計算力學的數(shù)值方法

計算力學的數(shù)值方法誤差

誤差數(shù)值計算的誤差主要有兩種:①舍入誤差:計算機中的數(shù)字是有限位的,按十進制一般只有六位、八位到十位,位數(shù)較長的數(shù)或無理數(shù)如或圓周率等,只好舍去尾數(shù)才輸送進機器。每一次四則運算都有舍入問題，因而會出現(xiàn)“舍入誤差”。在數(shù)值計算過程中，運算的舍入，有時會因相互抵銷而無損于計算結果，有時也會因積累而造成嚴重誤差，例如用“不穩(wěn)定的”差分格式就會導致舍入誤差的大量積累。②截斷誤差：以差分近似代替微分引起的誤差就屬這種誤差。此外，還有許多原因能導致誤差的出現(xiàn)。例如，對不規(guī)則復雜區(qū)域進行裁彎取直;采用不準確的原始物理數(shù)據(jù)進行計算;求線性和非線性代數(shù)方程組的近似解；把微分方程的邊界條件用數(shù)值方法中的邊界條件來代替也引進了誤差。對這些誤差進行分析并設計好計算法來控制誤差，是數(shù)值方法的一項重要任務。

計算力學的數(shù)值方法假象和錯誤

假象和錯誤即計算的部分結果或全部結果與客觀真實不盡相合，甚至完全錯誤。原因可能來自對力學問題的數(shù)學提法不合理，也可能是由于所用的數(shù)值方法和計算機硬件和軟件有問題，分述于下：①如果力學問題的數(shù)學提法合理，則它的解存在且唯一，而且還是穩(wěn)定的。如果數(shù)學提法不合理，就不可能得到合適的數(shù)值方法，更談不上算出符合實際的解答。力學模型通常忽略一些次要因素，以便使問題簡化。如果忽略的因素太多使模型過分簡單，它的解就不能描述力學現(xiàn)象的主要特點。這時，就必須修改力學模型（或力學提法）和數(shù)學提法，使之更符合實際。②用有限差分方法解力學問題時，差分格式應能盡量正確地反映原力學問題所遵循的基本定律（如守恒性）以及計算方法理論所要求的多種準則，否則不會得到合理的數(shù)值解。③即使力學模型和數(shù)學提法合理，而且數(shù)值方法在理論上正確，也經(jīng)得起多次實踐考驗，計算結果也未必總能完全反映實際情況，因為模型總是要作一定程度的簡化，總會有些因素沒考慮到，而數(shù)值方法本身也會在全局或局部上有誤差。④在用差分方法或有限元法時，限于計算機的功能或計算經(jīng)費，網(wǎng)格不一定能取得足夠細，因而不能正確反映某些有急劇變化的區(qū)域的情況。⑤電子計算機的硬件和軟件不能保證絕對無誤，如機器可能受各種干擾而元件損壞，軟件的功能可能不周到，程序的編制也常常有差錯，等等。用若干個有分析解或有可靠數(shù)據(jù)的典型題目來檢驗數(shù)值方法，以及將典型的力學實驗數(shù)據(jù)與數(shù)值計算結果作比較，往往有助于了解數(shù)值計算中可能出現(xiàn)的假象和錯誤，并驗證方法是否可靠，答案是否正確。

數(shù)值計算、力學實驗和求（近似）分析解是相輔相成的，三者的密切配合有利于促進力學理論的發(fā)展及應用。有些力學實驗要耗費大量的金錢和時間,如果有成熟的數(shù)值方法,則可用計算配合實驗來節(jié)省總費用和時間。例如設計一種新型飛行器時，可以先用電子計算機計算若干設計方案并從中挑選幾個較好的作風洞試驗，就能很快得到一個最佳的設計方案，從而大大縮短設計周期。數(shù)值計算有時還能啟發(fā)人們?nèi)グ才胖匾男聦嶒?。例如運動的等離子體可能會產(chǎn)生層的現(xiàn)象就是先用數(shù)值方法研究磁場中稠密等離子體的運動發(fā)現(xiàn)的，后來從實驗中才得到證實。

