概率空間中非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)問題及其應(yīng)用

本項(xiàng)目主要對(duì)概率空間和其他類型空間中非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)與重合點(diǎn)、概率空間中非線性算子的固有值與固有元及廣義量子門等問題進(jìn)行了研究，獲得了一批新成果，豐富和發(fā)展了概率空間中的非線性算子理論和不動(dòng)點(diǎn)理論。 首先，建立了Menger PM-空間中弱偏向映射對(duì)和偶然弱偏向映射對(duì)在不同壓縮條件下的若干新不動(dòng)點(diǎn)定理，在Z-P-S空間中研究了半閉1-集壓縮算子的固有值與固有元存在的條件，利用半序方法，通過構(gòu)造不同的壓縮條件，研究了一類序壓縮算子對(duì)的重合點(diǎn)存在性，同時(shí)，在半序Menger PM-空間中引入廣義循環(huán)弱壓縮映射的概念，并建立了關(guān)于此類映射的重合點(diǎn)定理。 其次，給出了廣義量子門的一個(gè)新等價(jià)刻畫，證明了許多常見的算子類均為廣義量子門，同時(shí)指出廣義量子門全體所成集合和限制允許廣義量子門全體所成集合為同一集合。 再次，在Menger概率G-度量空間中引入兩類壓縮映射的概念，并證明了關(guān)于此兩類映射的若干不動(dòng)點(diǎn)定理，同時(shí)，引入廣義Menger PM-空間以及映射對(duì)的三重公共不動(dòng)點(diǎn)的概念，并研究了具有規(guī)函數(shù)的混合概率壓縮的三重公共不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性問題。 最后，在偏b-度量空間中引入關(guān)于三個(gè)映射的一類擴(kuò)張映射和一類廣義弱擴(kuò)張映射的定義，在此基礎(chǔ)上建立了偏b-度量空間中關(guān)于此兩類映射的一些公共不動(dòng)點(diǎn)定理，并討論了關(guān)于一類積分方程組的解的問題，同時(shí)，研究了錐度量空間中Ciric型廣義壓縮條件下兩個(gè)非自映射對(duì)的公共不動(dòng)點(diǎn)定理。

概率度量空間中非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)理論是概率分析的重要研究?jī)?nèi)容，對(duì)于豐富和發(fā)展概率度量空間理論和非線性泛函分析均具有十分重要的意義。在申請(qǐng)人前期對(duì)概率度量空間中不動(dòng)點(diǎn)問題及拓?fù)涠壤碚撊〉玫难芯砍晒A(chǔ)上，本項(xiàng)目將綜合利用迭代方法、拓?fù)涠确椒ㄅc半序方法集中研究以下兩方面問題：首先，通過減弱映射對(duì)可交換性條件或推廣到混合情形，來獲得概率度量空間中相容型或非相容型映射的新的不動(dòng)點(diǎn)定理，并在半序概率度量空間中研究壓縮條件下自映射的三重重合點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性；其次，繼續(xù)深入研究概率賦范空間中的拓?fù)涠群筒粍?dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，建立Menger PN-空間中半閉1-集壓縮算子的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)，同時(shí)進(jìn)一步研究Menger PN-空間中各類非線性算子的拓?fù)涠扰c不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)計(jì)算，并應(yīng)用于各種非線性方程，尤其是某些非線性積分方程解的討論。

