CAD中綜合性樣條的理論及應(yīng)用研究

本項目圍繞綜合性樣條的特性，對CAD中的曲線曲面進(jìn)行了深入而廣泛的研究，發(fā)展了若干經(jīng)典理論，提出了新方法。 在曲線研究方面，注重發(fā)揮綜合性樣條的多樣性和簡便性的特性，也重視發(fā)掘它的幾何特性。首先，吸取了Lengdre理論的精華，把以Bernstein函數(shù)為基礎(chǔ)的正交多項式的構(gòu)造方法，加以深化，并將其推廣到綜合性樣條，用作構(gòu)造以綜合性的UE-Bézier基為基礎(chǔ)的擬Lengdre正交多項式；再推廣到B樣條空間，用作構(gòu)造以樣條函數(shù)為基礎(chǔ)的具有顯式表示的一組Lengdre型的正交基，從而豐富了Lengdre方法的內(nèi)容。其次，從提取多項式全正性的幾何要素著手，運用幾何方法，發(fā)現(xiàn)了NUAT-B樣條、綜合性UE樣條都具有全正性，進(jìn)而具有近乎嚴(yán)格的全正性，并給出了簡單、直觀、初等的證明方法，從而擴(kuò)大了全正基的范圍，充實了全正性的理論。用變次數(shù)B樣條的觀點，審視C-B樣條和綜合性UE樣條曲線的升階過程，提出了升階算子，由此克服升階不能分段進(jìn)行的困難，揭示其間隱含幾何意義，解決了升階矩陣的二對角隨機(jī)矩陣的分解難題，為矩陣的分解提供了直觀的有效的幾何方法等。 在曲面研究方面，著重研究了用非多項式的函數(shù)構(gòu)造三角域上曲面時所需要的定義空間，在三角域上建立多類型的三角曲面片理論，以改變僅用二元多項式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定義P-Bézier基函數(shù)的一元三角函數(shù)線性空間，推廣到二元函數(shù)，構(gòu)造二元的線性三角函數(shù)的空間，建立具有權(quán)性、對稱性、邊界性的二元線性擬P-Bézier型的基函數(shù)。由此，定義邊界是P-Bézier曲線的擬P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制網(wǎng)格的方法表示三角域上由三角函數(shù)刻劃的曲面片。接著，把四階C-Bézier基的一元混合函數(shù)定義空間，也推廣到二元混合函數(shù)，構(gòu)造了一組與二元三次Bernstein多項式有相同的權(quán)性，端點性的基函數(shù)，從而定義了三角域上的四階擬Bézier曲面，可以插值角點，無需用有理的形式，以圓弧作邊界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圓弧邊界不足。又進(jìn)一步為了球的表示，將二元線性擬P-Bézier型基發(fā)展為P-Bézier型的三角域上的五階的P-Bézier基，可以用三角形的控制網(wǎng)格表示球面片和整個球。 此外，在極小曲面、PH曲線、變次數(shù)樣條顯式表示、迭代逼近算法、圖像處理、圖形模擬等方面開展了研究，取得了不少成果。 2100433B

本項目研究綜合性樣條的理論與應(yīng)用。綜合性樣條是近年來才出現(xiàn)的樣條的新品種，其特點是兼有多樣性與簡便性。多樣性指一條樣條曲線上有多種類型的曲線段存在；簡便性指樣條曲線的求導(dǎo)要簡單，計算要穩(wěn)定、方便。NURBS具有多樣性，但不具備簡便性；B樣條雖有簡便性，但缺少多樣性。相比之下，綜合性樣條的優(yōu)點是突出的。本項目的研究難點，在于綜合性樣條定義空間的構(gòu)造,無現(xiàn)成研究樣條的方法可循。為此，本項目首先要創(chuàng)造新方法，構(gòu)造該空間。該空間要具有聯(lián)合性與可變性。聯(lián)合性要求該空間能融合多個空間于一個整體；可變性能使綜合性樣條曲線曲面可以從其中的一個空間變到另外一個空間。其次要在該空間中構(gòu)造具有權(quán)性，局部支撐性的B基。該基應(yīng)具有可變性。通過可變性統(tǒng)一多樣性和簡便性，最后，要研究綜合性樣條曲線曲面的性質(zhì)，發(fā)揚多樣性、利用簡便性，建立富有特色的理論體系，要設(shè)計高效算法，使其在CAD和逆向工程應(yīng)用中發(fā)揮巨大的作用。

用樣條構(gòu)造復(fù)雜幾何模型是當(dāng)今CAD發(fā)展面臨的一大挑戰(zhàn)。應(yīng)對挑戰(zhàn)的出路是建立新的幾何數(shù)學(xué)模型，點集B樣條應(yīng)運而生。點集B樣條具有能在任意點集上定義，與點集三角化無關(guān)，亦無需添加輔助節(jié)點等優(yōu)點，它還包含一元B樣條為特殊情況。因此，點集B樣條能克服張量積B樣條和以往非張量積樣條的缺點，其構(gòu)造復(fù)雜曲面的潛力是突出的。本項目首先深入研究基于Delaunay結(jié)構(gòu)的單形樣條空間的逼近性質(zhì)并提出有效算法。其次，總結(jié)已有樣條的構(gòu)造經(jīng)驗，提出新的點集B樣條空間。該空間要可以在任意點集上定義，其中包括重節(jié)點和均勻節(jié)點的情況，基函數(shù)要具有權(quán)性與線性無關(guān)性等基本性質(zhì)。再次，要設(shè)計點集B樣條的高效求值、求導(dǎo)、求積等應(yīng)用算法，發(fā)揮其可以在任意點集上構(gòu)造曲面的特點，建立富有特色的理論體系。最后，將點集B樣條理論初步用于解決地球科學(xué)中的重力場重構(gòu)問題，推動學(xué)科間的交叉合作，使點集B樣條在CAD、地球科學(xué)等領(lǐng)域中發(fā)揮作用。

