多元樣條的力學(xué)模型及其應(yīng)用

圖書簡介

本書構(gòu)造性地研究了多元樣條函數(shù)的力學(xué)模型及其在幾何造型領(lǐng)域的某些應(yīng)用.內(nèi)容包括:一元樣條及其力學(xué)模型;多元樣條理論;矩形剖分、三角剖分、圓扇形剖分上多元樣條的力學(xué)模型和基于力學(xué)原理的幾何造型方法等.

本書可作為應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)等專業(yè)研究生的教學(xué)參考書，也可供從事幾何設(shè)計、計算力學(xué)、計算機輔助設(shè)計與制造(CAD/CAM/CAE)等領(lǐng)域的科學(xué)技術(shù)人員參考使用.

前言

樣條函數(shù)一般定義為具有一定光滑度的分段或分片多項式函數(shù).樣條函數(shù)作為逼近工具，已廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計與制造、微分與積分方程數(shù)值解等科學(xué)與工程計算的各個領(lǐng)域.1946年,I.J.Schoenberg系統(tǒng)地研究了一元樣條函數(shù),并指出一元三次樣條函數(shù)的力學(xué)觀點,即彈性細梁在集中載荷作用下小撓度彎曲變形曲線,這也是"樣條函數(shù)"命名的由來.從樣條函數(shù)的力學(xué)觀點出發(fā),根據(jù)彈性力學(xué)中的最小勢能原理,J.C.Holladay于1957年證明了自然三次樣條的最光滑性質(zhì).由此可知,樣條函數(shù)與力學(xué)之間有著天然的聯(lián)系.1977年,J.Duchon從約束優(yōu)化角度出發(fā),以泛函的觀點對一元樣條作了多元推廣,滿足插值條件并令彎曲能取極小,得到二維情形下的所謂薄板樣條(thin-platespline).薄板樣條本質(zhì)上已不是分片多項式意義下的樣條函數(shù),而是一種徑向基函數(shù).1975年,王仁宏從研究相鄰兩個多項式之間光滑性與整除性的關(guān)系入手,引入"光滑余因子"及"協(xié)調(diào)條件"建立了任意剖分上多元樣條的基本理論框架,開創(chuàng)了研究多元樣條的代數(shù)幾何方法，取得了豐富的研究成果.多元樣條的"光滑余因子協(xié)調(diào)法"在樣條空間的維數(shù)、基函數(shù)組的構(gòu)造等方面具有重要作用，并被列為"多元樣條研究的幾個流派之一".

從彈性力學(xué)及板殼理論出發(fā),引入"分段線載荷"構(gòu)造性地建立了多元樣條與力學(xué)的聯(lián)系，本書稱之為"多元樣條的力學(xué)模型".研究所涉及的剖分包括矩形剖分、三角剖分及圓扇形剖分等,外力包括力偶、均布載荷及集中載荷等多種情形，并在簡單剖分中對"光滑余因子"及"協(xié)調(diào)條件"給出了力學(xué)解釋.其中圓扇形剖分上多元樣條力學(xué)模型的研究，旨在建立多元多項式樣條與薄板樣條(徑向基函數(shù))之間的聯(lián)系.

本書是我們近十年研究成果的整理和總結(jié)，較為系統(tǒng)地介紹了多元樣條的力學(xué)模型及其應(yīng)用.全書共6章，第1章介紹了一元樣條及其力學(xué)模型，特別對一元三次樣條給出了力學(xué)上的求解.第2章是多元樣條基本理論概述，主要介紹"光滑余因子協(xié)調(diào)法"，B樣條方法和B網(wǎng)方法只介紹基本概念.第3、4、5章分別介紹了矩形剖分、三角剖分和圓扇形剖分上多元樣條的力學(xué)模型，包括薄板分片純彎曲、簡支多邊形薄板分片彎曲、圓形板分片彎曲等，對于正三角剖分上的5次樣條，揭示出其中蘊含著黃金分割，值得進一步深入探討.第6章介紹了基于力學(xué)原理的幾何造型方法，特別是基于曲面彎曲能量約束的造型方法.

感謝國家自然科學(xué)基金、河北省自然科學(xué)基金對本書的大力支持，在研究工作期間，本人獲得河北省優(yōu)秀專家出國培訓(xùn)項目的支持，到美國賓夕法尼亞州立大學(xué)訪問學(xué)習(xí)一年，使得研究工作更為深入，在此對河北省人力資源與社會保障廳的資助表示感謝.本書的諸位作者是國家精品課程、國家精品資源共享課程"數(shù)值計算方法"的骨干教師，也是華北理工大學(xué)計算數(shù)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團隊的核心成員，十分感謝學(xué)校對我們的一貫幫助和支持.華北理工大學(xué)計算幾何討論班的研究生為書稿的整理和校對付出了辛勤的勞動，在此一并致謝.最后，衷心感謝王仁宏教授、吳宗敏教授、杜強教授長期以來對我的指導(dǎo)和關(guān)心.

由于時間倉促，加之水平所限，書中難免會有不足和謬誤之處，敬請專家、讀者批評指正，我們將不勝感激.

