歐姆定律應(yīng)用領(lǐng)域

電機(jī)工程學(xué)和電子工程學(xué)

在電機(jī)工程學(xué)和電子工程學(xué)里，歐姆定律妙用無(wú)窮，因?yàn)樗軌蛟诤暧^層次表達(dá)電壓與電流之間的關(guān)系，即電路元件兩端的電壓與通過(guò)的電流之間的關(guān)系。

物理學(xué)

在物理學(xué)里，對(duì)于物質(zhì)的微觀層次電性質(zhì)研究，會(huì)使用到的歐姆定律，以矢量方程表達(dá)為

在導(dǎo)體內(nèi)任意兩點(diǎn)g、h，定義電壓為將單位電荷從點(diǎn)g移動(dòng)到點(diǎn)h，電場(chǎng)力所需做的機(jī)械功：

其中，Vgh是電壓，w是機(jī)械功，q是電荷量，dL 是微小線元素。

假設(shè)，沿著積分路徑，電流密度J=jI為均勻電流密度，并且平行于微小線元素：

dL=dlI；其中，I是積分路徑的單位矢量。

那么，可以得到電壓：

Vgh=Jρl；其中，l是積分路徑的徑長(zhǎng)。

假設(shè)導(dǎo)體具有均勻的電阻率，則通過(guò)導(dǎo)體的電流密度也是均勻的：

J=I/a；(黑體字部分為矢量（臺(tái)灣稱做向量）其中，a是導(dǎo)體的截面面積。

電壓Vgh簡(jiǎn)寫(xiě)為V。電壓與電流成正比：

V=Vgh=Iρl/a?？偨Y(jié)，電阻與電阻率的關(guān)系為

R= ρl/a。假設(shè)J> 0 ，則V> 0 ；將單位電荷從點(diǎn)g移動(dòng)到點(diǎn)h，電場(chǎng)力需要作的機(jī)械功w> 0 。所以，點(diǎn)g的電勢(shì)比點(diǎn)h的電勢(shì)高，從點(diǎn)g到點(diǎn)h的電勢(shì)差為V。從點(diǎn)g到點(diǎn)h，電壓降是V；從點(diǎn)h到點(diǎn)g，電壓升是V。

給予一個(gè)具有完美晶格的晶體，移動(dòng)于這晶體的電子，其運(yùn)動(dòng)等價(jià)于移動(dòng)于自由空間的具有有效質(zhì)量（effective mass）的電子的運(yùn)動(dòng)。所以，假設(shè)熱運(yùn)動(dòng)足夠微小，周期性結(jié)構(gòu)沒(méi)有偏差，則這晶體的電阻等于零。但是，真實(shí)晶體并不完美，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)晶體缺陷（crystallographic defect），有些晶格點(diǎn)的原子可能不存在，可能會(huì)被雜質(zhì)侵占。這樣，晶格的周期性會(huì)被擾動(dòng)，因而電子會(huì)發(fā)生散射。另外，假設(shè)溫度大于絕對(duì)溫度，則處于晶格點(diǎn)的原子會(huì)發(fā)生熱震動(dòng)，會(huì)有熱震動(dòng)的粒子，即聲子，移動(dòng)于晶體。溫度越高，聲子越多。聲子會(huì)與電子發(fā)生碰撞，這過(guò)程稱為晶格散射（lattice scattering）。主要由于上述兩種散射，自由電子的流動(dòng)會(huì)被阻礙，晶體因此具有有限電阻。

凝聚態(tài)物理學(xué)

凝聚態(tài)物理學(xué)研究物質(zhì)的性質(zhì)，特別是其電子結(jié)構(gòu)。在凝聚態(tài)物理學(xué)里，歐姆定律更復(fù)雜、更廣義的方程非常重要，屬于本構(gòu)方程（constitutive equation）與運(yùn)輸系數(shù)理論（theory of transport coefficients）的范圍。

