CAD中PH曲線的幾何理論及其應(yīng)用研究

本項(xiàng)目圍繞PH曲線和OR曲線的幾何理論及在CAD中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行了深入而廣泛的研究， 在原有非常有限的幾何理論上進(jìn)行了大力擴(kuò)充，提出了解決問(wèn)題的新方法。 ?在PH曲線研究方面， 我們?cè)瓌?chuàng)性地提出了獲取任意次數(shù)PH曲線邊角分離幾何結(jié)構(gòu)描述的特有方法。 這種方法不僅適用于已有的三次和四次PH曲線，而且可用于任意高階PH曲線。我們聚焦探討了六次與七次PH曲線，得到與之對(duì)應(yīng)的邊角分離的幾何充要條件表述。演繹出判別具有不同頂點(diǎn)的控制多邊形的Bezier曲線是否為PH曲線的幾何判別算法。 只要驗(yàn)證控制多邊形的一組邊長(zhǎng)關(guān)系和一組角度關(guān)系， 就能作出明確的判斷結(jié)果。與傳統(tǒng)代數(shù)方法相比，更為簡(jiǎn)潔、直觀、明了。 同時(shí)，將產(chǎn)生的PH曲線的幾何理論付諸于解決實(shí)際問(wèn)題。 具體包含： 有關(guān)PH曲線曲率單調(diào)性的充分條件研究，而所獲結(jié)論可很好地處理過(guò)渡曲線的構(gòu)造問(wèn)題； 基于六次PH曲線的C1插值構(gòu)造；基于七次PH曲線的G3、C3插值構(gòu)造；基于PH曲線或PH樣條曲線的圓錐曲線逼近和螺旋曲線逼近。 本項(xiàng)目的研究成果很好地落實(shí)了PH曲線的內(nèi)在性，體現(xiàn)了直觀性，實(shí)現(xiàn)了分離性，增強(qiáng)了交互性，推廣了應(yīng)用性。 ?在OR曲線研究方面， 由于OR曲線長(zhǎng)期以來(lái)側(cè)重于代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，而幾何結(jié)構(gòu)方面的研究成果嚴(yán)重缺乏，這表明OR曲線的幾何理論研究同樣遇到很大的困難，成了長(zhǎng)期未解決的難題。經(jīng)過(guò)本課題的研究，突破了長(zhǎng)期以來(lái)由于方法上的困擾所帶來(lái)壁壘，取得較大成果。具體包含：解決了一類三次OR曲線的幾何特征描述。 這些特征條件僅用控制多邊形的邊長(zhǎng)和內(nèi)角就能直觀表述, 并以此進(jìn)行G1插值；解決了五次OR曲線的構(gòu)造，并用于實(shí)踐。 ?本項(xiàng)目除了在以PH曲線和OR曲線為核心問(wèn)題的研究取得很大成果以外， 還擴(kuò)展了與之相關(guān)的研究。 此外，在極小曲面造型、曲線插值、特殊基函數(shù)等研究方面都取得不少成果。 2100433B

本項(xiàng)目研究PH等曲線的幾何理論，發(fā)掘它們特有的幾何特征，并應(yīng)用于CAD領(lǐng)域。.PH曲線優(yōu)點(diǎn)突出，應(yīng)用廣泛。但目前僅三次、四次和五次本原這三種PH曲線的幾何特征為人所知。換言之，在應(yīng)用中，只有這三種曲線的幾何手段得到充分發(fā)揮；除此以外，對(duì)Bezier曲線行之有效的幾何手段在PH曲線的范圍內(nèi)都受到限制，滿足不了實(shí)際需要。本項(xiàng)目要改變此局面，使受限制的幾何手段對(duì)PH曲線同樣起作用。.PH曲線的幾何理論是CAGD的難題，長(zhǎng)期以來(lái)未找到解決方法。近年，有了突破。本項(xiàng)目是原創(chuàng)性研究，要?jiǎng)?chuàng)造新的研究方法，發(fā)現(xiàn)上述三種以外的PH曲線的本質(zhì)屬性在控制多邊形上的反映，以邊長(zhǎng)與角度刻畫(huà)之。從而建立起直觀性強(qiáng)、操作方便、表示簡(jiǎn)潔的幾何理論，使得運(yùn)用幾何手段可以對(duì)PH曲線作判別，可以在PH曲線范圍內(nèi)作交互設(shè)計(jì)，像使用Bezier曲線一樣方便、靈活、有效。再深入地研究OR曲線以及它們生成的樣條等曲線的幾何理論。

