最優(yōu)化問題基本原理

設(shè)計變量與設(shè)計空間

目標(biāo)函數(shù)

等值面具有以下性質(zhì)：

（1）有不同值的等值面之間不相交。因為目標(biāo)函數(shù)是單值函數(shù)。

（2）除了極值點所在的等值面以外，不會在區(qū)域的內(nèi)部中斷。因為目標(biāo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

（3）等值面稠密的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得比較快；稀疏的地方變化得比較慢。

（4）一般地說，在極值點附近等值面近似地呈現(xiàn)為通信橢圓面族。 2100433B

工程設(shè)計中最優(yōu)化問題（optimization problem）的一般提法是要選擇一組參數(shù)（變量），在滿足一系列有關(guān)的限制條件（約束）下，使設(shè)計指標(biāo)（目標(biāo)）達到最優(yōu)值。因此，最優(yōu)化問題通?？梢员硎緸橐韵碌臄?shù)學(xué)規(guī)劃形式的問題。

對于一組可用列向量

因此，進行工程優(yōu)化設(shè)計時，應(yīng)將工程設(shè)計問題用上述形式表示成數(shù)學(xué)問題，再用最優(yōu)化的方法求解。這項工作就是建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型。

約束最優(yōu)化問題就是求目標(biāo)函數(shù)

約束最優(yōu)化問題的解法有兩種：

約束最優(yōu)化問題化約束最優(yōu)化問題為無約束最優(yōu)化問題

例1 最大面積 設(shè)長方形的長、寬之和等于

解: 這就是一個約束最優(yōu)化問題：設(shè)長方形的長為x，寬為y，求目標(biāo)函數(shù)A=xy在條件x y=a之下的最大值。

由于從約束條件x y=a中容易解出y=a-x，代入目標(biāo)函數(shù)

由

從上述例子可以看出化約束最優(yōu)化問題為無約束最優(yōu)化問題的思路：從約束條件

但是，這種方法有局限性，因為有時從約束條件

約束最優(yōu)化問題拉格朗日乘數(shù)法

這一方法的思路是：把求約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求無約束最優(yōu)化問題，看它應(yīng)該滿足什么樣的條件"para" label-module="para">

設(shè)

為了便于記憶，并能容易地寫出方程組(1)，我們構(gòu)造一個函數(shù)

于是，我們把用拉格朗日乘數(shù)法求解約束最優(yōu)化問題的步驟歸納如下：

①構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

②解方程組

③根據(jù)實際問題的性質(zhì)，在可能極值點處求極值 。2100433B

約束最優(yōu)化問題(constrained optimization problem)是指具有約束條件的非線性規(guī)劃問題。極小化問題的一般形式為

結(jié)構(gòu)最優(yōu)化問題的研究具有重要的理論價值，同時有廣泛的應(yīng)用背景。很多重要的實際問題都可以歸結(jié)為結(jié)構(gòu)最優(yōu)化問題，因此對此方向的研究越來越的到國內(nèi)專家學(xué)者的關(guān)注。我們擬對起進行進一步的研究。設(shè)計一些更有效的結(jié)構(gòu)，擬牛頓算法及其軟件，分析其收斂性。推動一般結(jié)構(gòu)最優(yōu)化理論的進一步發(fā)展。... 2100433B