在通常溫度或溫度不太低的情況下，對(duì)于電子導(dǎo)電的導(dǎo)體（如金屬），歐姆定律是一個(gè)很準(zhǔn)確的定律。當(dāng)溫度低到某一溫度時(shí)，金屬導(dǎo)體可能從正常態(tài)進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)。處于超導(dǎo)態(tài)的導(dǎo)體電阻消失了，不加電壓也可以有電流。對(duì)于這種情況，歐姆定律當(dāng)然不再適用了。

在通常溫度或溫度變化范圍不太大時(shí)，像電解液（酸、堿、鹽的水溶液）這樣離子導(dǎo)電的導(dǎo)體，歐姆定律也適用。而對(duì)于氣體電離條件下，所呈現(xiàn)的導(dǎo)電狀態(tài)，和一些導(dǎo)電器件，如電子管、晶體管等，歐姆定律不成立。

設(shè)有一段金屬導(dǎo)體，橫截面積為S，長(zhǎng)為L(zhǎng)，在導(dǎo)體的兩端加上電壓U，則導(dǎo)體中的場(chǎng)強(qiáng)E=U/L.這時(shí)，一自由電子在電場(chǎng)力F=eE的作用下做定向移動(dòng)。設(shè)電子的質(zhì)量為m,則定向移動(dòng)的加速度為a=F/m=eE/m=U(e/mL)。

運(yùn)動(dòng)的自由電子要頻繁地與金屬正離子碰撞，使其定向移動(dòng)受到破壞，限制了移動(dòng)速率的增加。自由電子在碰撞后向各個(gè)方向彈射的機(jī)會(huì)相等，失去了之前定向移動(dòng)的特性，又要從新開(kāi)始做初速為0的定向加速運(yùn)動(dòng)。

自由電子相繼兩次碰撞的間隔有長(zhǎng)有短，設(shè)平均時(shí)間為t，則自由電子在下次碰撞前的定向移動(dòng)速率vt（以t為下標(biāo)）=at，那么在時(shí)間t內(nèi)的平均速率v=at/2。結(jié)合之前推出的a=U(e/mL)，得自由電子的平均移動(dòng)速率為v=U(et/2mL)。

代入電流的微觀表達(dá)式I=neSv，得I=U(ne²St/2mL)

對(duì)于一定的金屬材料，在一定的溫度下，t是個(gè)確定的數(shù)值（10^-14~10s)，也就是說(shuō)，對(duì)于一段金屬導(dǎo)體，ne²St/2mL是個(gè)常量。

因此，導(dǎo)體中的電流強(qiáng)度I與兩端的電壓U成正比。導(dǎo)體兩端的電壓與導(dǎo)體中的電流強(qiáng)度的比值(2mL/ne²St)就是這段導(dǎo)體的電阻。由此看出，導(dǎo)體的電阻與長(zhǎng)度成正比，與橫截面積成反比，與1/ne^2t成正比。1/ne²t由導(dǎo)體的特性決定。因此，在一定溫度時(shí)，導(dǎo)體的電阻是R=ρL/S。ρ是導(dǎo)體的電阻率。對(duì)于一定溫度與相同的導(dǎo)體，電阻率一定。

歐姆定律只適用于純電阻電路，金屬導(dǎo)電和電解液導(dǎo)電，在氣體導(dǎo)電和半導(dǎo)體元件等中歐姆定律將不適用。

歐姆第一階段的實(shí)驗(yàn)是探討電流產(chǎn)生的電磁力的衰減與導(dǎo)線長(zhǎng)度的關(guān)系，其結(jié)果于1825年5月在他的第一篇科學(xué)論文中發(fā)表。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，他碰到了測(cè)量電流強(qiáng)度的困難。在德國(guó)科學(xué)家施威格發(fā)明的檢流計(jì)啟發(fā)下，他把奧斯特關(guān)于電流磁效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)和庫(kù)侖扭秤方法巧妙地結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)了一個(gè)電流扭力秤，用它測(cè)量電流強(qiáng)度。歐姆從初步的實(shí)驗(yàn)中發(fā)出，電流的電磁力與導(dǎo)體的長(zhǎng)度有關(guān)。其關(guān)系式與今天的歐姆定律表示式之間看不出有什么直接聯(lián)系。歐姆在當(dāng)時(shí)也沒(méi)有把電勢(shì)差（或電動(dòng)勢(shì)）、電流強(qiáng)度和電阻三個(gè)量聯(lián)系起來(lái)。

