數(shù)字濾波器分類

數(shù)字濾波器可以按所處理信號(hào)的維數(shù)分為一維、二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理的信號(hào)為單變量函數(shù)序列，例如時(shí)間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理的信號(hào)為兩個(gè)或多個(gè)變量函數(shù)序列。例如，二維圖像離散信號(hào)是平面坐標(biāo)上的抽樣值。

數(shù)字濾波器一維濾波器

處理一維數(shù)字信號(hào)序列的算法或裝置。線性、時(shí)不變一維數(shù)字濾波器的輸出信號(hào)序列y(n)和輸入信號(hào)序列x(n)的關(guān)系由線性、常系數(shù)差分方程描述：（如圖1）

相應(yīng)的Z域轉(zhuǎn)移函數(shù)圖二式中ar、bk為數(shù)字濾波器系數(shù)，Z【y(n)】和Z【x(n)】分別為輸出和輸入信號(hào)序列的Z變換。轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)的Z反變換稱為一維數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)，即h(n)=Z-1【H(z)】。輸出信號(hào)序列也可以表示為輸入信號(hào)序列x(n)與數(shù)字濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的離散褶積（如圖三）

如果數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)只有有限個(gè)非零值，稱為有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。如果單位沖激響應(yīng)具有無(wú)限多個(gè)非零值，稱為無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。

有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器一般采取非遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此也稱非遞歸型數(shù)字濾波器。無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器只能采取遞歸型算法結(jié)構(gòu)，故又稱遞歸型數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器二維濾波器

處理二維數(shù)字信號(hào)序列的算法或裝置。線性、時(shí)不變二維數(shù)字濾波器的輸出 y(m，n)與輸入 x(m，n)關(guān)系由兩個(gè)變量線性常系數(shù)差分方程描述：（如圖4）

相應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為圖5式中，a b為濾波器系數(shù),Z【y(m,n)】和Z【x(m，n)】分別為輸出和輸入信號(hào)序列的二維Z變換。轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z1，z2)的二維Z反變換h(m，n)=Z-1【H(z1,z2】,稱為二維數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)。二維數(shù)字濾波器的輸出y(m，n)亦可表示為輸入信號(hào)序列x（m,n）和單位沖激響應(yīng)h(m，n)的二維離散褶積（圖六）

二維數(shù)字濾波器對(duì)單位沖激響應(yīng)亦分有限沖激響應(yīng)和無(wú)限沖激響應(yīng)兩類。二維有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器為非遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此又稱二維非遞歸型數(shù)字濾波器。二維無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器為遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此也稱二維遞歸型數(shù)字濾波器。

IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計(jì)公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來(lái)進(jìn)行。

對(duì)于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)具體步驟如下：

(1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。

(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。

(3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過(guò)程可以結(jié)束，若設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：

將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。

IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。

IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。

IIR數(shù)字濾波器在設(shè)計(jì)上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計(jì)工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。在設(shè)計(jì)一個(gè)IIR數(shù)字濾波器時(shí)，我們根據(jù)指標(biāo)先寫出模擬濾波器的公式，然后通過(guò)一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。

IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對(duì)相位要求較高時(shí)，需加相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。

在MATLAB下設(shè)計(jì)IIR濾波器可使用Butterworth函數(shù)設(shè)計(jì)出巴特沃斯濾波器，使用Cheby1函數(shù)設(shè)計(jì)出契比雪夫I型濾波器，使用Cheby2設(shè)計(jì)出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數(shù)設(shè)計(jì)出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個(gè)函數(shù)的使用。

與FIR濾波器的設(shè)計(jì)不同，IIR濾波器設(shè)計(jì)時(shí)的階數(shù)不是由設(shè)計(jì)者指定，而是根據(jù)設(shè)計(jì)者輸入的各個(gè)濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設(shè)計(jì)出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設(shè)計(jì)不同類型IIR濾波器均有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。

IIR單位響應(yīng)為無(wú)限脈沖序列FIR單位響應(yīng)為有限的

IIR幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對(duì)相位信息不敏感的音頻信號(hào)上；

FIR幅頻特性精度較之于iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號(hào)經(jīng)過(guò)FIR濾波器后他們的時(shí)間差不變。這是很好的性質(zhì)。

