離散元方法概述

1971年Cundall提出此方法時(shí)采用distinct element method是為了和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的finite element method相區(qū)別。后來(lái)用discrete element method取代了distinct element method，以反映系統(tǒng)是離散的這一本質(zhì)特征。

1971年Cundall提出適于巖石力學(xué)的離散元法， 1979年Cundall和Strack又提出適于土力學(xué)的離散元法，并推出二維圓盤(disc)程序BALL和三維圓球程序TRUBAL(后發(fā)展成商業(yè)軟件PFC-2D/3D)，形成較系統(tǒng)的模型與方法，被稱為軟顆粒模型；

離散元與分子動(dòng)力學(xué)的比較

從本質(zhì)上來(lái)講，離散元和分子動(dòng)力學(xué)方法類似（molecular dynamics)，以至于有些作者在文獻(xiàn)中不加區(qū)別的使用MD和DEM兩個(gè)名字。然而離散元和分子動(dòng)力學(xué)相似性只體現(xiàn)在形式上的相似（顆粒和牛頓定理）。二者還是有很大差別，在于分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算原子如何在給定相互作用勢(shì)下如何運(yùn)動(dòng)，而離散元計(jì)算的顆粒通常為微米及毫米量級(jí)。此外，離散元方法中需要考慮顆粒體在外力作用下的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，顆粒的形狀，顆粒尺寸分布，以及顆粒之間填充氣體，液體對(duì)顆粒材料宏觀性能都有很大的影響?？傊词褂?jì)算模擬一個(gè)最簡(jiǎn)單的顆粒系統(tǒng)，單一尺寸的球形顆?？紤]摩擦作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題都涉及到許多需要仔細(xì)考慮的細(xì)節(jié)，然而正如其他模擬方法一樣，這些細(xì)節(jié)往往不會(huì)被作者在文章中出版，大多靠自己在實(shí)踐中去不斷領(lǐng)悟。

第一步：建立所需要的幾何模型并產(chǎn)生顆粒

幾何模型可以根據(jù)實(shí)際計(jì)算模型需要建立，顆粒產(chǎn)生通常為隨機(jī)產(chǎn)生，及在給定的幾何空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生所需要的顆粒。產(chǎn)生顆粒時(shí)需要實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)新產(chǎn)生的顆粒和已有顆粒之間的位置關(guān)系，任意兩顆粒之間不能有重疊，否則顆粒之間相互作用力可能很大而導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。所以如果幾何模型尺寸，顆粒尺寸以及顆粒數(shù)目之間關(guān)系不合適，有可能導(dǎo)致顆粒產(chǎn)生失敗。顆粒的初始速度需要根據(jù)模擬需要而給定。

第二步：接觸探測(cè)

計(jì)算顆粒之間的相互距離，如果顆粒之間存在相互接觸（顆粒之間的距離小于兩個(gè)顆粒之間的半徑和），則要采用接觸模型計(jì)算相互作用力。

第三步：確定接觸模型

接觸模型是離散元計(jì)算的核心。所謂接觸模型就是確定顆粒接觸時(shí)的相互作用力。離散元計(jì)算中首先把相互作用力分解為法向力和切向力（法向指的是兩接觸顆粒中心之間的連線），所以接觸模型一般包含法向相互作用和切向相互作用。

在目前的離散元計(jì)算模擬中，一般來(lái)講，可以把所涉及到的接觸模型分為兩大類：

1） 非結(jié)合性接觸力模型。此種接觸模型不考慮顆粒之間的相互吸引力，顆粒之間的相互作用以彈簧-粘壺模型來(lái)近似。彈簧代表顆粒之間的彈性相互作用，粘壺代表顆粒之間由于碰撞而引起的能量耗散。切向相互作用還要考利庫(kù)侖最大摩擦力約束。

2）結(jié)合性接觸力模型。微觀上來(lái)講，任何顆粒材料都由原子分子構(gòu)成，然后原子分子之間存在van der Waals相互吸引力。當(dāng)顆粒尺寸比較大時(shí)，van der Waals相互吸引力和顆粒自身重力相比較而言，對(duì)顆粒本身運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略不計(jì)；然后，隨著顆粒尺寸減小，顆粒之間的相互吸引力變的和重力相當(dāng)；當(dāng)顆粒尺寸進(jìn)一步減小時(shí)，顆粒之間相互吸引力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于顆粒自身的重力。此時(shí)，就必須要考慮顆粒之間的相互吸引力。

目前來(lái)講，為了描述顆粒之間的相互引力作用力，有以下幾個(gè)模型可以選擇：

A. Johnson-Kendall-Roberts(JKR) 模型

JKR模型首先是基于能量平衡原理，從赫茲的非結(jié)合性接觸力模型而建立的。在JKR 模型中，顆粒之間的相互吸引力用表面能代表。并且顆粒之間的相互吸引作用只存在于接觸面積之類，不考慮顆粒之間其他部分的吸引相互作用。因此，JKR模型對(duì)大的，比較軟的顆粒材料描述比較好。

B, Derjaguin-Muller-Toporov(DMT)模型

DMT模型建設(shè)兩個(gè)顆粒之間的接觸變形和赫茲模型相同，但在接觸面積之外，存在一個(gè)額外的相互吸引作用力。DMT模型對(duì)小的比較硬的顆粒材料描述比較好。