構(gòu)造適合復(fù)雜幾何造型的幾何模型是當(dāng)今樣條理論發(fā)展急需解決的問題之一。本項目深入研究了基于Delaunay結(jié)構(gòu)的單形樣條（DCB樣條）的性質(zhì)，首次提出了DCB樣條在球面參數(shù)域上的推廣，設(shè)計了球面域上定義的樣條函數(shù)節(jié)點子集的高效計算方法與自適應(yīng)的節(jié)點插入方法；推廣了DCB樣條的構(gòu)造，克服了DCB樣條控制頂點幾何意義不明確的缺點，設(shè)計了兩種幾何直觀性強(qiáng)的點集B樣條曲面構(gòu)造方法，并提出有效的計算方法。一是從三角網(wǎng)格出發(fā)構(gòu)造連續(xù)的有理樣條曲面的方法，得到的曲面以輸入的三角網(wǎng)格為控制網(wǎng)格，其形狀與控制網(wǎng)格相近，且可通過直接調(diào)整控制頂點位置來修改；二是從點集上直接定義樣條函數(shù)，通過增加適當(dāng)?shù)妮o助控制頂點，使得到的點集B樣條曲面的控制網(wǎng)格具有三角網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。深入研究了新的點集B樣條的理論及算法，將其應(yīng)用于解決三維離散數(shù)據(jù)的擬合等問題。在數(shù)據(jù)擬合的應(yīng)用中，優(yōu)化了點集B樣條的節(jié)點集合的選取方法，使得樣條空間的構(gòu)造依據(jù)擬合數(shù)據(jù)的潛在信息，如幾何特征、擬合誤差等來構(gòu)造，從而使得點集B樣條曲面在構(gòu)造幾何特征等方面比DCB樣條具有優(yōu)勢。深入研究了點集B樣條節(jié)點設(shè)置的變分方法理論，將其思想推廣到二維、三維空間及一般流形曲面上，用于高質(zhì)量的網(wǎng)格生成、分片函數(shù)逼近等問題。 2100433B

本項目圍繞PH曲線和OR曲線的幾何理論及在CAD中的應(yīng)用問題進(jìn)行了深入而廣泛的研究， 在原有非常有限的幾何理論上進(jìn)行了大力擴(kuò)充，提出了解決問題的新方法。 ?在PH曲線研究方面， 我們原創(chuàng)性地提出了獲取任意次數(shù)PH曲線邊角分離幾何結(jié)構(gòu)描述的特有方法。 這種方法不僅適用于已有的三次和四次PH曲線，而且可用于任意高階PH曲線。我們聚焦探討了六次與七次PH曲線，得到與之對應(yīng)的邊角分離的幾何充要條件表述。演繹出判別具有不同頂點的控制多邊形的Bezier曲線是否為PH曲線的幾何判別算法。 只要驗證控制多邊形的一組邊長關(guān)系和一組角度關(guān)系， 就能作出明確的判斷結(jié)果。與傳統(tǒng)代數(shù)方法相比，更為簡潔、直觀、明了。 同時，將產(chǎn)生的PH曲線的幾何理論付諸于解決實際問題。 具體包含： 有關(guān)PH曲線曲率單調(diào)性的充分條件研究，而所獲結(jié)論可很好地處理過渡曲線的構(gòu)造問題； 基于六次PH曲線的C1插值構(gòu)造；基于七次PH曲線的G3、C3插值構(gòu)造；基于PH曲線或PH樣條曲線的圓錐曲線逼近和螺旋曲線逼近。 本項目的研究成果很好地落實了PH曲線的內(nèi)在性，體現(xiàn)了直觀性，實現(xiàn)了分離性，增強(qiáng)了交互性，推廣了應(yīng)用性。 ?在OR曲線研究方面， 由于OR曲線長期以來側(cè)重于代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，而幾何結(jié)構(gòu)方面的研究成果嚴(yán)重缺乏，這表明OR曲線的幾何理論研究同樣遇到很大的困難，成了長期未解決的難題。經(jīng)過本課題的研究，突破了長期以來由于方法上的困擾所帶來壁壘，取得較大成果。具體包含：解決了一類三次OR曲線的幾何特征描述。 這些特征條件僅用控制多邊形的邊長和內(nèi)角就能直觀表述, 并以此進(jìn)行G1插值；解決了五次OR曲線的構(gòu)造，并用于實踐。 ?本項目除了在以PH曲線和OR曲線為核心問題的研究取得很大成果以外， 還擴(kuò)展了與之相關(guān)的研究。 此外，在極小曲面造型、曲線插值、特殊基函數(shù)等研究方面都取得不少成果。 2100433B