另外有限的單位響應(yīng)也有利于對(duì)數(shù)字信號(hào)的處理，便于編程，用于計(jì)算的時(shí)延也小，這對(duì)實(shí)時(shí)的信號(hào)處理很重要。

數(shù)字濾波器對(duì)信號(hào)濾波的方法是：用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理，處理就是按照預(yù)先編制的程序進(jìn)行計(jì)算。數(shù)字濾波器的原理如圖所示，它的核心是數(shù)字信號(hào)處理器。

如果采用通用的計(jì)算機(jī)，隨時(shí)編寫程序就能進(jìn)行信號(hào)處理的工作，但處理的速度較慢。如果采用專用的計(jì)算機(jī)芯片，它是按運(yùn)算方法制成的集成電路，連接信號(hào)就能進(jìn)行處理工作，處理的速度飛快，但功能不易更改。如果采用可編程的計(jì)算機(jī)芯片，那么，裝入什么程序機(jī)器就能具有什么功能。這種可編程芯片的優(yōu)點(diǎn)很多，是現(xiàn)代電子產(chǎn)品的首選。如果是對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行處理，則需要添加模數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)模轉(zhuǎn)換器。

參考《數(shù)字信號(hào)處理》楊毅明著p.183-184，機(jī)械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。

數(shù)字濾波器是按照程序計(jì)算信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。通過(guò)對(duì)數(shù)字濾波器的存儲(chǔ)器編寫程序，就可以實(shí)現(xiàn)各種濾波功能。對(duì)數(shù)字濾波器來(lái)說(shuō)，增加功能就是增加程序，不用增加元件，不受元件誤差的影響，對(duì)低頻信號(hào)的處理也不用增加芯片的體積。用數(shù)字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。

數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)于60年代中期。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。

數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號(hào)(對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置）。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)（對(duì)應(yīng)模擬頻率）時(shí)，首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的數(shù)字頻率（2π*f/fs,f為模擬信號(hào)的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號(hào)的頻譜不產(chǎn)生重疊，應(yīng)小于折疊頻率（ws/2=π)，其頻率響應(yīng)具有以2π為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即ω=π點(diǎn)對(duì)稱。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器在語(yǔ)言信號(hào)處理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。

數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時(shí)不變的或時(shí)變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時(shí)不變數(shù)字濾波器，以及f.i.r濾波器。

對(duì)單位沖激的輸入信號(hào)的響應(yīng)為有限長(zhǎng)序列的數(shù)字濾波器。它的主要特點(diǎn)是具有精確線性相位特性。有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器一般實(shí)現(xiàn)為非遞歸型結(jié)構(gòu),因此,又稱為非遞歸型數(shù)字濾波器。非遞歸型濾波器具有絕對(duì)穩(wěn)定的特性，而且，運(yùn)算有限字長(zhǎng)所產(chǎn)生的輸出噪聲也較小。按所處理信號(hào)的類型可分為一維有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器和二維或多維有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器（digital filter )通過(guò)對(duì)數(shù)字信號(hào)的運(yùn)算處理，改變信號(hào)頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。它可以用計(jì)算機(jī)軟件或大規(guī)模集成電路硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。

原理 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。線性、時(shí)不變數(shù)字濾波器是最基礎(chǔ)的數(shù)字濾波器，其特性可描述為：設(shè)數(shù)字濾波器的輸入和輸出信號(hào)序列分別可以 由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，則該數(shù)字濾波器的算法可由下列差分方程式表達(dá)即圖1.

分類 數(shù)字濾波器按其單位沖激響應(yīng)h(n)性質(zhì)分類，有有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR)和無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIR)之分。有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器(FIR)一般輸出和輸入間無(wú)反饋路徑，亦稱非遞歸型濾波器，特性穩(wěn)定。無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波（IIR）輸入間有反饋路徑，故稱遞歸型濾波器，在系數(shù)取值不當(dāng)時(shí)可能引起振蕩。

數(shù)字濾波器還可以按其所處理信號(hào)類型分類，分為一維數(shù)字濾波器和二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理單變量函數(shù)信號(hào)序列，例如，語(yǔ)音信號(hào)、時(shí)間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理兩個(gè)變量或多個(gè)變量的函數(shù)信號(hào)序列，例如，二維圖像的離散信號(hào)是平面坐標(biāo)的抽樣值。