數(shù)值解有時也能啟發(fā)人們尋求相應的分析解。例如非線性方程

的“孤立波”解，以前用解析方法只能求出反映單個孤立波的解；60年代中期，用數(shù)值方法發(fā)現(xiàn)方程中還有反映多個不同速度的孤立波的相互碰撞、追趕和分散現(xiàn)象。相應的分析解就是在這種啟發(fā)下找到的?？梢姅?shù)值計算與力學的結合確能解決技術中提出的許多力學問題，因而越來越受到人們的重視。

數(shù)值方法很多，求解偏微分方程數(shù)值解，以有限差分方法和有限元法使用最廣；此外，還有變分方法、直線法、特征線法和譜方法，等等。這些方法的實質(zhì)絕大多數(shù)是將偏微分方程問題化成代數(shù)問題，然后再用計算機求未知函數(shù)的數(shù)值解。下面簡要介紹有限差分方法和有限元法。

計算力學的數(shù)值方法有限差分方法

有限差分方法具有簡單、靈活和通用性強等特點。用差分方法求數(shù)值解時，須先將自變量的定義域“離散化”，即只企圖算自變量定義域中有限個點的未知函數(shù)的近似值。如果自變量只有一個，則可把要計算的區(qū)間離散成個線段。如果自變量有兩個，而計算區(qū)域是圖1所示的矩形，則最簡單的離散方式是把區(qū)域分成Μ乘個小矩形。小矩形的長和寬分別叫作方向和方向的步長。微分方程中出現(xiàn)的偏導數(shù)(，), 在微積分中是差商的極限，在有限差分方法中則代以差商。如圖1中點的u_y有的情形可代以差商((u_a)-(u_b))/2k，有的情形可代以((u_a)-(u_b))/k,如果有二階偏導數(shù),常?？纱远A差商((u_a)-2(u_b) (u_c)/2，其中(u_a)、(u_b)和(u_c)分別表示相應點的值。如以適當?shù)牟钌虂泶嫖⒎址匠堂恳粋€導數(shù),就得到對應于原微分方程的差分方程。怎樣選差商至關重要。此外，偏微分方程總還要附加邊界或初始條件,這些條件也要用差分形式表示。這樣,對于每個網(wǎng)格點的未知函數(shù)值作出未知量的代數(shù)方程組。如果網(wǎng)格分得較密，即步長和都比較小,或Μ與的數(shù)值都比較大，則所得代數(shù)方程組的未知量的數(shù)目將很大，但借助計算機，還是可以很快求出解來。由于步長無法取為零，因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要選擇合理的差商和步長，計算結果仍能令人滿意，有時還能得到精度很高的解。

計算力學的數(shù)值方法有限元法

有限元法這種方法是把計算區(qū)域剖分成大小不等的三角形（或其他形狀的）單元，然后在各單元上用適當?shù)牟逯岛瘮?shù)來代替未知函數(shù)。根據(jù)變分原理，可將偏微分方程化成代數(shù)方程來求解。這種方法具有很廣泛的適應性，特別適于求解具有復雜邊界形狀和物理條件的問題，而且很容易在計算機上實現(xiàn)。1970年以來已研究出一些適用于廣泛的線性問題的有限元通用程序，對工程設計起很大作用。圖2是一輛汽車外殼分割成單元的示意圖。按照有限元法剖分的思想，把汽車外殼剖分成大小不等的許多三角形單元，而對彎曲邊界只須裁彎取直即可。在應力變化劇烈和要求精確計算的地方，須把單元取得小些；在變化不劇烈的地方則可取得大些。用這種方法不僅可以適應復雜的區(qū)域，還可以盡量減少總的單元數(shù)目，從而減少未知量的數(shù)目。如果在有限差分方法中用矩形網(wǎng)格，則較難處理如此復雜的區(qū)域。

