有理插值曲面構(gòu)造、控制的理論和算法研究

曲面的表示、生成和約束控制是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的中心問題，其基礎(chǔ)是曲面幾何造型的數(shù)學(xué)理論和方法。本項(xiàng)目在研究規(guī)則區(qū)域上矩形剖分下的有理樣條插值問題的基礎(chǔ)上, 主要研究非規(guī)則區(qū)域上散亂數(shù)據(jù)的有理樣條光滑曲面插值問題。對(duì)于規(guī)則區(qū)域上的插值問題，利用已導(dǎo)出的對(duì)稱基研究其點(diǎn)控制的理論和方法；對(duì)于非規(guī)則區(qū)域上散亂數(shù)據(jù)，通過參數(shù)約束方法與B網(wǎng)方法的結(jié)合研究三角剖分下帶參數(shù)的有理光滑插值樣條曲面的生成與約束控制的理論和算法,導(dǎo)出的插值樣條將具有簡(jiǎn)潔的顯式表示；給出的方法將是散亂數(shù)據(jù)二元插值曲面可以進(jìn)行局部和整體修改的創(chuàng)新方法。這些方法將為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中曲面構(gòu)造和控制開辟一條嶄新的路子。 2100433B

本項(xiàng)目基本按計(jì)劃實(shí)施。在細(xì)分算法方面，我們對(duì)細(xì)分算法的收斂性，目標(biāo)函數(shù)的光滑價(jià)，多項(xiàng)式再生性，保型性進(jìn)行了研究并歸結(jié)成了一個(gè)易于應(yīng)用的表格。為應(yīng)用中構(gòu)造適合特定目的的細(xì)分算法提供了方便。在散亂數(shù)據(jù)插值特別是徑向基函數(shù)插值方面，我們發(fā)現(xiàn)了正定徑向基函數(shù)的Bochner定理，獲得了緊支柱正定徑向基函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并找到了一系列緊支柱的正定徑向基函數(shù)。之些結(jié)果得到了國(guó)際同行的注意。已經(jīng)在多篇文章中出現(xiàn)把我們找到的這類函數(shù)為WU’S函數(shù)。有的文章還設(shè)立專門章節(jié)討論WU’S函數(shù)的性質(zhì)。我們還在項(xiàng)目相關(guān)的領(lǐng)域進(jìn)行了研究，共發(fā)表了各種論文20余篇。文章被國(guó)際同行廣泛引用，并被應(yīng)用到一些應(yīng)用領(lǐng)域如航天器外殼受壓分析，油藏描述。 2100433B

曲面上曲線對(duì)于曲面性質(zhì)的研究具有重要作用。隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，幾何設(shè)計(jì)對(duì)象日益多樣化，對(duì)幾何設(shè)計(jì)的要求也越來越嚴(yán)格，隨之出現(xiàn)的幾何設(shè)計(jì)中的大量問題，必須通過深入研究曲面上曲線來解決。本項(xiàng)目把握幾何設(shè)計(jì)發(fā)展的新趨勢(shì)，對(duì)初露端倪的曲面上曲線設(shè)計(jì)這一新問題進(jìn)行系統(tǒng)研究。設(shè)計(jì)在參數(shù)曲面，隱式曲面，和網(wǎng)格曲面上計(jì)算插值曲線，等距曲線，以及等曲率線，等照度線等特殊曲線的有效算法，并建立曲面上曲線設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。通過對(duì)參數(shù)曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)以及某些特殊曲線的研究，解決目前計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造領(lǐng)域亟需解決的參數(shù)曲面代數(shù)品質(zhì)與幾何品質(zhì)的評(píng)價(jià)優(yōu)化問題；建立網(wǎng)格曲面品質(zhì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過對(duì)代數(shù)曲面上曲線基于幾何的運(yùn)動(dòng)研究，解決代數(shù)曲面網(wǎng)格化的拓?fù)湟恢滦詥栴}。進(jìn)一步，建立評(píng)價(jià)和優(yōu)化曲面代數(shù)和幾何品質(zhì)的理論基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)一套實(shí)用有效的算法，為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)提供嶄新工具和理論儲(chǔ)備。 2100433B