魯洛克斯三角形

邊長為a的魯洛克斯三角形的寬度為a，直徑為a的圓的寬度也為a，同寬度的魯洛克斯三角形與圓具有一些相同的性質(zhì)：

(1)顯然，作為寬度為a的等寬曲線，魯洛克斯三角形或圓上任意兩點間的距離不會超過a。

(2)將它們放在一個邊長為a的正方形內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，都能夠始終保持與正方形的每一邊都有且只有一個公共點，且兩對邊的公共點的連線互相垂直。

(3)它們有相同的周長。

邊長為a的魯洛克斯三角形的周長為

常見的鉆頭鉆出的孔都是圓形的，那有沒有可能鉆出的方形的孔呢 "para" label-module="para">

由于魯洛克斯三角形在一個邊長為其寬度的正方形內(nèi)轉(zhuǎn)動時，任何時候都有四個點與正方形的四條邊接觸(不一定相切)且接觸點的位置是不斷改變的(如圖2所示)，因而成了機,械學(xué)家萊洛設(shè)計方孔鉆頭靈感的來源，而促使他發(fā)現(xiàn)了圓弧三角形和造出了方孔鉆頭。

當然,這種圓弧三角形的鉆頭鉆出來的不是標準的正方形，而是如圖2(c)所示的圓角正方形。因為魯洛克斯三角形的中心即為正三角形的中心(三條中線的交點)，所以，當萊洛三角形鉆頭轉(zhuǎn)動時，它的中心也不像圓孔鉆那樣固定不變。

魯洛克斯三角形這一特性，也被用于汪克爾(Wankd)發(fā)動機，在這種發(fā)動機中，魯洛克斯三角形的活塞就在正方形封閉體內(nèi)旋轉(zhuǎn)。馬自達(Mazda)汽車發(fā)動機就是這樣，當萊洛三角形轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的時候，轉(zhuǎn)子邊緣與轉(zhuǎn)子殼體內(nèi)壁之間會形成容積呈周期性平滑變化的3個工作室。

魯洛克斯三角形曾上過高考卷，2011年高考數(shù)學(xué)江西卷(文)第10題：如圖，一個“凸輪”放置于直角坐標系x軸上方,其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成。

今使“凸輪”沿x軸正向滾動前進，在滾動過程中“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為( )。

答案:A。

解析：中心M點到x軸的距離按照增大、減小、增大、減小、.....的規(guī)律變化，最高點到x軸的距離一直為圓的半徑，所以選A。

由魯洛克斯三角形的啟發(fā)，可知還有更多的等寬曲線。如以正五邊形ABCDE的五個頂點為圓心，以對角線AC=a之長為半徑畫五段圓弧，就可以作出一個圓弧五邊形，它便是一個寬度為a的等寬曲線(如圖5所示)。類似地，還可作出圓弧七邊形、圓弧九邊形...得到各種“萊洛多邊形”，它們都是等寬曲線 。

但是，如果您想用邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形作出一條等寬曲線，已被證明是不可能的。

上面所說的都是正多邊形組成的等寬曲線，其實，只需對角線相等而邊長不一定相等的奇數(shù)邊多邊形，都可形成等寬曲線(如圖6)。

可以看出，上面作出的圓弧多邊形都有尖角(在兩條弧的交點處)，是否可以將尖角清除，讓它光滑一些呢"para" label-module="para">

事實上，以萊洛三角形為例，只需經(jīng)過如下的“處理”，就可以作出與其相應(yīng)沒有任何尖角頂?shù)墓饣男碌牡葘捛€。

把等邊三角形的各邊向兩個方向 延長相等的一段；以三個頂點為圓心畫圓弧，使得三個內(nèi)角所對的圓弧的半徑，等于邊長與延長線的長度的和；內(nèi)角的對頂角所對的圓弧，等于延長線的長。由這樣的六條圓弧組成的等寬曲線克服了尖點，因此光滑得多了，如圖7(a)所示(圖7(b)為五邊形等寬曲線圖形)。

值得注意的是，等寬曲線不只限于圓弧等寬曲線，人們已發(fā)現(xiàn)了完全不包含圓弧的等寬曲線，那是一類特殊的卵形曲線。因此我們可以說等寬曲線還有許多離奇奧妙的性質(zhì)和用途等待我們?nèi)ヌ骄?。2100433B

“魯洛克斯三角形”是這樣得到的：先畫正三角ABC，然后以正三角形ABC的三個頂點為圓心，邊長長為半徑畫弧得到的圖形，如圖1 。

等寬曲線

圓和圓弧三角形具有這樣一個特征：不論從什么方向用兩條平行線去夾逼它，這兩條平行線間的距離總是一樣的。我們稱具有這種性質(zhì)的圖形叫做“等寬曲線”（或定寬圖形）。

等寬曲線最初的定義由一個十九世紀的德國工程師Franz Reuleaux給出的：將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內(nèi)，就始終與這兩條平行線相切。這兩條平行線間的距離稱為等寬曲線的寬度。

圓弧三角形又叫萊洛三角形、魯洛克斯三角形，是由機械學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊洛首先發(fā)現(xiàn)的，故而得名 。

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