流體動力學(xué)基本方程

錢學(xué)森著，徐華舫譯：《氣體動力學(xué)諸方程》，科學(xué)出版社，北京，1966。(H.W.Emmons,Fundmentals　of Gas Dynamics,Section A, Oxford Univ.Press,Oxford,1958.)

G.K.Batchelor,　An Introduction to Fluid　Dynamics,Cambridge Univ.Press,Cambridge,1970.2100433B

基本方程有積分形式和微分形式兩種。前者通過對控制體和控制面的積分而得到流體諸物理量之間的積分關(guān)系式；后者通過對微元控制體或系統(tǒng)直接建立方程而得到任意空間點上流體諸物理量之間的微分關(guān)系式。求解積分形式基本方程可以得到總體性能關(guān)系，如流體與物體之間作用的合力和總的能量交換等；求解微分形式基本方程或求解對微元控制體建立的積分形式基本方程，可以得到流場細節(jié)，即各空間點上流體的物理量。

流體動力學(xué)基本方程積分形式

主要有連續(xù)方程、動量方程、動量矩方程和能量方程。

1.連續(xù)方程 　單位時間流入控制體的質(zhì)量等于控制體內(nèi)質(zhì)量的增加。它是由質(zhì)量守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達式為式中v為速度;ρ為密度；τ為控制體體積；A為控制面面積；n為dA控制面處法線方向單位向量（圖1）。定常流動時上等式右邊為零。這時如截取一段流管（見流體運動學(xué)）作為控制面(圖2），則有下述連續(xù)方程：

ρ1v1A1=ρ2v2A2

式中ρ1、v1、ρ2、v2分別為A1和A2截面上的流體平均密度和速度。

2.動量方程 　單位時間內(nèi)，流入控制體的動量與作用于控制面和控制體上的外力之和，等于控制體內(nèi)動量的增加。它是由動量守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達式為：式中為外部作用于 dA控制面上單位面積上的力；┃為外部作用于dτ控制體內(nèi)單位質(zhì)量流體上的力；通常就是重力。定常流動時，上等式右邊為零。動量方程用于確定流體與其邊界之間的作用力。

3.動量矩方程 　單位時間內(nèi)，流入控制體的動量與作用于控制體和控制面上的外力對某一參考點的動量矩之和，等于控制體內(nèi)對同一點的動量矩的增加。它是由動量矩守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達式為　式中r為以某一參考點“0”為原點到dA控制面或dτ控制體的向徑。定常流動時，上等式右邊為零。將它用于透平機械可得透平機械基本方程。

4.能量方程 　單位時間內(nèi)，流入控制體的各種能量與外力所作的功之和，等于控制體內(nèi)能量的增加。它是由能量守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達式為式中qλ為單位時間內(nèi)單位面積的dA控制面上得到的傳導(dǎo)熱；qR為單位時間內(nèi)單位質(zhì)量的dτ控制體上得到的非傳導(dǎo)熱,包括輻射熱、化學(xué)反應(yīng)生成熱等；e為單位質(zhì)量流體的廣義內(nèi)能，包括熱力學(xué)中的內(nèi)能、電磁能等。對于重力場中無粘性流體的定常絕熱流動，上式可化簡為伯努利方程的形式式中p為壓力;z為距參考水平面的高度;可視為單位質(zhì)量流體的總能量，即內(nèi)能、動能、壓力勢能和位能之和。這一方程的物理意義是：單位時間流進和流出控制面的總能量相等。

流體動力學(xué)基本方程微分形式

主要有連續(xù)方程、運動方程和能量方程。

1.連續(xù)方程 　對流體微團應(yīng)用質(zhì)量守恒定律得到的方程。它在直角坐標(biāo)系中的表達式為式中u、v、w分別為x、y、z方向的速度分量。

2運動方程 　對流體微團應(yīng)用牛頓第二定律得到的方程。無粘性流體的運動方程就是歐拉方程，牛頓流體的運動方程就是納維－斯托克斯方程。

3.能量方程 　對流體微團應(yīng)用能量守恒定律得到的方程。無粘性流體的能量方程為這表示流體微團的內(nèi)能增量與可逆的體積膨脹功之和等于其輻射熱。式中為質(zhì)點導(dǎo)數(shù)算子。牛頓流體的能量方程在直角坐標(biāo)系中的表達式為這表示流體微團的內(nèi)能增量及可逆的體積膨脹功之和等于其輻射熱、傳導(dǎo)熱及粘性耗散功之和。式中k為熱導(dǎo)率；T為溫度；Ф為耗散函數(shù),表示單位時間單位質(zhì)量流體由于粘性而耗散的機械功，它轉(zhuǎn)化為流體內(nèi)能。

上述微分形式基本方程本身包含的未知函數(shù)數(shù)目多于獨立方程的個數(shù),所以求解時還必須引入補充方程。通常，這些補充方程也稱為基本方程。

電流體動力學(xué)的研究對象是由帶電粒子和中性粒子組成的二組元系統(tǒng)。這一系統(tǒng)可用單組元流體模型作近似處理。假定表征介質(zhì)性質(zhì)的系數(shù)都是常數(shù)且流體是理想的（無粘性、無電阻、不導(dǎo)熱），則基本方程組包括：

連續(xù)性方程

能量方程

運動方程

狀態(tài)方程

電場方程

廣義歐姆定律

式中p為流體壓力；ρ為流體密度；T為溫度；v為流體速度；E為電場強度；J為電流密度；q為電荷密度；b為荷遷移率；c_v為定容比熱；R為氣體常數(shù)。電流體動力學(xué)基本方程組同磁流體力學(xué)基本方程組主要不同點是在動運方程中用靜電力qE代替J×B，在電場方程中第二式的右端用零代替項；在廣義歐姆定律中用qv代替v×B項。

在一般情況下，可建立二組元模型的方程組，表征介質(zhì)性質(zhì)的系數(shù)可以不是常數(shù)。還可以把粘性、電阻、熱傳導(dǎo)等因素也考慮進去。

磁流體力學(xué)的基本方程組有16個標(biāo)量方程，包含16個未知標(biāo)量，因此是完備的。結(jié)合邊界條件可以求解這個方程組。在磁流體動力學(xué)中，等離子體可以看作是良導(dǎo)體，電磁場變化的特征時間遠遠大于粒子碰撞的時間，電磁場可以認為是準(zhǔn)靜態(tài)的，因此麥克斯韋方程組中的位移電流項可以忽略，寫為：由于存在洛侖茲力，歐姆定律的數(shù)學(xué)形式為：等離子體是流體，滿足流體的連續(xù)性方程：流體的運動方程的右邊應(yīng)加上電磁力項，而重力與電磁力相比是小量，常常也可以忽略不計。因此運動方程為：其中能量方程的右邊應(yīng)加上因電磁場引起的焦耳熱，重力所做的功可以忽略不計。

流體的狀態(tài)方程形式為：

p = p(ρ,T)對于絕熱過程，有pρ ? γ = const 理想磁流體力學(xué)方程組對于無粘、絕熱、理想導(dǎo)電的等離子體，即理想導(dǎo)電流體，磁流體力學(xué)方程可以簡化為：pρ ? γ = const ，其稱為理想磁流體力學(xué)方程組，即 pρ ? γ = const。