮第一個(gè)進(jìn)行受力分析的質(zhì)量塊如何選取。一般來說，前一個(gè)質(zhì)量塊的受力分析總是從相鄰的后一個(gè)質(zhì)量塊受力分析開始。也就是說，第刀個(gè)質(zhì)量塊的受力分析要先考慮第n 1個(gè)質(zhì)量塊對其的作用。因此，可采取這樣一個(gè)方法，即：沿著輸入量(力或位移)作用方向?qū)ふ易詈笠粋€(gè)質(zhì)量塊，按照數(shù)軸法先分析其受力情況，然后逆實(shí)際運(yùn)動方向依次分析其余質(zhì)量塊的受力情況，進(jìn)而按照牛頓第二定律列出每個(gè)質(zhì)量塊的受力方程，然后聯(lián)立即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)研究結(jié)論

數(shù)軸建模法是一種簡單有效的建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的方法。它以數(shù)軸知識為基礎(chǔ)，根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際情況建立假想數(shù)軸，借助數(shù)軸確定系統(tǒng)中相應(yīng)質(zhì)量塊所受彈簧力或阻尼力的大小和方向，進(jìn)而求得系統(tǒng)微分方程。此方法在建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型過程中起到了事半功倍的效果。

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