一階系統(tǒng)

1.任意激勵(lì)下一階電路的通解一階電路，a.b之間為電容或電感元件，激勵(lì)Q(t)為任意時(shí)間函數(shù)，求一階電路全響應(yīng)一階電路的微分方程和初始條件為:

df(t)dt+p(t)f(t)=?(t)

(1) f(0+)=u0其中p(t)=1τ，

用"常數(shù)變易法"求解。

令f(t)=u(t)e-∫p(t)dt，代入方程得

u(t)=∫(t)e∫p(t)dtdt+c1f(t)=c1e-∫p(t)dt+e-∫p(t)dt

∫(t)e∫p(t)dtdt=fh(t)+fp(t)

(2)常數(shù)由初始條件決定.其中fh(t)、fp(t)分別為暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。

2.三要素公式通用形式用p(t)=1τ和初始條件f(0+)代入(2)式有c1=f(0+)-fp(0+)f(t)=fp(t)+[f(0+)-fp(0+)]e-1

上式中每一項(xiàng)都有確定的數(shù)學(xué)意義和物理意義.fp(t)=e-1τ∫(t)e1τdt在數(shù)學(xué)上表示方程的特解，即t~∞時(shí)的f(t)，所以，在物理上fp(t)表示一個(gè)物理量的穩(wěn)態(tài)。(隨t作穩(wěn)定變化)。

fh(t)=c1e-1τ在數(shù)學(xué)上表示對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，是一個(gè)隨時(shí)間作指數(shù)衰減的量，當(dāng)時(shí)t~∞，fh(t)~0，在物理上表示一個(gè)暫態(tài)，一個(gè)過渡過程。

c1=f(0+)-fp(0+),其中fp(0+)表示穩(wěn)態(tài)解在t=0時(shí)的值.τ=RC(或L/R),表示f(t)衰減的快慢程度,由元件參數(shù)決定.

3.穩(wěn)態(tài)解的求取方法由于穩(wěn)態(tài)解是方程的特解,由上面的討論可知:

fp(t)=e-1τ∫(t)e1τdt

對(duì)任意函數(shù)可直接積分求出.其方程和初始條件為:

didt+RLi=UmLcos(ωt+φu)i(0+)=I0ip(t)=e-LtR∫UmLcos(ωt+φu)eRtLdt.

用分步積分法求得ip(t)=UmR2+ω2L2cos(ωt+φu+θ),其中θ=tg-1(ωLR)ip(0+)=UmR2+ω2L2cos(φu+θ).2)由于穩(wěn)態(tài)解是電路穩(wěn)定后的值,對(duì)任意函數(shù)可用電路的穩(wěn)態(tài)分析法求出.

如上題,使用相量法,有:I?=U?sZ=UmR2+ω2L2∠(φu+θ),ip(t)=UmR2+ω2L2cos(ωt+φu+θ).ip(0+)=UmR2+ω2L2cos(φu+θ).3)也可用試探法(待定系數(shù)法)求出fp(t).如上題中,可以令i=Imcos(ωt+Ψ),代入方程得,Im=UmR2+ω2L2,Ψ=φu+θ,ip(t)=UmR2+ω2L2=cos(ωt+φu+