抽象空間上的非線性算子半群理論和非線性微分包含以及分?jǐn)?shù)階微分方程是非線性（線性）分析理論中非?；钴S并且具有很強(qiáng)應(yīng)用背景的的一個(gè)分支。近幾十年來, 隨著微分包含理論的日漸成熟及其廣泛的實(shí)踐應(yīng)用，它已交叉滲透進(jìn)許多科學(xué)領(lǐng)域，例如數(shù)學(xué)物理上的反應(yīng)—擴(kuò)散問題，不變流問題、非線性發(fā)展方程、正解的存在性理論、控制論、最優(yōu)化等諸多問題中。 結(jié)合Banach空間幾何理論和線性算子理論，我們研究了抽象連續(xù)函數(shù)空間中與線性算子半群有關(guān)的一類有界子集的等度連續(xù)模與其截口的Hausdorff非緊測(cè)度之間的關(guān)系，并由此得到當(dāng)半群失去緊性及等度連續(xù)性時(shí)，Banach空間中半線性非局部時(shí)滯方程適度解的存在性。 利用Kato逼近的方法，我們研究了Banach空間中由m增生算子控制的無(wú)窮時(shí)非線性發(fā)展方程強(qiáng)解的存在唯一性。利用構(gòu)造近似解逐步逼近的方法，我們證明了Banach空間中半線性無(wú)窮時(shí)滯微分方程不變流存在的條件。 利用同樣的方法，我們還得到了當(dāng)初始值在區(qū)間內(nèi)部時(shí)，非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程不變流存在的條件。 為了克服Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程當(dāng)初始值非零時(shí)解無(wú)界的困難，我們引入了加權(quán)時(shí)滯的概念， 利用非緊測(cè)度理論及相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)定理，我們得到了Banach空間中加權(quán)無(wú)窮時(shí)滯Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階微分方程適度解的存在性和連續(xù)依賴性。為研究解析預(yù)解族的指數(shù)穩(wěn)定性，我們引入了預(yù)解族幾乎指數(shù)穩(wěn)定的概念。由此通過重構(gòu)Contour積分路徑和Rescaling技巧給出了解析預(yù)解算子在譜條件下幾乎指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。特別地，我們獲得了在全局譜條件下，解析預(yù)解算子指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。這些結(jié)果推廣了解析半群穩(wěn)定性的經(jīng)典結(jié)論，并說明了解析預(yù)解和解析半群指數(shù)穩(wěn)定的不同之處。我們通過最優(yōu)化的必要條件構(gòu)造出控制函數(shù)，證明了在線性系統(tǒng)近似可控的情況下，Hilbert空間中一非線性混合分?jǐn)?shù)階松弛方程在這一控制函數(shù)作用下也是近似可控的。利用測(cè)度理論，我們給出了偽概自守函數(shù)的復(fù)合定理，并由此給出了由預(yù)解算子控制的半線性微分方程解的偽概自守性質(zhì)。

o.Banach空間上的非線性微分包含是非線性分析理論中非?；钴S的一個(gè)分支,近幾十年來, 隨著微分包含理論的日漸成熟及其廣泛的實(shí)踐應(yīng)用，它已交叉滲透進(jìn)許多科學(xué)領(lǐng)域，例如數(shù)學(xué)物理上的反應(yīng)-擴(kuò)散問題，控制論上的最優(yōu)化問題，甚至工程問題，經(jīng)濟(jì)問題等越來越多的領(lǐng)域中涉及的問題都可以轉(zhuǎn)化為微分包含問題.我們通過綜合應(yīng)用線性算子理論和Banach空間幾何理論與非線性分析的方法研究Banach空間上若干非線性微分包含的解的存在性理論以及在控制學(xué)科等方面的應(yīng)用，研究半線性非局部微分包含解的存在性理論，引入新的方法和技巧研究可控性微分包含解的存在性問題，研究二階微分包含的邊界值問題。通過應(yīng)用我們自己的一些方法和技巧，研究非Lipschitzian可逆拓?fù)渌阕影肴旱谋闅v理論和漸近行為，不動(dòng)點(diǎn)問題和非擴(kuò)張壓縮的存在性問題，進(jìn)一步探討可逆半群的非擴(kuò)張的Sunny壓縮的充要條件。

立足于Banach空間結(jié)構(gòu)和Banach空間上算子代數(shù)K-理論研究的國(guó)際前沿，研究G-M型空間新品種與分類，及其在空間理論中的地位和作用，努力發(fā)展由G-M系列成果而刷新的Banach空間算子代數(shù)K-理論，深入探討空間結(jié)構(gòu)- - 算子結(jié)構(gòu)- - 算子代數(shù)K-群結(jié)構(gòu)三級(jí)之間互相聯(lián)系，互相作用的規(guī)律性。緊扣當(dāng)前業(yè)內(nèi)同行關(guān)注的若干熱點(diǎn)問題，諸如（1）不可分的遺傳不可分解空間的存在性問題（它與無(wú)限維可分商問題的內(nèi)在聯(lián)系）；（2）Pisier空間（一種有最小算子構(gòu)成的空間）的存在性問題(它與算子的不變子空間問題聯(lián)系)；（3）關(guān)于本性不可比空間的G-猜想；（4）是否有一個(gè)Banach空間X,其上算子代數(shù)B(X)的Ko群為（非零）有限群的Szak猜想等等進(jìn)行探索。在原有工作基礎(chǔ)上，再上結(jié)合算子研究空間的新臺(tái)階，本著開展前瞻性，勇于創(chuàng)新的探索性研究宗旨，力圖通過研究得到新發(fā)現(xiàn)，取得重要進(jìn)展。 2100433B