伽利略螺線

下面我們推導(dǎo)等加速螺線的方程 。

設(shè)點O是直線l上一定點，動點M沿直線l作等加速運動，點M在初始位置M₀時的初速為v, q是點M的加速度(q<0為減速度)，同時直線l又以等角速ω繞點O旋轉(zhuǎn),求動點M的軌跡的方程。

如圖2,取定點O為極點，直線l的初始位置Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，M₀的極坐標(biāo)為(ρ₀, 0),動點經(jīng)過時間t移動到點M。

設(shè)動點M的坐標(biāo)是(ρ, θ),根據(jù)等加速螺線的定義有:

這是等加速螺線的極坐標(biāo)方程，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0 。

等加速螺線的特征是當(dāng)直線l作等角速轉(zhuǎn)動時，動點M沿直線l運動的速度逐漸增加(或減少)。在凸輪的設(shè)計中，如果要使從動桿由不動到等速移動，凸輪上對應(yīng)的輪廓曲線就必須由圓弧變到等速螺線，為了增強機械運動的平穩(wěn)以及減少凸輪的磨損，在從動桿由不動到等速移動的中間，需要有一個過渡的階段，目的是使從動桿移動的速度從零均勻地增大，直至達到所作等速移動的速度，等加速螺線經(jīng)常被采用為圓弧到等速螺線之間的過渡曲線。

這時，圓弧的終點就是等加速螺線的起點，因此，從動桿的初速

同樣，等加速螺線也常被采用為等速螺線到圓弧的過渡曲線 。

求曲線的極坐標(biāo)方程的一般步驟如下:

(1) 選擇適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，就是確定極點與極軸的位置;

(2) 用等式表達曲線上任意一點P(ρ，θ)應(yīng)滿足的條件;

(3) 化簡得出曲線的極坐標(biāo)方程 。

我們以

根據(jù)方程

把各點連成一條光滑的曲線，就得到等加速螺線

2100433B

伽利略螺線亦稱等加速螺線，是一種特殊曲線，極坐標(biāo)方程為ρ=aθ2 bθ c(a≠0)的曲線稱為伽利略螺線(見圖，b=c=0的情形)，伽利略螺線是17世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的，在地球赤道某地的上方有一個自由落體，當(dāng)它隨地球一起轉(zhuǎn)動時，畫出的曲線就是伽利略螺線，它是動點沿著一條定直線作等加速運動，同時這條直線又繞著它上面一點作等角速度旋轉(zhuǎn)時，動點的軌跡 。

螺線阿基米德螺線

阿基米德螺線是實踐中常用的一種曲線。動點在一直線上做勻速運動，而這條直線又圍繞著自己上面的一個定點作勻速轉(zhuǎn)動的動點的軌跡稱為阿基米德螺線，也叫等速螺線或平面螺線。它的極坐標(biāo)方程為：

阿基米德在其《螺線》(On Spirals) 一書中引進了在極坐標(biāo)ρ與θ之下的平面螺線ρ=aθ（如圖1所示），其繞線不在同一平面上。據(jù)說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的?？罗r(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，它發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚水器，后人稱它為“阿基米德螺旋”。除了杠桿系統(tǒng)外，值得一提的還有舉重滑輪、灌地機、揚水機以及軍事上用的拋石機等。被稱作“阿基米德螺旋”的揚水機至今仍在埃及等地使用。一些噴淋冷卻塔所用的螺旋噴嘴噴出噴淋液的運動軌跡也為阿基米德螺線。

螺線對數(shù)螺線

對數(shù)螺線是一種特殊曲線。指在極坐標(biāo)系中，極半徑ρ的對數(shù)與極角θ的比為常數(shù)的點M(ρ，θ)的軌跡。它的極坐標(biāo)方程為

從植物嫩枝的頂端往下，葉子大致上是按對數(shù)螺線排列的，這樣能使采光面積達到最大；在古生物的研究中，也應(yīng)用了這種曲線。對數(shù)螺線上任一點的切線，與切點的矢徑相交成固定的角。這一性質(zhì)在機械上有廣泛的應(yīng)用。如果旋轉(zhuǎn)的切削刀沿此曲線的弧運動，就可保持固定的切削角，這種刀已在鋤草機中使用。為了制造的方便，對數(shù)螺線的短弧，可以用阿基米德螺線的短弧近似代替。

螺線雙曲螺線

雙曲螺線，也稱反螺線，是一種特殊曲線，是阿基米德螺線關(guān)于極點的反演圖形。它是極徑和極角成反比例的動點軌跡。雙曲螺線的方程是：

雙曲螺線

螺線，是一類特殊曲線。它是切向量與一個固定的方向成定角的曲線。曲線為一般螺線的充分必要條件是它的撓率與曲率之比為常數(shù)，這類特殊曲線在力學(xué)工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。螺線可分為螺旋線(非平面曲線)及平面螺線。

在空間，一個動點M沿直線L作勻速直線運動，同時又以等角速度繞同平面的軸線Oz旋轉(zhuǎn)，M的軌跡是一條空間(非平面)曲線，稱為螺旋線。它分為左旋與右旋兩種。螺旋線是繞在圓柱面或圓錐面上的曲線，而它的切線與定直線(曲面的母線)的交角，是固定不變的。

對于平面螺線，是指在平面極坐標(biāo)系中，如果極徑ρ隨極角θ的增加而成比例增加（或減少），這樣的動點所形成的軌跡。典型的平面螺線有正弦螺線、阿基米德螺線、對數(shù)螺線、雙曲螺線等 。

正弦螺線定義

正弦螺線是一種特殊曲線，指極坐標(biāo)方程為

正弦螺線特例

正弦螺線

（1）當(dāng)n=-2時為等邊雙曲線；

（2）當(dāng)n=-1時為直線；

（3）當(dāng)n=-1/2時為拋物線；

（4）當(dāng)n=-1/3時為契爾恩豪森三次曲線；

（5）當(dāng)n=1/2時為心臟線；

（6）當(dāng)n=1時為圓；

（7）當(dāng)n=2時為伯努利雙紐線。

圖2上畫出n=3，4，3/5時的正弦螺線 。