一般模擬濾波器是因果的、線性的和時(shí)不變的。也就是說(shuō)，模擬濾波器在某一給定時(shí)刻的響應(yīng)與在此時(shí)刻以后的激勵(lì)無(wú)關(guān)（因果性）；對(duì)單個(gè)或多個(gè)激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)滿足線性條件（線性）；內(nèi)部參數(shù)不隨時(shí)間而變化(時(shí)不變）。而數(shù)字濾波器則可以實(shí)現(xiàn)為因果的或非因果的，線性的或非線性的、時(shí)不變的或時(shí)變的。這就是數(shù)字濾波器具有靈活性、多變性和適應(yīng)性的特點(diǎn)，它可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器所不能實(shí)現(xiàn)的功能。

使用方法 通信信號(hào)源常是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，例如，語(yǔ)音信號(hào)和圖像信號(hào)。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理此類信號(hào)時(shí)，須先對(duì)所處理的信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模-數(shù)變換，然后進(jìn)行數(shù)字濾波。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的抽樣率應(yīng)大于被處理信號(hào)帶寬的兩倍。這是因?yàn)閿?shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)是以抽樣率為間隔呈周期重復(fù)的特性，并且是以折疊頻率(1/2抽樣頻率點(diǎn))呈鏡像對(duì)稱。為了保證濾波后輸出頻譜不發(fā)生混疊，必須滿足上述抽樣率要求。為得到輸出為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，數(shù)字濾波器的輸出須經(jīng)數(shù)模變換和平滑濾波。

設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)理論和設(shè)計(jì)方法已很成熟。有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器可以實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位特性，并且保證絕對(duì)穩(wěn)定。無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)考慮穩(wěn)定性問(wèn)題，其轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點(diǎn)必須保證位于Z平面的單位圓內(nèi)。由于應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真技術(shù)，目前，可以應(yīng)用數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)軟件包，根據(jù)給定技術(shù)指標(biāo)，在計(jì)算機(jī)上自動(dòng)化設(shè)計(jì)，給出滿足要求的設(shè)計(jì)結(jié)果。

實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用 隨著大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術(shù)的進(jìn)展，數(shù)字濾波器的實(shí)時(shí)硬件實(shí)現(xiàn)也發(fā)展得很快。原先應(yīng)用存儲(chǔ)器和加法器實(shí)現(xiàn)的，現(xiàn)在可以用單片微處理器實(shí)現(xiàn)。要求處理速度較高，運(yùn)算量較大的可以用單片通用高速數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)(含有乘法器）實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。高速或運(yùn)算量大的可以用陣列處理器實(shí)現(xiàn)。產(chǎn)量大、小型化要求高的還可以設(shè)計(jì)成專用集成電路(ASIC)實(shí)現(xiàn)，

由于數(shù)字濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、高可靠性、可復(fù)用、無(wú)介入衰耗，以及可實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，所以在通信工程中有非常廣泛的應(yīng)用。

《數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用》詳細(xì)介紹了數(shù)字濾波原理、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與應(yīng)用技術(shù)。全書共六章，包括噪聲的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)字濾波器的基礎(chǔ)知識(shí)，低通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)及性能分析，高通、帶通及帶阻數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，數(shù)字濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用，工程中簡(jiǎn)易濾波方法，并在附錄中分別介紹了數(shù)字濾波的分析工具和常用窗函數(shù)。《數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用》文字簡(jiǎn)明扼要，物理概念清晰，貼近工程實(shí)際，避免煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，使讀者能夠在較短的時(shí)間內(nèi)，對(duì)低通、高通、帶通、帶阻及多頻帶數(shù)字濾波器原理和設(shè)計(jì)方法有一個(gè)全面的了解。書中用MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了每一種濾波器，程序都經(jīng)過(guò)實(shí)際調(diào)試，并對(duì)實(shí)際信號(hào)進(jìn)行了濾波處理，列出了部分處理結(jié)果，便于讀者對(duì)其性能進(jìn)行分析比較，方便對(duì)實(shí)際工程信號(hào)的濾波處理。