在歐姆之前，雖然還沒(méi)有電阻的概念，但是已經(jīng)有人對(duì)金屬的電

導(dǎo)率（傳導(dǎo)率）進(jìn)行研究。歐姆很努力，1825年7月，歐姆也用上述初步實(shí)驗(yàn)中所用的裝置，研究了金屬的相對(duì)電導(dǎo)率。他把各種金屬制成直徑相同的導(dǎo)線進(jìn)行測(cè)量，確定了金、銀、鋅、黃銅、鐵等金屬的相對(duì)電導(dǎo)率。雖然這個(gè)實(shí)驗(yàn)較為粗糙，而且有不少錯(cuò)誤，但歐姆想到，在整條導(dǎo)線中電流不變的事實(shí)表明電流強(qiáng)度可以作為電路的一個(gè)重要基本量，他決定在下一次實(shí)驗(yàn)中把它當(dāng)作一個(gè)主要觀測(cè)量來(lái)研究。

在以前的實(shí)驗(yàn)中，歐姆使用的電池組是伏打電堆，這種電堆的電動(dòng)勢(shì)不穩(wěn)定，使他大為頭痛。后來(lái)經(jīng)人建議，改用鉍銅溫差電偶作電源，從而保證了電源電動(dòng)勢(shì)的穩(wěn)定。

1826年，歐姆用上面圖6中的實(shí)驗(yàn)裝置導(dǎo)出了他的定律。在木質(zhì)座架上裝有電流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盤(pán)，s是觀察用的放大鏡，m和m'為水銀杯，abb'a'為鉍框架，鉍、銅框架的一條腿相互接觸，這樣就組成了溫差電偶。A、B是兩個(gè)用來(lái)產(chǎn)生溫差的錫容器。實(shí)驗(yàn)時(shí)把待研究的導(dǎo)體插在m和m'兩個(gè)盛水銀的杯子中，m和m'成了溫差電池的兩個(gè)極。

歐姆準(zhǔn)備了截面相同但長(zhǎng)度不同的導(dǎo)體，依次將各個(gè)導(dǎo)體接入電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)扭力拖拉磁針偏轉(zhuǎn)角的大小，然后改變條件反復(fù)操作，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)歸納成下關(guān)系：

x=q/(b l)式中x表示流過(guò)導(dǎo)線的電流的大小，它與電流強(qiáng)度成正比，A和B為電路的兩個(gè)參數(shù)，L表示實(shí)驗(yàn)導(dǎo)線的長(zhǎng)度。

1826年4月歐姆發(fā)表論文，把歐姆定律改寫(xiě)為：x=ksa/ls為導(dǎo)線的橫截面積，K表示電導(dǎo)率，A為導(dǎo)線兩端的電勢(shì)差，L為導(dǎo)線的長(zhǎng)度，X表示通過(guò)L的電流強(qiáng)度。如果用電阻l'=l/ks代入上式，就得到X=a/I'這就是歐姆定律的定量表達(dá)式，即電路中的電流強(qiáng)度和電勢(shì)差成正比而與電阻成反比。

1825年5月歐姆在他的第一篇科學(xué)論文中發(fā)表電流產(chǎn)生的電磁力的衰減與導(dǎo)線長(zhǎng)度的關(guān)系，是有關(guān)伽伐尼電路的論文，但其中的公式是錯(cuò)誤的。