計算力學是根據(jù)力學中的理論，利用現(xiàn)代電子計算機和各種數(shù)值方法，解決力學中的實際問題的一門新興學科。它橫貫力學的各個分支，不斷擴大各個領域中力學的研究和應用范圍，同時也在逐漸發(fā)展自己的理論和方法。

內(nèi) 容 簡 介

本書作為研究生教材，主要介紹隧道力學問題中的求解方法――數(shù)值方法。內(nèi)

容包括二維、三維、材料非線性和幾何非線性問題等。具體講述隧道與地下結構彈

塑性有限元的分析、隧道與地下結構彈粘塑性有限元的分析；空間問題、無限元和

節(jié)理單元以及邊界單元法，隧道與地下結構動態(tài)問題的數(shù)值解法，結構動力分析中

的特征值問題。在敘述過程中，還附有必要的電算程序和計算實例，使讀者能夠用

其解法解決隧道力學中的靜態(tài)和動態(tài)問題。

目 錄

第一章 緒 論

1―1隧道力學的任務和研究范圍

1―2隧道與地下結構物的設計模型

1―3幾種常用的設計計算方法簡介

參考文獻

第二章 有限元和數(shù)值分析基礎

2―1概 述

2―2二維等參數(shù)單元

2―3等參數(shù)單元的數(shù)值計算

2―4等參數(shù)單元的其它形式

2―5二維等參數(shù)單元等效節(jié)點荷載的計算

2―6二維有限元分析計算機子程序

2―7建立總剛度矩陣及程序編制

2―8靜力分析中平衡方程的求解和程序編制

2―9求解平衡方程中計算誤差的估計

參考文獻

第三章 隧道與地下結構彈塑性有限元分析

3―1概 述

3―2非線性問題的求解方法

3―3巖土塑性力學基礎與巖土的本構關系

3―4應力調(diào)整

3―5隧道與地下結構二維彈塑性有限元分析的方法和步驟

3―6計算機源程序GEOEPL2D

3―7算 例

參考文獻

第四章 隧道與地下結構彈粘塑性有限元分析

4―1概 述

4―2彈粘塑性理論基礎

4―3連續(xù)介質(zhì)力學幾何非線性問題有限元分析

4―4二維彈粘塑性問題的求解方法與步驟

4―5隧道與地下結構二維彈粘塑性有限元分析計算機程序GEOVPL2D

4―6算 例

參考文獻

第五章 空間問題、無限元和節(jié)理單元

5―1概 述

5―2三維等參數(shù)單元

5―3無限單元

5―4三維有限元和無限元的有關電算子程序

5―5節(jié)理單元

參考文獻

第六章 邊界單元法

6―1概 述

6―2直接解法

6―3間接解法一虛擬應力法

6―4對稱性的利用

6―5域內(nèi)作用力（體力）的計算問題

6―6半無限平面問題

6―7彈塑性問題的邊界單元法

6―8有限單元一邊界單元耦合法

6―9程序設計

參考文獻

第七章 隧道與地下結構動態(tài)問題的數(shù)值解法

7―1概 述

7―2運動方程的建立

7―3動荷載列陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣的確定及邊界條件的處理

7―4運動方程的求解方法

7―5非線性動態(tài)問題的顯式時間積分解法與電算程序DYNEXP2D

7―6非線性動態(tài)問題的隱式時間積分解法與電算程序DYNIMP2D

7―7算 例

參考文獻

第八章結構動力分析中的特征值問題

8―1概 述

8―2瑞利―李茲近似解法

8―3矢量迭代法

8―4廣義雅可比法

8―5子空間迭代法

參考文獻

附錄一 彈塑性力學基本公式

附錄二 變 分 法

附錄三 主應力空間與π平面上的應力分量

附錄四 主應力由偏應力不變量和羅地角的表達式

附錄五 算例輸入 輸出數(shù)據(jù)

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