激波捕捉法

激波的計(jì)算方法大體可以分為激波捕捉和激波裝配兩種。捕捉方法無(wú)需事先知道激波位置，激波是在計(jì)算過(guò)程中自動(dòng)得到的。這種方法如果沒(méi)有特殊處理，數(shù)值解會(huì)在激波附近產(chǎn)生非物理振蕩。盡管激波捕捉方法在過(guò)去20多年得到廣泛研究和迅速發(fā)展，但其仍存在很多問(wèn)題，如精度、穩(wěn)定性等。而且這些問(wèn)題很容易出現(xiàn)在基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高超聲速流動(dòng)計(jì)算中。相對(duì)激波捕捉方法，激波裝配方法由于不存在這些數(shù)值問(wèn)題，對(duì)其研究也是具有很大的實(shí)際意義。

湍流的直接數(shù)值模擬(DNS)、大渦模擬(LES)以及計(jì)算聲學(xué)(CAA)等都對(duì)計(jì)算格式具有很高要求。通常，為了得到高品質(zhì)的數(shù)值結(jié)果，需要采用譜方法、緊致格式或其他高階格式。但是，當(dāng)流場(chǎng)含有間斷或弱間斷時(shí)，采用線性格式計(jì)算會(huì)出現(xiàn)非物理解，這些非物理解常常影響和制約了數(shù)值計(jì)算精度，于是需要對(duì)格式做出相應(yīng)的處理，其中尤為關(guān)鍵的是提高格式光滑捕捉激波的能力。

自上個(gè)世紀(jì)中后期以來(lái)，在計(jì)算含有激波的流場(chǎng)方面取得了不斷的進(jìn)步，并發(fā)展出了多種激波捕捉差分方法。比如TVD方法，近似Riemann方法,，ASUM類方法，ENO以及WENO方法，MP （monotonicity preserving）方法等。TVD、近似Riemann和ASUM等格式在航空航天工程中得到大量運(yùn)用，但是，發(fā)展相應(yīng)的高階精度格式是及其困難的，比如傳統(tǒng)的TVD格式在極值點(diǎn)的精度常降為一階.ENO/ WENO格式在光滑捕捉激波的同時(shí)，也能在極值點(diǎn)保持高階精度，被大量用于DNS和LES，但是在計(jì)算大梯度流場(chǎng)(比如邊界層和熱流計(jì)算)時(shí)不太理想，對(duì)接觸間斷的耗散也較大。MP方法的精度和分辨率都較高，但是在多維情況下和極值點(diǎn)附近的精度有所降低.

為了在光滑捕捉激波的同時(shí)又能提高格式精度，中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心的徐國(guó)華等融合了以下幾點(diǎn)已經(jīng)比較成熟的處理方法：1)矢通量分裂和迎風(fēng)處理;2)限制器;3)TVD思想;4)特征投影;5)高精度計(jì)算格式特別是緊致格式。他們首先在矢通量分裂技術(shù)和迎風(fēng)型格式的基礎(chǔ)之上，把物理量(通量或守恒變量等)沿特征方向進(jìn)行投影，然后通過(guò)具有TVD性質(zhì)的限制器對(duì)投影量的變化幅值進(jìn)行約束以避免發(fā)生非物理現(xiàn)象。針對(duì)以下5種不能光滑捕捉間斷的線性迎風(fēng)格式：二階和三階迎風(fēng)顯式格式，三階、五階和七階迎風(fēng)緊致格式，采用他們的激波捕捉方法進(jìn)行處理后，得到了在間斷附近基本上無(wú)虛假振蕩的非線性激波捕捉格式，并在一維和二維Eider系統(tǒng)中通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了該方法的高階精度和高分辨率。

激波捕捉法是雙曲型方程數(shù)值解法中處理激波的一種方法。對(duì)激波不需作任何特殊處理，而在計(jì)算公式中直接或間接地引進(jìn)“黏性效應(yīng)”項(xiàng)，以便自動(dòng)算出激波的位置和強(qiáng)度，來(lái)捕捉激波。

激波捕捉法(shock capture methods)亦稱激波抹平法，是一種激波數(shù)值處理方法。它們是一種在差分格式中直接或間接加人相當(dāng)于粘性的項(xiàng)使間斷光滑化的方法，它不考慮激波，在光滑區(qū)和間斷處采用統(tǒng)一格式求解，使激波在應(yīng)出現(xiàn)的地方自動(dòng)呈現(xiàn)或被捕。直接加人VR人工粘性項(xiàng)的VR偽粘性法，通過(guò)差分格式結(jié)構(gòu)間接引人粘性項(xiàng)的拉克斯格式、TVD法、戈杜諾夫方法等都屬此類.自從美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼(von Neumann, J.)和里希特邁耶(Richtmyer,R. D.)于1950年發(fā)表VR偽粘性法以來(lái)，激波捕捉法得到很大發(fā)展，它們算法簡(jiǎn)單、易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，是現(xiàn)代計(jì)算流體力學(xué)的主導(dǎo)方法。

