塑性全量理論

在加載過(guò)程中，若應(yīng)力張量各分量之間的比值保持不變。按同一參數(shù)單調(diào)增加，則加載稱為簡(jiǎn)單加載，不滿足這個(gè)條件的叫復(fù)雜加載。在簡(jiǎn)單加載下，用全量應(yīng)力和全量應(yīng)變表達(dá)的本構(gòu)方程為：

塑性全量理論，嚴(yán)格地說(shuō)，要求結(jié)構(gòu)內(nèi)部每一質(zhì)點(diǎn)的材料都經(jīng)歷簡(jiǎn)單加載的歷史。但實(shí)際結(jié)構(gòu)大多數(shù)是在非均勻應(yīng)力條件下工作的，要保證結(jié)構(gòu)內(nèi)部每一點(diǎn)都滿足簡(jiǎn)單加載條件，對(duì)于結(jié)構(gòu)所承受的載荷和結(jié)構(gòu)的材料必須提出某些要求。伊柳辛指出，如果滿足如下的四個(gè)條件，結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)都經(jīng)歷簡(jiǎn)單加載：①小變形；②所有外載荷都通過(guò)一個(gè)公共參數(shù)按比例單調(diào)增加，如有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；③材料的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變之間的關(guān)系可以表示為冪函數(shù)形式

進(jìn)一步的研究還表明，全量理論不僅在簡(jiǎn)單加載的條件下適用，對(duì)于某些偏離簡(jiǎn)單加載的加載路徑也適用。至于在一般情況下應(yīng)力路徑偏離簡(jiǎn)單加載路徑多遠(yuǎn)仍可使用全量理論的問(wèn)題，還需要繼續(xù)從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面進(jìn)行研究。由于全量理論的公式比較簡(jiǎn)單，應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算比塑性增量理論方便，因此，使用相當(dāng)廣泛 。

塑性力學(xué)中用全量應(yīng)力和全量應(yīng)變表述彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系的理論，又稱塑性變形理論。1924年H.亨奇從變分原理出發(fā)，得出了一組關(guān)于理想塑性材料的全量形式的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（即本構(gòu)關(guān)系）。它是簡(jiǎn)單加載條件下，增量理論的簡(jiǎn)化方程，所以是塑性加工力學(xué)中最簡(jiǎn)單的本構(gòu)方程。簡(jiǎn)單加載也稱比例加載，是指加載過(guò)程中物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量均按比例增加。

此后，蘇聯(lián)的A.A.伊柳辛提出簡(jiǎn)單加載定理，使全量理論更為完整。全量理論的本構(gòu)方程在數(shù)學(xué)表達(dá)上比較簡(jiǎn)單，但它不能反映復(fù)雜的加載歷史，在應(yīng)用上有局限性。

控制變量變分原理的基礎(chǔ)理論之一是現(xiàn)代控制論中的最優(yōu)控制理論。因此最首要的是確定系統(tǒng)的參數(shù)和建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即所謂“系統(tǒng)辯識(shí)”問(wèn)題。系統(tǒng)的參數(shù)可分為狀態(tài)變量和控制變量二部分。所謂狀態(tài)變量是指能夠完全描述系統(tǒng)狀態(tài)的最小的一組變量。就彈塑性全量邊值問(wèn)題而言,確定系統(tǒng)狀態(tài)的物理量有位移ui、應(yīng)變￡lj和應(yīng)力oij共15個(gè)變量，其中有些通過(guò)定解方程可以從另一些量導(dǎo)出，有些則因其所描述的定解方程被變分極值的結(jié)果所取代而不必顯式給出，因此完全描述系統(tǒng)并不同時(shí)需要這么多變量。對(duì)于最小勢(shì)能原理，可取位移ui(三個(gè)變量)作為狀態(tài)變量；對(duì)于最小余能原理，狀態(tài)變量取應(yīng)力iaj(共六個(gè))。一般地，對(duì)于廣義變分原理，狀態(tài)變量可以是上述15個(gè)變量中的某些組合，這就要看所選用的能量泛函的形式了。在彈塑性系統(tǒng)中，流動(dòng)參數(shù)d入控制著系統(tǒng)作彈性或塑性狀態(tài)的變化，保證屈服條件不致破壞，因而可作為系統(tǒng)的控制變量。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程是描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于彈塑性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，描述各物理量之間內(nèi)在聯(lián)系的是本構(gòu)關(guān)系，因此本構(gòu)關(guān)系可以作為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。經(jīng)推導(dǎo)后表達(dá)成一定實(shí)用形式的本構(gòu)關(guān)系稱為本構(gòu)狀態(tài)方程。從可控性的角度考慮，一般要求在控制容許域內(nèi)本構(gòu)狀態(tài)方程能夠保證控制變量具有唯一性。當(dāng)本構(gòu)狀態(tài)方程表達(dá)成線性互補(bǔ)的形式時(shí)，可滿足這一要求，且最終的有限元數(shù)值解呈線性狀態(tài)，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算。