1826年4月歐姆改正了這個(gè)錯(cuò)誤，得出有名的歐姆定律。

1827年出版了他最著名的著作《伽伐尼電路的數(shù)學(xué)論述》，文中列出了公式，明確指出伽伐尼電路中電流的大小與總電壓成正比，與電路的總電阻成反比，式中S為導(dǎo)體中的電流強(qiáng)度(I)，A為導(dǎo)體兩端的電壓(U)，L為導(dǎo)體的電阻(R)，可見(jiàn)，這就是今天的部分電路歐姆定律公式。

1876年，詹姆斯·麥克斯韋與同事，共同設(shè)計(jì)出幾種測(cè)試歐姆定律的實(shí)驗(yàn)方法，能夠特別凸顯出導(dǎo)電體對(duì)于加熱效應(yīng)的響應(yīng)。

歐姆第一階段的實(shí)驗(yàn)是探討電流產(chǎn)生的電磁力的衰減與導(dǎo)線長(zhǎng)度的關(guān)系，其結(jié)果于1825年5月在他的第一篇科學(xué)論文中發(fā)表。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，他碰到了測(cè)量電流強(qiáng)度的困難。在德國(guó)科學(xué)家施威格發(fā)明的檢流計(jì)啟發(fā)下，他把奧斯特關(guān)于電流磁效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)和庫(kù)侖扭秤方法結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)了一個(gè)電流扭力秤，用它測(cè)量電流強(qiáng)度。歐姆從初步的實(shí)驗(yàn)中發(fā)出，電流的電磁力與導(dǎo)體的長(zhǎng)度有關(guān)。其關(guān)系式與今天的歐姆定律表示式之間看不出有什么直接聯(lián)系。歐姆在當(dāng)時(shí)也沒(méi)有把電勢(shì)差（或電動(dòng)勢(shì)）、電流強(qiáng)度和電阻三個(gè)量聯(lián)系起來(lái)。

在歐姆之前，雖然還沒(méi)有電阻的概念，但是已經(jīng)有人對(duì)金屬的電導(dǎo)率（傳導(dǎo)率）進(jìn)行研究。1825年7月，歐姆也用上述初步實(shí)驗(yàn)中所用的裝置，研究了金屬的相對(duì)電導(dǎo)率。他把各種金屬制成直徑相同的導(dǎo)線進(jìn)行測(cè)量，確定了金、銀、鋅、黃銅、鐵等金屬的相對(duì)電導(dǎo)率。雖然這個(gè)實(shí)驗(yàn)較為粗糙，而且有不少錯(cuò)誤，但歐姆想到，在整條導(dǎo)線中電流不變的事實(shí)表明電流強(qiáng)度可以作為電路的一個(gè)重要基本量，他決定在下一次實(shí)驗(yàn)中把它當(dāng)作一個(gè)主要觀測(cè)量來(lái)研究。

在以前的實(shí)驗(yàn)中，歐姆使用的電池組是伏打電堆，這種電堆的電動(dòng)勢(shì)不穩(wěn)定，使他大為頭痛。后來(lái)經(jīng)人建議，改用鉍銅溫差電偶作電源，從而保證了電源電動(dòng)勢(shì)的穩(wěn)定。

1826年，歐姆用實(shí)驗(yàn)裝置導(dǎo)出了他的定律。在木質(zhì)座架上裝有電流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盤(pán)，s是觀察用的放大鏡，m和m'為水銀杯，abb'a'為鉍框架，鉍、銅框架的一條腿相互接觸，這樣就組成了溫差電偶。A、B是兩個(gè)用來(lái)產(chǎn)生溫差的錫容器。實(shí)驗(yàn)時(shí)把待研究的導(dǎo)體插在m和m'兩個(gè)盛水銀的杯子中，m和m'成了溫差電池的兩個(gè)極。