作者

2016年3月

編輯推薦

本書是國內(nèi)外系統(tǒng)地研究多元樣條力學(xué)模型的第一本專著，引入"分段線載荷"構(gòu)造性地建立了多元樣條與力學(xué)的聯(lián)系，并將結(jié)果推廣到矩形剖分、三角剖分、圓扇形剖分上的二元樣條函數(shù)，為多元樣條在幾何造型、計算機輔助設(shè)計與制造等方面的應(yīng)用提供了新的觀點和參考。

目錄

第1章一元樣條及其力學(xué)模型

1.1一元樣條函數(shù)理論分析

1.1.1一元樣條函數(shù)

1.1.2一元B樣條函數(shù)

1.2梁的彎曲變形原理

1.3一元樣條函數(shù)的力學(xué)模型

1.3.1樣條力學(xué)模型與梁純彎曲

1.3.2懸臂梁模型

1.3.3外伸梁模型

1.4外力偶與控制頂點的對應(yīng)關(guān)系

1.4.1插值曲線的力偶求解

1.4.2力偶與deBoor控制點的關(guān)系

1.5本章小結(jié)

第2章多元樣條與薄板彎曲理論概述

2.1光滑余因子協(xié)調(diào)法

2.2B網(wǎng)方法

2.3多元B樣條

2.4薄板彎曲理論

2.4.1直角坐標(biāo)系下的薄板彎曲理論

2.4.2圓扇形板的彎曲變形

2.5本章小結(jié)

第3章矩形剖分上多元樣條的力學(xué)模型

3.1S12(Δmn)與薄板純彎曲

3.1.1薄板純彎曲

3.1.2均勻矩形剖分

3.1.3非均勻矩形剖分

3.1.4一般矩形剖分

3.1.5進一步討論

3.2矩形剖分上二元三次樣條的力學(xué)模型

3.2.1S23(Δmn)的力學(xué)模型

3.2.2S13(Δmn)矩形剖分

3.3本章小結(jié)

第4章三角剖分上多元樣條的力學(xué)模型

4.1S1,03(Δ(1)c)與簡支多邊形薄板彎曲

4.1.1板彎曲化成薄膜的撓度問題

4.1.2簡支等邊三角形板的彎曲

4.1.3簡支菱形板的彎曲

4.1.4簡支正六邊形板的彎曲

4.1.5簡支矩形板的彎曲

4.1.6一般可三向剖分域上簡支薄板的彎曲

4.2S13(Δ(1)mn)力學(xué)模型的進一步討論

4.2.1自由邊界

4.2.2簡支邊界

4.2.3一般情況

4.3正三角剖分上S3,05與均載薄板彎曲

4.3.1板彎曲問題的化簡

4.3.2均載簡支菱形板的彎曲

4.3.3簡支正六邊形板的彎曲

4.3.4S35的變分性質(zhì)

4.3.5樣條中的黃金分割

4.4本章小結(jié)

第5章圓扇形剖分上多元樣條的力學(xué)模型

5.1柱面坐標(biāo)系下的Bzier曲面

5.1.1旋轉(zhuǎn)BernsteinBzier曲面

5.1.2柱面坐標(biāo)系下張量型的BernsteinBzier曲面

5.2柱面坐標(biāo)系下的混合Bzier曲面

5.2.1混合Bernstein基函數(shù)及性質(zhì)

5.2.2混合Bzier曲面及性質(zhì)

5.2.3混合Bzier曲面的造型應(yīng)用

5.2.4混合造型其他形式

5.3柱面坐標(biāo)系下的均勻B樣條曲面

5.3.1旋轉(zhuǎn)均勻B樣條曲面

5.3.2柱面坐標(biāo)系下張量型均勻B樣條曲面

5.4扇形剖分上的多元樣條

5.4.1環(huán)形樣條及其剖分形式

5.4.2圓形域上的樣條

5.5環(huán)形剖分上樣條的力學(xué)模型

5.5.1對稱圓形板理論

5.5.2S12型環(huán)形板理論

5.5.3S13與S23型環(huán)形板理論

5.5.4圓形板與環(huán)形板的S02與S12型環(huán)形板理論

5.6扇形樣條的力學(xué)模型

5.6.1S12型樣條的力學(xué)模型

5.6.2環(huán)扇形域上三次樣條的純彎曲模型

5.6.3環(huán)扇形域上三次樣條的非純彎曲力學(xué)模型

5.7圓形域上樣條的力學(xué)模型

5.7.1S12型樣條的力學(xué)模型

5.7.2S13型樣條的力學(xué)模型

5.8本章小結(jié)

第6章樣條力學(xué)模型的應(yīng)用

6.1一元樣條函數(shù)的能量泛函

6.2二元樣條函數(shù)的能量泛函

6.3矩形板的廣義能量泛函

6.4能量優(yōu)化法曲面造型

6.4.1能量優(yōu)化法原理

6.4.2曲面能量模型的處理

6.4.3邊界曲線約束的曲面造型

6.4.4參數(shù)曲面片約束的曲面造型

6.5薄板樣條與圓形板的軸對稱彎曲問題

6.5.1薄板樣條

6.5.2圓形板的軸對稱彎曲問題

6.6本章小結(jié)

參考文獻