早期，當(dāng)JKR和DMT模型被提出時(shí)，人們爭(zhēng)論哪一個(gè)模型是正確的，后來(lái)研究發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)模型都正確，他們考慮的顆粒之間接觸的兩個(gè)極端情況，基于材料性質(zhì)，應(yīng)該有區(qū)別的加以選取。1977年，人們提出Tabor 系數(shù)作為選取依據(jù)，Tabor系數(shù)是表面能，等效模量等材料性質(zhì)的函數(shù)。JKR模型對(duì)大的Tabor系數(shù)適用，而DMT模型則反之 。

C. van der Walls模型

此模型是基于顆粒之間的van der Walls相互作用直接推導(dǎo)得出。van der Waals相互作用能可以知道，然后對(duì)距離求導(dǎo)就直接得到力的表達(dá)式。

第四步：考慮其他相互作用力

有時(shí)，在顆粒系統(tǒng)中，取決于外部條件，需要考慮其他類型的相互作用力。例如，如果環(huán)境比較潮濕，則需要考慮顆粒之間的液橋相互作用力；如果顆粒表面本身帶有電荷，則要引入顆粒之間的靜電相互作用；如果有外加磁場(chǎng)并且顆粒材料本身有磁矩，則要考慮外磁場(chǎng)引起的磁性力。所有這些類型的相互作用力，都可以嵌入在離散元模型之中。

第五步：考慮顆粒和邊界之間的相互作用

計(jì)算模型的邊界可以是全部周期性邊界條件（x,y,z方向，全部采用周期性邊界），也可以是部分周期性邊界。在非周期性邊界條件時(shí)，則要給出顆粒本身和邊界之間如何相互作用。接觸模型和顆粒之間相互作用的接觸模型類似。

第六步：計(jì)算總的受力、加速度

綜合顆粒之間的相互作用力以及其他需要考慮的特殊相互作用力、以及顆粒與邊界之間的相互作用力，可以得到顆粒本身受的合外力，以此可以求得加速度

第七步：更新顆粒速度，坐標(biāo)

根據(jù)加速度，更新顆粒速度，角速度，坐標(biāo)等變量。坐標(biāo)更新后，再進(jìn)行接觸探測(cè)，整個(gè)計(jì)算流程進(jìn)入下一個(gè)循環(huán)。

第八步：保存數(shù)據(jù)

第九步：分析處理

離散元方法的編碼思想十分簡(jiǎn)單。集合中每一個(gè)單元都是獨(dú)立的，每個(gè)單元都具有相應(yīng)的尺寸、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和接觸參數(shù)等屬性。它以牛頓第二定律和力一位移定理為基礎(chǔ)，對(duì)每一個(gè)單元首先確定與之接觸的單元，根據(jù)單元之間的重疊量，運(yùn)用力一位移定理計(jì)算單元之間的接觸力，從而得到單元的合力和合力矩，之后用牛頓第二定律確定單元的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如此循環(huán)計(jì)算，直到系統(tǒng)中所有顆粒都計(jì)算完畢。

離散元法是專門用來(lái)解決不連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的數(shù)值模擬方法。該方法把節(jié)理巖體視為由離散的巖塊和巖塊間的節(jié)理面所組成,允許巖塊平移、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形,而節(jié)理面可被壓縮、分離或滑動(dòng)。因此,巖體被看作一種不連續(xù)的離散介質(zhì)。其內(nèi)部可存在大位移、旋轉(zhuǎn)和滑動(dòng)乃至塊體的分離,從而可以較真實(shí)地模擬節(jié)理巖體中的非線性大變形特征。離散元法的一般求解過(guò)程為:將求解空間離散為離散元單元陣,并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題用合理的連接元件將相鄰兩單元連接起來(lái);單元間相對(duì)位移是基本變量,由力與相對(duì)位移的關(guān)系可得到兩單元間法向和切向的作用力;對(duì)單元在各個(gè)方向上與其它單元間的作用力以及其它物理場(chǎng)對(duì)單元作用所引起的外力求合力和合力矩,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律可以求得單元的加速度;對(duì)其進(jìn)行時(shí)間積分,進(jìn)而得到單元的速度和位移。從而得到所有單元在任意時(shí)刻的速度、加速度、角速度、線位移和轉(zhuǎn)角等物理量。

離散元技術(shù)在巖土、礦冶、農(nóng)業(yè)、食品、化工、制藥和環(huán)境等領(lǐng)域有廣泛地應(yīng)用，可分為分選、凝聚、混合、裝填和壓制、推鏟、儲(chǔ)運(yùn)、粉碎、爆破、流態(tài)化等過(guò)程。顆粒離散元法在上述領(lǐng)域均有不少應(yīng)用：料倉(cāng)卸料過(guò)程的模擬；堆積、裝填和壓制；顆?；旌线^(guò)程的模擬。離散元法在巖土工程、地質(zhì)工程和能源開采領(lǐng)域也具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

離散元在我國(guó)起步比較晚，但是發(fā)展迅速，1986年第一屆全國(guó)巖石力學(xué)數(shù)值計(jì)算及模型試驗(yàn)討論會(huì)上，王泳嘉首次向我國(guó)巖石力學(xué)與工程界介紹了離散元法的基本原理及幾個(gè)應(yīng)用例子。