統(tǒng)計(jì)量完全性

統(tǒng)計(jì)量是由樣本加工而成的，在用統(tǒng)計(jì)量代替樣本作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，樣本中所

含的信息可能有所損失，如果在將樣本加工為統(tǒng)計(jì)量時(shí)，信息毫無(wú)損失，則稱此統(tǒng)計(jì)量為充分統(tǒng)計(jì)量。例如，從一大批產(chǎn)品中依次抽出n個(gè)，若第i次抽出的是合格品，則xi=0，否則xi=1(i=1,2，…，n）?？傮w分布取決于整批產(chǎn)品的廢品率p，可以證明：統(tǒng)計(jì)量，即樣本中的廢品個(gè)數(shù)，包含了（x1，x2，…，xn）中有關(guān)p的全部信息，是一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量。若取m<n，令Tm(x1，，則Tm仍是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，不過(guò)不是充分的。

充分性是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要基本概念，它是R.A.費(fèi)希爾在1925年引進(jìn)的，費(fèi)希爾提出，并由J.奈曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴(yán)格證明了一個(gè)判定統(tǒng)計(jì)量充分性的方法，叫因子分解定理。這個(gè)定理適用面廣且應(yīng)用方便，利用它可以驗(yàn)證很多常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的充分性。例如，若正態(tài)總體有已知方差，則樣本均值塣是充分統(tǒng)計(jì)量。若正態(tài)總體的均值、方差都未知，則樣本均值和樣本方差S合起來(lái)構(gòu)成充分統(tǒng)計(jì)量（塣，S）。一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否充分，與總體分布有密切關(guān)系。

將樣本加工成統(tǒng)計(jì)量要求越簡(jiǎn)單越好。簡(jiǎn)單的程度的大小，主要用統(tǒng)計(jì)量的維數(shù)來(lái)衡量。簡(jiǎn)單地講，若統(tǒng)計(jì)量T2是由統(tǒng)計(jì)量T1加工而來(lái)（即T2是T1的函數(shù))，則T2比T1簡(jiǎn)單。在此意義上，最簡(jiǎn)單的充分統(tǒng)計(jì)量叫極小充分統(tǒng)計(jì)量。這是E.L.萊曼和H.謝菲于1950年提出的。前例中的充分統(tǒng)計(jì)量都有極小性。在任何情況下，樣本x1,x2，…，xn本身就是一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，但一般不是極小的。

關(guān)于統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)重要的基本概念是完全性。設(shè)T為一統(tǒng)計(jì)量，θ為總體分布參數(shù)，若對(duì)θ的任意函數(shù)g(θ），基于T的無(wú)偏估計(jì)至多只有一個(gè)（以概率1相等的兩個(gè)估計(jì)量視為相同），則稱T為完全的。

統(tǒng)計(jì)量樣本矩

設(shè)x1,x2，…，xn是一個(gè)大小為n的樣本，對(duì)自然數(shù)k，分別稱 為k階樣本原

點(diǎn)矩和k階樣本中心矩，統(tǒng)稱為樣本矩。許多最常用的統(tǒng)計(jì)量，都可由樣本矩構(gòu)造。例如，樣本均值（即α1）和樣本方差 是常用的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，前者反映總體中心位置的信息，后者反映總體分散情況。還有其他常用的統(tǒng)計(jì)量，如樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本變異系數(shù)S/塣，樣本偏度，樣本峰度等都是樣本矩的函數(shù)。若(x1,Y1），（x2,Y2），…，（xn,Yn）是從二維總體（x，Y）抽出的簡(jiǎn)單樣本，則樣本協(xié)方差·及樣本相關(guān)系數(shù) 也是常用的統(tǒng)計(jì)量，r可用于推斷x和Y的相關(guān)性。

統(tǒng)計(jì)量次序統(tǒng)計(jì)量

把樣本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，稱之為樣本x1,x2，…

,xn的次序統(tǒng)計(jì)量。其中最小次序統(tǒng)計(jì)量x⑴最大次序統(tǒng)計(jì)量x(n）稱為極值，在那些如年枯水量、年最大地震級(jí)數(shù)、材料的斷裂強(qiáng)度等的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中很有用。還有一些由次序統(tǒng)計(jì)量派生出來(lái)的有用的統(tǒng)計(jì)量，如：樣本中位數(shù) 是總體分布中心位置的一種度量，若樣本大小n為奇數(shù)，，若n為偶數(shù)，，它容易計(jì)算且有良好的穩(wěn)健性。樣本p分位數(shù)Zp(0<p<1）及極差x(n)-x⑴也是重要的統(tǒng)計(jì)量。其中Zp當(dāng)時(shí)即為中位數(shù)，而當(dāng)時(shí)，表示不超過(guò)1 np的最大整數(shù)）。樣本分位數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用是構(gòu)造連續(xù)總體分布的非參數(shù)性容忍區(qū)間（見(jiàn)區(qū)間估計(jì)）。

統(tǒng)計(jì)量U統(tǒng)計(jì)量

這是W.霍夫丁于1948年引進(jìn)的，它在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。其定義是：設(shè)x1,x2，…，xn，為簡(jiǎn)單樣本，m為不超過(guò)n的自然數(shù)，為m元對(duì)稱函數(shù)，則稱 為樣本x1,x2，…，xn的以為核的U統(tǒng)計(jì)量。樣本均值和樣本方差都是它的特例。從霍夫丁開(kāi)始，這種統(tǒng)計(jì)量的大樣本性質(zhì)得到了深入的研究，主要應(yīng)用于構(gòu)造非參數(shù)性的量的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)（見(jiàn)點(diǎn)估計(jì)），并在這種估計(jì)的基礎(chǔ)上檢驗(yàn)非參數(shù)性總體中的有關(guān)假設(shè)。

