空間幾何體的三視圖(1)

前段時間在高三教學中遇到這樣的問題：

在高考立體幾何考點中涉及到空間幾何體的截面的地方較多， 如：判斷截面的形狀、計算出空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，都必須首先掌握空間幾何體截面的作圖。

在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個基本問題。而已知不共線三點，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題的一個方法，也是深化理解空間點線面關(guān)系的一個很好的途徑。

作幾何體的截面，是立休幾何教學中的一個難點，需要較強的空間想象能力和動手操作能力，正確判斷幾何體被一個平面所截的截面形狀，關(guān)鍵在于弄清這個平面與幾何體的面相交成線的形狀和位置。讓學生掌握作幾伺體截面的方法，有助于深入理解直線和平面的有關(guān)性質(zhì)，有效地形成空間概念。

一個平面截一個幾何體，這個平面和幾伺體的各個面交線，圍成一個封閉的平面圖形，這個封閉圖形就稱為幾何體的截面。如果幾何體是多面體，其截面是多面形；如果幾何體是旋轉(zhuǎn)體，其截面還可能是二次曲線所圍成的封閉圖形。

截面的問題的研究，對于發(fā)展學生的空間想象能力，綜合運用立體幾何各方面的知識技能，提高學生的解題能力，都是十分有啟發(fā)、思考價值的題材、是立體幾何重要的學習目的；而對學生進行空間幾何體截面的作圖等訓練正是培養(yǎng)和發(fā)展學生的這一能力，同時也成為了促進學生綜合運用空間構(gòu)圖方面知識開發(fā)教學興趣點的拓展課題。

接下來小編從原理和操作兩個層面介紹較復雜的不平行于底面的截面問題的解決方案以供參考。

空間幾何體的截面的作圖主要原理：兩個公理及兩個性質(zhì)。

其中，兩個公理為：

（1）如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線；

（2）如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)。

兩個性質(zhì)為：

（1）如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；

（2）如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行。

空間幾何體的計算要掌握好“定位”、“定形”、“定量”這三個主要的環(huán)節(jié)。首先，由上面所講到的方法確定出關(guān)鍵點。其次，由關(guān)鍵點確定截面與空間幾何體相關(guān)的交線。再次，是根據(jù)問題中已知的條件與空間點、線、面的位置關(guān)系確定截面的基本特征。最后，運用平面解析幾何的有關(guān)性質(zhì)定理與判定定理完成截面相關(guān)截面邊長、周長、或者面積等數(shù)量計算。

空間幾何體的截面作圖主要的作法：直接法、平行線法、延長法、輔助平面法，接下來，我們依次展開。

一、直接法

用直接法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內(nèi)，我們可以借助于公理：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)，直接解決這類問題。

二、平行線法

用平行線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與截面上某點在幾何體的某一個表面平行。我們可以借助于兩個性質(zhì)，（1）如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行；（2）如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行。直接解決這類問題。

三、延長線法

用延長線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點中至少有兩個點在一個幾何體的一個表面上，我們可以借助于公理，如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)。直接解決這類問題。

四、輔助平面法