暫態(tài)頻域分析

滿足狄里赫利條件的周期性時間信號可以用傅里葉級數(shù)展開為一系列頻率為Kf0（K=整數(shù)）的簡諧時間函數(shù)之和

(1)

式中將式(1)中頻率相同的正弦項、余弦項合并，即有

(2)

其中　由(1)、(2)兩式可知，周期性時間信號可表示為一系列諧波之和，這些諧波的頻率為f0的整倍數(shù),Ck是頻率為Kf0的諧波的振幅，φk就是這一諧波的初相角。對一周期性信號可以作出它的各諧波振幅Cn、初相角φn與角頻率ω的關系的圖像，這種圖像分別稱為振幅譜和相位譜。圖中的周期性矩形脈沖的傅里葉級數(shù)展開式是式中　非周期性時間信號的諧波分析 　非周期性信號g(t)滿足某些條件時，也可以展開為正弦形式的諧波的和。這時，由傅里葉級數(shù)的式中令T0→∞,=Δω→dω,可以得到傅里葉積分變換式

(3)

(4)

G(jω)為g(t)的傅里葉變換,g(t)則為G(jω)的傅里葉逆變換，記作

G(jω)=【g(t)】　 (5)

g(t)=-1【G(jω)】　 (6)

對式(4)可以作這樣的解釋:g(t)中頻率為ω的簡諧分量的復振幅以密度G(jω)分布在ω軸上，將這些頻率連續(xù)分布在(-∞,∞)上的所有諧波相加(積分)即得到g(t)。G(jω)是復數(shù),它的模和幅角都是頻率ω的函數(shù)。將G(jω)記作

(7)

式中|G(jω)|稱作幅頻函數(shù)，θ(ω)稱為相頻函數(shù)。對于實數(shù)值的信號有即幅頻函數(shù)是ω的偶函數(shù)，相頻函數(shù)是ω的奇函數(shù)。

應用 　集總的線性系統(tǒng)的輸入激勵與輸出響應的關系可以用一常系數(shù)線性微分方程表示

(8)

式中，u0、ui分別表示線性集總系統(tǒng)的輸出量和輸入量。帶上標(K) 的量表示該量的K階導數(shù)，例如等。對于形如ejwt的激勵，式(8)所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

對于任一形式的激勵ui(t)作用于此系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應u0(t)，便可通過將ui作傅里葉變換，得其頻譜密度再應用疊加定理分別計算各頻率為ω的指數(shù)形激勵產(chǎn)生的響應，最后將這些不同頻率的響應相加使得到u0(t)。它便是系統(tǒng)在ui(t)的作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應。這一結果可表示為下面的積分上式就是U0(jω)的傅里葉反變換。在可以用解析的方法得到這一積分的通式的情況下,便可以得到u0(t)的表達式。在許多情況下，是采用數(shù)值方法去求上式的數(shù)值解。這時要將積分限限制在一有限的范圍，并作離散化的處理。由此發(fā)展起來的快速傅里葉變換技術，為解決這類問題提供了快速而有效的算法。

集總的線性時不變電路和系統(tǒng)的激勵與響應的關系都由常系數(shù)線性微分方程來描述。如果施加以正弦形激勵，如Asin(ωt 嫓)，或指數(shù)形激勵，如，則其穩(wěn)態(tài)響應一般亦呈同頻率的正弦或指數(shù)形式。采用復數(shù)相量法，只需求解由電路方程所得復數(shù)方程組，就可以求得所需的響應。

暫態(tài)分析的目的是要研究在電路中施加激勵后所出現(xiàn)的響應。對于線性時不變電路和系統(tǒng),暫態(tài)的頻域分析的基本思想是將激勵展開為許多存在于 －∞tK倍(K是整數(shù))的諧波之和，即為激勵的傅里葉級數(shù)展開式,所得的響應亦表示為類似的級數(shù)形式。在激勵是非周期時間函數(shù)的情況下,激勵的展開式是頻率連續(xù)分布在-∞ωg(t)=g(t T0)　T0≠0性質的信號。滿足上式的最小的T0值稱為此信號的周期，其頻率為f0。

法國數(shù)學家傅立葉在1807年就寫成關于熱傳導的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學院呈交，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發(fā)表。傅立葉在論文中推導出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。

1822年，傅立葉出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅立葉的名字命名。傅立葉應用三角級數(shù)求解熱傳導方程，為了處理無窮區(qū)域的熱傳導問題又導出了當前所稱的“傅立葉積分”，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。然而傅立葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級數(shù)收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅立葉1822年成為科學院終身秘書。

根據(jù)傅立葉級數(shù)的原理，周期函數(shù)都可以展開為常數(shù)與一組具有共同周期的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和。

滿足Dirichlet條件的、以T為周期的時間的周期函數(shù)f(t)，在連續(xù)點處，可用下述的三角函數(shù)的線性組合（傅里葉級數(shù)）來表示：

上式稱為f(t)的傅里葉級數(shù)，其中，ω=2π/T。

n為整數(shù)，n>=0。

n為整數(shù)，n>=1。

在間斷點處，下式成立：

a0/2為信號f(t)的直流分量。

令

c1為基波幅值，cn為n次諧波的幅值。c1有時也稱一次諧波的幅值。a0/2有時也稱0次諧波的幅值。

整數(shù)n稱為諧波次數(shù)，也稱諧波階數(shù)。

諧波的頻率必然也等于基波的頻率的整數(shù)倍，基波頻率3倍的波稱之為三次諧波，基波頻率5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波。

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電磁暫態(tài)威脅電力系統(tǒng)、電子系統(tǒng)及建筑物等的可靠運行和安全。科學、合理地預測電磁暫態(tài)特性是電氣、電子設備及系統(tǒng)設計與選型的關鍵基礎。本書既涵蓋了傳統(tǒng)的波過程理論及電磁暫態(tài)基本計算方法，同時根據(jù)作者及國內(nèi)外其他學者多年來的相關研究成果，力圖全面梳理電磁暫態(tài)分析的理論和計算方法的最新研究成果，系統(tǒng)介紹具有時域特性和頻域特性的電磁暫態(tài)分析的基礎理論和數(shù)值計算方法，包括具有復雜電磁耦合的半空間全波電磁暫態(tài)的數(shù)值計算方法，以及電磁暫態(tài)分析的智能擬合算法；另外重點介紹了不同電力系統(tǒng)設備、電力電子器件及控制系統(tǒng)、新能源裝置等的電磁暫態(tài)分析模型；最后介紹了電磁暫態(tài)特征提取的小波變換理論及計算方法。本書可供高校和科研院所電氣、電子等專業(yè)的師生閱讀，也可供電力行業(yè)和其他相關行業(yè)的工程技術人員參考