統(tǒng)計(jì)量秩統(tǒng)計(jì)量

把樣本X1，X2，…，Xn 按大小排列為，若 則稱Ri為xi的秩，全部n個(gè)秩R1，R2，…，Rn構(gòu)成秩統(tǒng)計(jì)量，它的取值總是1,2，…，n的某個(gè)排列。秩統(tǒng)計(jì)量是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的一個(gè)主要工具。

還有一些統(tǒng)計(jì)量是因其與一定的統(tǒng)計(jì)方法的聯(lián)系而引進(jìn)的。如假設(shè)檢驗(yàn)中的似然比原則所導(dǎo)致的似然比統(tǒng)計(jì)量，K.皮爾森的擬合優(yōu)度（見(jiàn)假設(shè)檢驗(yàn)）準(zhǔn)則所導(dǎo)致的Ⅹ統(tǒng)計(jì)量，線性統(tǒng)計(jì)模型中的最小二乘法所導(dǎo)致的一系列線性與二次型統(tǒng)計(jì)量，等等。

樣本的已知函數(shù)；其作用是把樣本中有關(guān)總體的信息匯集起來(lái)；是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念。統(tǒng)計(jì)量依賴且只依賴于樣本x1,x2,…xn；它不含總體分布的任何未知參數(shù)。

從樣本推斷總體（見(jiàn)統(tǒng)計(jì)推斷）通常是通過(guò)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行的。例如x1,x2，…，xn是從正態(tài)總體N(μ,1）（見(jiàn)正態(tài)分布）中抽出的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中均值（見(jiàn)數(shù)學(xué)期望）μ是未知的，為了對(duì)μ作出推斷，計(jì)算樣本均值?？梢宰C明，在一定意義下，塣包含樣本中有關(guān)μ的全部信息，因而能對(duì)μ作出良好的推斷。這里只依賴于樣本x1,x2，…，xn，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)理論中用來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、檢驗(yàn)的變量。宏觀量是大量微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，具有統(tǒng)計(jì)平均的意義，對(duì)于單個(gè)微觀粒子，宏觀量是沒(méi)有意義的．相對(duì)于微觀量的統(tǒng)計(jì)平均性質(zhì)的宏觀量也叫統(tǒng)計(jì)量。需要指出的是，描寫宏觀世界的物理量例如速度、動(dòng)能等實(shí)際上也可以說(shuō)是宏觀量，但宏觀量并不都具有統(tǒng)計(jì)平均的性質(zhì)，因而宏觀量并不都是統(tǒng)計(jì)量。

統(tǒng)計(jì)量的分布叫抽樣分布。它與樣本分布不同，后者是指樣本x1,x2，…，xn的聯(lián)合分布。

統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)以及使用某一統(tǒng)計(jì)量作推斷的優(yōu)良性，取決于其分布。所以抽樣分布的研究是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要課題。尋找統(tǒng)計(jì)量的精確的抽樣分布，屬于所謂的小樣本理論（見(jiàn)大樣本統(tǒng)計(jì)）的范圍，但是只在總體分布為正態(tài)時(shí)取得比較系統(tǒng)的結(jié)果。對(duì)一維正態(tài)總體，有三個(gè)重要的抽樣分布，即Ⅹ分布、t分布和F分布。

Ⅹ分布 　設(shè)隨機(jī)變量x1,x2，…，xn是相互獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1），則隨機(jī)變量的分布稱為自由度為n的Ⅹ分布（其密度函數(shù)及下文的t分布、F分布的密度函數(shù)表達(dá)式均見(jiàn)概率分布）。這個(gè)分布是 F.赫爾梅特于1875年在研究正態(tài)總體的樣本方差時(shí)得到的。若x1,x2，…，xn是抽自正態(tài)總體N(μ,σ）的簡(jiǎn)單樣本，則變量服從自由度為n-1的Ⅹ分布。若x1，x2，…，xn服從的不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而依次是正態(tài)分布N(μi,1）（i=1,2，…，n），則的分布稱為非中心Ⅹ分布，稱為非中心參數(shù)。當(dāng)δ=0時(shí)即前面所定義的Ⅹ分布。為此，有時(shí)也稱它為中心Ⅹ分布。中心與非中心的Ⅹ分布在正態(tài)線性模型誤差方差的估計(jì)理論中，在正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)問(wèn)題中（見(jiàn)假設(shè)檢驗(yàn)），以及一般地在正態(tài)變量的二次型理論中都有重要的應(yīng)用。

t分布設(shè)隨機(jī)變量ξ，η獨(dú)立，且分別服從正態(tài)分布N(δ,1）及自由度n的中心Ⅹ分布，則變量的分布稱為自由度n、非中心參數(shù)δ的非中心t分布；當(dāng)δ=0時(shí)稱為中心t分布。若x1，x2，…，xn是從正態(tài)總體N（μ,σ）中抽出的簡(jiǎn)單樣本，以塣記樣本均值，以記樣本方差，則服從自由度n-1的t分布。這個(gè)結(jié)果是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.戈塞特（又譯哥色特，筆名“學(xué)生”）于 1908年提出的。t分布在有關(guān)正態(tài)總體均值的估計(jì)和檢驗(yàn)問(wèn)題中，在正態(tài)線性統(tǒng)計(jì)模型對(duì)可估函數(shù)的推斷問(wèn)題中有重要意義，t分布的出現(xiàn)開(kāi)始了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的小樣本理論的發(fā)展 。

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