冪法求矩陣特征值

冪法主要用于計(jì)算矩陣的按模為最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。

基本思想是:

若我們求某個(gè)n階方陣A的特征值和特征向量，先任取一個(gè)初始n維向量x(0)，構(gòu)造如下序列:

x(0),x(1)=Ax(0),x(2)=Ax(1),…, x(k)=Ax(k-1) ,… ⑴

當(dāng)k增大時(shí),序列的收斂情況與絕對(duì)值最大的特征值有密切關(guān)系，分析這一序列的極限,即可求出按模最大的特征值和特征向量。

假定矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。n個(gè)特征值按模由大到小排列:

│λ1│> =│λ2│> =…> =│λn│ ⑵

其相應(yīng)的特征向量為:

V1 ,V2 , …,Vn ⑶

它們構(gòu)成n維空間的一組基。任取的初始向量X(0)由它們的線性組合給出

x(0)=a1V1+a2V2+…+anVn ⑷

由此知,構(gòu)造的向量序列有

x(k) =Ax(k-1) = A2x(k-2) =…=Akx(0) = a1λ1kV1+a2 λ2kV2+…+anλnkVn ⑸

下面按模最大特征值λ1是單根的情況討論:

由此公式(5)可寫成

X(k) = λ1k (a1V1+a2 (λ2/λ1)kV2+…+an(λn/λ1)kVn ) ⑹

若a1≠0，由于|λi/λ1 | <1 (i≥2),故k充分大時(shí)，

X(k) = λ1k (a1V1+εk)

其中εk為一可以忽略的小量，這說明X(k)與特征向量V1相差一個(gè)常數(shù)因子，即使a1=0，由于計(jì)算過程的舍入誤差，必將引入在方向上的微小分量，這一分量隨著迭代過程的進(jìn)展而逐漸成為主導(dǎo)，其收斂情況最終也將與相同。

特征值按下屬方法求得:

λ1 ≈Xj(k+1)/ Xj(k) ⑺

其中Xj(k+1)， Xj(k)分別為X(k+1)，X(k)的第j各分量。

實(shí)際計(jì)算時(shí)，為了避免計(jì)算過程中出現(xiàn)絕對(duì)值過大或過小的數(shù)參加運(yùn)算，通常在每步迭代時(shí)，將向量"歸一化"即用的按模最大的分量 max |Xj(k)| 1≤j≤n 去除X(k)的各個(gè)分量，得到歸一化的向量Y(k),并令 X(k+1) = AY(k)

由此得到下列迭代公式 :

Y(k) = X(k)/║ X(k)║∞

X(k+1) = AY(k) k=0,1,2,… ⑻

當(dāng)k充分大時(shí)，或當(dāng)║ X(k)- X(k+1)║ <ε時(shí)，

Y(k)≈V1

max |Xj(k)| ≈ λ1 ⑼

1≤j≤n