素?cái)?shù)無(wú)限定理

歐幾里得的證明

證明:

假設(shè)素?cái)?shù)只有有限個(gè)，按照大小順序，.分別記為：

設(shè)所有乘積加1為：

考慮s是什么？

如果s是素?cái)?shù)，

如果s是合數(shù)，s不能被已知素?cái)?shù)整除。得出矛盾，說(shuō)明原來(lái)假設(shè)素?cái)?shù)是有限的是錯(cuò)誤的。證畢。

【初等數(shù)論】（u杜德利著，科學(xué)出版社）

,一般證明

證明：

假設(shè)素?cái)?shù)有限，按照大小順序，分別記為：

設(shè)：

w與所有素?cái)?shù)互素。

問(wèn)：

如果w是素?cái)?shù)，

如果是合數(shù)，不存在與所有素?cái)?shù)互素的合數(shù)（因?yàn)閺?fù)合數(shù)至少有兩個(gè)素因數(shù)）。

【素?cái)?shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題三種新證法】（中等數(shù)學(xué)）2100433B

數(shù)學(xué)家把自然數(shù)按照乘法性質(zhì)分為三類(lèi)：

一，自然數(shù)“1”。

二，素?cái)?shù)，就是沒(méi)有比自身小的素?cái)?shù)可以整除，例如2,3,5，....

三，復(fù)合數(shù)，至少有兩個(gè)素因數(shù)，例如：4,6,8,9,10,12,15，....

素?cái)?shù)是無(wú)限的還是有限的？?jī)汕昵暗墓畔ＥD數(shù)學(xué)家歐幾里得證明了這個(gè)問(wèn)題，被認(rèn)為是經(jīng)典之作。以后又出現(xiàn)十幾種證明方法。例如歐拉的證明。

素?cái)?shù)判定，判斷給定的正整數(shù)是否為素?cái)?shù)。

又稱(chēng)素性判定。這是一個(gè)古老而基本的數(shù)論問(wèn)題，由于與密碼學(xué)的密切關(guān)系而成為當(dāng)今計(jì)算數(shù)論的重要課題。一個(gè)古老的素性判定法是試除法。因?yàn)檎麛?shù)N＞1是素?cái)?shù)的充分必要條件是它不能被任何不大于N1/2的素?cái)?shù)整除，因而可用所有不大于N1/2的素?cái)?shù)試除N來(lái)判定N是否為素?cái)?shù)。這個(gè)方法的計(jì)算量不超過(guò)C×2(lnN)/2，式中C是一個(gè)正常數(shù)，因而這方法對(duì)大的N是不可行的。20世紀(jì)70年代以來(lái)人們基于同余理論、代數(shù)數(shù)論、橢圓曲線(xiàn)（見(jiàn)代數(shù)曲線(xiàn)）和概率論的結(jié)果提出了各種不同的素?cái)?shù)判定方法和快速算法，借助于現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)找出了許多大素?cái)?shù)，其中有許多梅森素?cái)?shù)（見(jiàn)梅森數(shù)），也有其他形式的素?cái)?shù)。例如：2000年D.S.斯考脫發(fā)現(xiàn)169?719×2557?557＋1是167?847位素?cái)?shù)，但不是梅森數(shù)。 2100433B

圓周上相鄰的質(zhì)數(shù)域整數(shù)之和全部為素?cái)?shù)的圓謂之素?cái)?shù)圓。

基礎(chǔ)質(zhì)數(shù)域通式=2[N 1]?；A(chǔ)質(zhì)數(shù)域最大倍數(shù)通式=4[N 1]。孿素對(duì)圈定于{4[N 1]}內(nèi)。

如：[基礎(chǔ)質(zhì)數(shù)域10]的素?cái)?shù)圓[....10 3 8 5 6 74 9 2 1...]圈定的孿素對(duì)[13 11]在[20]內(nèi)。2100433B