歐姆準(zhǔn)備了截面相同但長(zhǎng)度不同的導(dǎo)體，依次將各個(gè)導(dǎo)體接入電路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)扭力拖拉磁針偏轉(zhuǎn)角的大小，然后改變條件反復(fù)操作，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)歸納成下關(guān)系：

x=q/(b l)式中x表示流過(guò)導(dǎo)線的電流的大小，它與電流強(qiáng)度成正比，A和B為電路的兩個(gè)參數(shù)，L表示實(shí)驗(yàn)導(dǎo)線的長(zhǎng)度。

1826年4月歐姆發(fā)表論文，把歐姆定律改寫(xiě)為：X=KSA/L，s為導(dǎo)線的橫截面積，K表示電導(dǎo)率，A為導(dǎo)線兩端的電勢(shì)差，L為導(dǎo)線的長(zhǎng)度，X表示通過(guò)L的電流強(qiáng)度。如果用電阻l'=L/KS代入上式，就得到X=A/I'這就是歐姆定律的定量表達(dá)式，即電路中的電流強(qiáng)度和電勢(shì)差成正比而與電阻成反比。為了紀(jì)念歐姆對(duì)電磁學(xué)的貢獻(xiàn)，物理學(xué)界將電阻的單位命名為歐姆，以符號(hào)Ω表示。1歐姆定義為電位差為1伏特時(shí)恰好通過(guò)1安培電流的電阻。

常見(jiàn)簡(jiǎn)述：在同一電路中，通過(guò)某一導(dǎo)體的電流跟這段導(dǎo)體兩端的電壓成正比，跟這段導(dǎo)體的電阻成反比,這就是歐姆定律。

標(biāo)準(zhǔn)式：

（變形公式：

注意：公式中物理量的單位：I：(電流）的單位是安培（A）、U：（電壓）的單位是伏特（V）、R ：（電阻）的單位是歐姆（Ω）。

部分電路公式：

(由歐姆定律的推導(dǎo)式【

歐姆定律成立時(shí)，以導(dǎo)體兩端電壓為橫坐標(biāo)，導(dǎo)體中的電流I為縱坐標(biāo)，所做出的曲線，稱為伏安特性曲線。這是一條通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，它的斜率為電阻的倒數(shù)。具有這種性質(zhì)的電器元件叫線性元件，其電阻叫線性電阻或歐姆電阻。

歐姆定律不成立時(shí)，伏安特性曲線不是過(guò)原點(diǎn)的直線，而是不同形狀的曲線。把具有這種性質(zhì)的電器元件，叫作非線性元件。

全電路公式：

E為電源電動(dòng)勢(shì)，單位為伏特(V);R是負(fù)載電阻，r是電源內(nèi)阻，

單位均為歐姆符號(hào)是Ω;I的單位是安培(A).

詹姆斯·麥克斯韋詮釋

詹姆斯·麥克斯韋詮釋歐姆定律為，處于某狀態(tài)的導(dǎo)電體，其電動(dòng)勢(shì)與產(chǎn)生的電流成正比。因此，電動(dòng)勢(shì)與電流的比例，即電阻，不會(huì)隨著電流而改變。在這里，電動(dòng)勢(shì)就是導(dǎo)電體兩端的電壓。參考這句引述的上下文，修飾語(yǔ)“處于某狀態(tài)”，詮釋為處于常溫狀態(tài)，這是因?yàn)槲镔|(zhì)的電阻率通常相依于溫度。根據(jù)焦耳定律，導(dǎo)電體的焦耳加熱（Joule heating）與電流有關(guān)，當(dāng)傳導(dǎo)電流于導(dǎo)電體時(shí)，導(dǎo)電體的溫度會(huì)改變。電阻對(duì)于溫度的相依性，使得在典型實(shí)驗(yàn)里，電阻相依于電流，從而很不容易直接核對(duì)這形式的歐姆定律。

