等效轉(zhuǎn)動慣量

?轉(zhuǎn)動慣量(Moment of Inertia)是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個重要參量。 電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動慣量不同，可分別用于測量微小電流（檢流計）或電量（沖擊電流計）。在發(fā)動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計上，精確地測定轉(zhuǎn)動慣量，都是十分必要的。

對于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計算出相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。而對于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，因而實驗方法就顯得更為重要。

Moment of Inertia剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量。其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個質(zhì)點的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān)。形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實驗法測定。轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用于剛體各種運動的動力學(xué)計算中。

描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動慣量中的最小者。

轉(zhuǎn)動慣量嚴(yán)格來說是一個張量，必須從張量的角度對其進行定義。出于簡單的角度考慮，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達(dá).

設(shè)有一個剛體A,其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量張量定義為Jc，則Jc=∫ρ(r●rδ-rr)dV。該積分遍及整個剛體A，且，

其中，r=r1 e_1 + r2 e_2 + r3 e_3 ，是剛體質(zhì)心C到剛體上任一點B的矢徑；表達(dá)式rr是兩個矢量的并乘；而單位張量δ是度量張量，δ=δ_ij e_i e_j ，這里i和j是啞指標(biāo)，標(biāo)架(C;e_1，e_2，e_3)是一個典型的單位正交曲線標(biāo)架；ρ是剛體的密度。

設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為ΣMc，剛體A在慣性系下的角速度矢量為ω，角加速度矢量為α，A繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量為Jc，則有如下的力矩方程：

ΣMc=Jc●α+ω×Jc●ω

將上面的矢量形式的力矩方程向各個坐標(biāo)軸投影（或者，更確切地說，與各個坐標(biāo)軸的單位方向矢量相點乘），就可以獲得各個坐標(biāo)軸分量方向的標(biāo)量形式的力矩方程。

轉(zhuǎn)動慣量張量Jc是一個二階張量，雖然在標(biāo)架(C;e_1，e_2，e_3)下它有九個分量，但是因為它是一個對稱張量，故其實際獨立的分量只有六個。