構(gòu)造高精度、高分辨率的計(jì)算格式是計(jì)算流體力學(xué)工作者長(zhǎng)期追求的目標(biāo)，對(duì)于流動(dòng)參數(shù)變化復(fù)雜的流動(dòng)尤為重要。因此，近年來(lái)高精度計(jì)算方法的發(fā)展頗受重視,如緊致格式、高階ENO格式和譜方法等競(jìng)相發(fā)展。劉秋生提出了基于Taylor展開的高精度計(jì)算方法：解析離散法。它的建立思想不同于傳統(tǒng)的差分格式構(gòu)造方法，是一類新型的計(jì)算格式。清華大學(xué)工程力學(xué)系李海東等以此為基礎(chǔ),建立適合應(yīng)用于Burgers方程和Euler方程的間斷捕捉方法。構(gòu)造高階精度激波捕捉方法的難點(diǎn)在于Euler方程可能出現(xiàn)數(shù)目和位置均未知的間斷。通量差分分裂方法是基于Riemann問(wèn)題的近似解，對(duì)于捕捉激波十分有效，而為了抑制間斷附近的數(shù)值偽波動(dòng)，又不降低光滑解區(qū)域的精度，必須采用一種保持光滑解高階精度的通量限制器。他們有機(jī)地結(jié)合了Roe的通量差分分裂方法和一種新型通量限制器midmod，很好地解決了以上問(wèn)題。一系列的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法對(duì)于激波間斷和接觸間斷有很高的分辨率。并且在對(duì)一階通量差分作三階精度逼近時(shí)，計(jì)算量與二階精度格式相比沒(méi)有明顯增加。

利用氣流通過(guò)激波時(shí)密度突變的特性，可借助光學(xué)儀器將激波形狀顯示出來(lái)或拍攝成像。飛行器在飛行中，激波的產(chǎn)生和它的形狀，對(duì)飛行器空氣動(dòng)力有很大影響，一些國(guó)家對(duì)高速飛行的飛行器作了大量的試驗(yàn)和研究，以便采用合適外形，推遲激波產(chǎn)生或減小波阻。激波可使氣體壓強(qiáng)和溫度突然升高，因此，在氣體物理學(xué)中常利用激波來(lái)產(chǎn)生高溫和高壓，以研究氣體在高溫和高壓下的性質(zhì)。利用固體中的激波，可使固體壓強(qiáng)達(dá)到幾百萬(wàn)大氣壓（1大氣壓等于101325帕），用以研究固體在超高壓下的狀態(tài)。這對(duì)解決地球物理學(xué)、天體物理學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題有重要意義。

在實(shí)際氣體中，激波是有厚度的。在只考慮氣體粘性和熱傳導(dǎo)作用的條件下，由理論計(jì)算可知，激波的厚度很小，與氣體分子的平均自由程同數(shù)量級(jí)。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)狀況下的空氣，激波厚度約為10^-5毫米。在空氣動(dòng)力學(xué)中常把激波當(dāng)作厚度為零的不連續(xù)面，稱為強(qiáng)間斷面。氣體經(jīng)過(guò)激波時(shí)，速度和溫度都發(fā)生突躍變化，粘性和導(dǎo)熱作用很大。在氣體溫度很高，激波很強(qiáng)的情況下，甚至氣體的熱力學(xué)平衡狀態(tài)也會(huì)遭到破壞。這種破壞過(guò)程是不可逆過(guò)程，按熱力學(xué)第二定律，氣體的熵增加，同時(shí)有很大一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，這就是所謂激波損失。在超聲速流動(dòng)中，一般總會(huì)產(chǎn)生激波。對(duì)于作超聲速運(yùn)動(dòng)的飛行器，激波的出現(xiàn)會(huì)引起很大的阻力；對(duì)于超聲速風(fēng)洞（見(jiàn)風(fēng)洞）、進(jìn)氣道和壓氣機(jī)等內(nèi)流設(shè)備，在氣流由超聲速降為亞聲速時(shí)出現(xiàn)的激波，會(huì)降低風(fēng)洞和發(fā)動(dòng)機(jī)的效率。所以，減弱激波強(qiáng)度以減小激波損失是實(shí)際工作中的一項(xiàng)重要課題。

激波可視為由無(wú)窮多的微弱壓縮波疊加而成。數(shù)學(xué)家B.黎曼在分析管道中氣體非定常運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)連續(xù)的流動(dòng)有可能形成不連續(xù)的間斷面。圖1說(shuō)明管道內(nèi)非定常流動(dòng)中激波的形成過(guò)程。在管的左端用活塞向右推動(dòng)氣體，使氣體運(yùn)動(dòng)速度由零逐漸加大到，產(chǎn)生一系列向右傳播的壓縮波。在瞬間，A、B面之間為壓縮區(qū)，圖上方表示瞬間管內(nèi)氣體速度分布情況。下方的兩圖分別畫出沿管長(zhǎng)x相應(yīng)的壓強(qiáng)p和速度的分布。由A到B，壓強(qiáng)由逐漸上升為，速度由零增大到。經(jīng)微小厚度dx的一薄層，流體壓強(qiáng)升高dp，這是一道微弱的壓縮波，向右的傳播速度為氣體速度和當(dāng)?shù)芈曀伲ㄒ?jiàn)聲速）之和。整個(gè)壓縮區(qū)AB中有無(wú)窮多道壓縮波，左面的波都比右面的傳播得快，隨著波的前傳，在以后的瞬間、，壓縮區(qū)愈變愈窄。相應(yīng)的壓強(qiáng)、速度分布曲線如圖中虛線所示。最后在時(shí)刻，所有的壓縮波合在一起形成一道突躍的壓縮波——激波。經(jīng)過(guò)激波，壓強(qiáng)突然由增大到，流速由零增大。激波相對(duì)于波前氣體的傳播速度是超聲速的，激波愈強(qiáng)，傳播速度愈快；激波相對(duì)于波后氣體的傳播速度是亞聲速的。定常超聲速氣流沿凹壁流動(dòng)時(shí)也會(huì)形成激波。圖2為定常超聲速流動(dòng)中壓縮波疊加成激波的圖形。利用光線經(jīng)過(guò)密度不同的介質(zhì)會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可用光學(xué)方法對(duì)激波照相。

圖1 管內(nèi)非定常流動(dòng)中激波的形成

圖2 定常超聲速流動(dòng)中壓縮波疊加成激波的圖形