歐姆定律及其公式的發(fā)現(xiàn)，給電學(xué)的計(jì)算，帶來(lái)了很大的方便。這在電學(xué)史上是具有里程碑意義的貢獻(xiàn)。　1854年歐姆與世長(zhǎng)辭。十年之后英國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)為了紀(jì)念他，將電阻的單位定為歐姆，簡(jiǎn)稱“歐”，符號(hào)為Ω，它是電阻值的計(jì)量單位，在國(guó)際單位制中是由電流所推導(dǎo)出的一種單位。

以應(yīng)用磁路歐姆定律分析電機(jī)和電器為例說(shuō)明

根據(jù)磁路歐姆定律，我們可以發(fā)現(xiàn)，磁路中的磁通相當(dāng)于電路中的電流，磁壓降（或磁勢(shì)）相當(dāng)于電路中的電壓降（或電勢(shì)），而磁阻則相當(dāng)于電路中的電阻，這樣，就可把磁路的問(wèn)題仿照電路的問(wèn)題來(lái)解決。

在運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意磁路有其自身的特點(diǎn)。在機(jī)電設(shè)備中，不導(dǎo)磁的銅、不銹鋼等金屬材料和絕緣材料及空氣隙在磁路中均描述成空氣隙，它與氣隙的大小δ成正比，與磁路的截面積 S_δ及其導(dǎo)磁率μ₀成反比，它的導(dǎo)磁率為常數(shù)。鐵磁物質(zhì)的磁阻用 R_Fe表示，它與磁路的長(zhǎng)度成正比，與導(dǎo)磁體的截面積及其導(dǎo)磁率成反比，它的導(dǎo)磁率與導(dǎo)磁體的物理性質(zhì)及飽和程度有關(guān)，不是常數(shù)。這和電阻不完全一樣。

下面用磁路歐姆定律分析一個(gè)典型的磁路問(wèn)題：直流電機(jī)的主磁場(chǎng)

直流電機(jī)的主磁場(chǎng)是電機(jī)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。為了清楚知道電機(jī)的工作情況，必須具體分析空載時(shí)直流電機(jī)的磁場(chǎng)和氣隙磁密的分布情況。這個(gè)問(wèn)題如果用陳述性語(yǔ)言去分析，是非常困難的。應(yīng)用磁路歐姆定律，把電機(jī)的磁場(chǎng)關(guān)系進(jìn)行量化，便可以用數(shù)學(xué)方法去進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和分析。

首先，根據(jù)磁路按材料和截面分段的原則，對(duì)閉合的主磁路可分為五段，即空氣隙、電樞齒、電樞軛部、主磁極和定子磁軛。其中除空氣隙是空氣介質(zhì)外，其余各段均是鐵磁物質(zhì)。這樣，可把磁路中的磁阻分解為鐵磁阻 R_Fe和空氣隙的磁阻R_δ，且按各段磁路的連接情況，認(rèn)為鐵磁阻和空氣隙的磁阻是串聯(lián)關(guān)系，可畫(huà)出其等效磁路圖，如圖1中(a)所示。由于氣隙中的空氣導(dǎo)磁系數(shù)比鐵磁物質(zhì)的導(dǎo)磁系數(shù)小得多，所以氣隙磁阻在磁路總磁阻中占相當(dāng)大的比例。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常忽略鐵磁物質(zhì)的磁阻，等效磁路可見(jiàn)圖1中的（b）。這樣，主磁通Φ的大小決定于勵(lì)磁磁勢(shì)F_L跟氣隙磁阻R_δ的比值。

當(dāng)勵(lì)磁磁勢(shì)恒定時(shí)，氣隙各處的磁密與該處的氣隙長(zhǎng)度δ成反比。若主磁極下的氣隙是均勻的，則主磁極下的氣隙磁密大小相等。據(jù)此得出氣隙磁密沿電樞表面氣隙空間的分布波形為一平頂波。可用同樣的方法求取負(fù)載時(shí)電樞磁密的分布波形。 2100433B