本項(xiàng)目圍繞綜合性樣條的特性，對(duì)CAD中的曲線曲面進(jìn)行了深入而廣泛的研究，發(fā)展了若干經(jīng)典理論，提出了新方法。 在曲線研究方面，注重發(fā)揮綜合性樣條的多樣性和簡(jiǎn)便性的特性，也重視發(fā)掘它的幾何特性。首先，吸取了Lengdre理論的精華，把以Bernstein函數(shù)為基礎(chǔ)的正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，加以深化，并將其推廣到綜合性樣條，用作構(gòu)造以綜合性的UE-Bézier基為基礎(chǔ)的擬Lengdre正交多項(xiàng)式；再推廣到B樣條空間，用作構(gòu)造以樣條函數(shù)為基礎(chǔ)的具有顯式表示的一組Lengdre型的正交基，從而豐富了Lengdre方法的內(nèi)容。其次，從提取多項(xiàng)式全正性的幾何要素著手，運(yùn)用幾何方法，發(fā)現(xiàn)了NUAT-B樣條、綜合性UE樣條都具有全正性，進(jìn)而具有近乎嚴(yán)格的全正性，并給出了簡(jiǎn)單、直觀、初等的證明方法，從而擴(kuò)大了全正基的范圍，充實(shí)了全正性的理論。用變次數(shù)B樣條的觀點(diǎn)，審視C-B樣條和綜合性UE樣條曲線的升階過(guò)程，提出了升階算子，由此克服升階不能分段進(jìn)行的困難，揭示其間隱含幾何意義，解決了升階矩陣的二對(duì)角隨機(jī)矩陣的分解難題，為矩陣的分解提供了直觀的有效的幾何方法等。 在曲面研究方面，著重研究了用非多項(xiàng)式的函數(shù)構(gòu)造三角域上曲面時(shí)所需要的定義空間，在三角域上建立多類型的三角曲面片理論，以改變僅用二元多項(xiàng)式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定義P-Bézier基函數(shù)的一元三角函數(shù)線性空間，推廣到二元函數(shù)，構(gòu)造二元的線性三角函數(shù)的空間，建立具有權(quán)性、對(duì)稱性、邊界性的二元線性擬P-Bézier型的基函數(shù)。由此，定義邊界是P-Bézier曲線的擬P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制網(wǎng)格的方法表示三角域上由三角函數(shù)刻劃的曲面片。接著，把四階C-Bézier基的一元混合函數(shù)定義空間，也推廣到二元混合函數(shù)，構(gòu)造了一組與二元三次Bernstein多項(xiàng)式有相同的權(quán)性，端點(diǎn)性的基函數(shù)，從而定義了三角域上的四階擬Bézier曲面，可以插值角點(diǎn)，無(wú)需用有理的形式，以圓弧作邊界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圓弧邊界不足。又進(jìn)一步為了球的表示，將二元線性擬P-Bézier型基發(fā)展為P-Bézier型的三角域上的五階的P-Bézier基，可以用三角形的控制網(wǎng)格表示球面片和整個(gè)球。 此外，在極小曲面、PH曲線、變次數(shù)樣條顯式表示、迭代逼近算法、圖像處理、圖形模擬等方面開(kāi)展了研究，取得了不少成果。 2100433B

本項(xiàng)目系統(tǒng)地研究了面向CAD的圖形多約束理論、方法及其應(yīng)用，提出了多約束關(guān)系識(shí)別、理解與自組織的三大基本原理，提出了約束關(guān)系自組織的一系列新概念和新方法，提出并實(shí)現(xiàn)了8大基本約束種類及其形成的一系列新算法，應(yīng)用圖形多約束理論與方法進(jìn)行工程圖掃描圖象整體識(shí)別，應(yīng)用圖形多約束理論與方法進(jìn)行零件圖裝配圖一體化設(shè)計(jì)，提出并實(shí)現(xiàn)了基于約束關(guān)系自組織的離線參數(shù)化技術(shù)。上述各項(xiàng)研究成果中，應(yīng)用圖形多約束理論與方法進(jìn)行工程圖掃描圖象整體識(shí)別與基于約束關(guān)系自組織的離線參數(shù)化技術(shù)是兩項(xiàng)實(shí)質(zhì)性的突破，已得到學(xué)術(shù)界同行的肯定與認(rèn)可。本項(xiàng)研究在國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)期刊和學(xué)術(shù)會(huì)議上共發(fā)表論文十六篇。 2100433B