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的強(qiáng)度試驗(yàn)中，零組件、構(gòu)件的拉斷、屈服及失穩(wěn)現(xiàn)象是結(jié)構(gòu)破壞過(guò)程的主要表現(xiàn)形式。構(gòu)件塑性形態(tài)的產(chǎn)生、發(fā)展直到最后破壞，均與試驗(yàn)過(guò)程中構(gòu)件承載的應(yīng)力密切相關(guān)。通常情況下應(yīng)力是判斷結(jié)構(gòu)承載能力最重要的依據(jù)，但結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)到的直接數(shù)據(jù)是構(gòu)件變形而不是應(yīng)力，所以在研究彈塑性問(wèn)題時(shí)，把直接檢測(cè)到的應(yīng)變通過(guò)應(yīng)力應(yīng)變表述函數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)載荷下的確切應(yīng)力至關(guān)重要。

研究彈塑性問(wèn)題時(shí)，通常使用塑性增量理論或塑性全量理論。在增量理論中，應(yīng)力與應(yīng)變的全量關(guān)系必然與加載路徑有關(guān)，但是，這在復(fù)雜結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中很難搞清楚。在理論研究和大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用全量理論，提出一種新的應(yīng)力應(yīng)變表述函數(shù)，從而為解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性問(wèn)題提供理論依據(jù)。

彈塑性增量理論，又稱增量理論，是由圣維南于1871 年提出的，提出了塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S和應(yīng)力變量主軸重合的重要假設(shè)，為塑性理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)；同年，列維近一步提出：在塑性變形過(guò)程中，塑性應(yīng)變?cè)隽糠至颗c對(duì)應(yīng)的偏應(yīng)力分量成比例，并建立了 Levy-Mises 塑性增量理論。在此基礎(chǔ)上，1924 年，普朗特考慮到金屬屈服后應(yīng)包括彈性應(yīng)變部分，1930 年羅伊斯將這一理論推廣到三維應(yīng)力問(wèn)題，完善并建立了普朗特—羅伊斯塑性增量理論。包括下述基本假設(shè)：1)材料是不可壓縮的。對(duì)金屬材料而言， 即使在高壓狀態(tài)下，根據(jù)彈性理論可知物體在平均正應(yīng)力的作用下，所引起的變形只有彈性體積變形，不會(huì)引起塑性體積變形；但在應(yīng)力偏量作用下，會(huì)使物體產(chǎn)生畸變，但體積不發(fā)生變形。物體的畸變又包括彈性變形和塑性變形兩部分， 也就是說(shuō)塑性變形僅由應(yīng)變偏量引起， 同時(shí)認(rèn)為塑性狀態(tài)下體積變形等于零。2)應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例。由于應(yīng)力羅德參數(shù)代表應(yīng)力莫爾圓的相對(duì)位置， 應(yīng)變?cè)隽苛_德參數(shù)代表應(yīng)變?cè)隽磕獱枅A的相對(duì)位置， 因此應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)變?cè)隽苛_德參數(shù)之間的關(guān)系可以通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)確定。3)材料是理想剛塑性的，L- M 理論在推導(dǎo)過(guò)程中均考慮了塑性應(yīng)變?cè)隽浚?因此是基于剛塑性模型建立的 。

彈塑性增量理論，又稱增量理論，是由圣維南于1871 年提出的，提出了塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S和應(yīng)力變量主軸重合的重要假設(shè)，為塑性理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)；同年，列維近一步提出：在塑性變形過(guò)程中，塑性應(yīng)變?cè)隽糠至颗c對(duì)應(yīng)的偏應(yīng)力分量成比例，并建立了 Levy-Mises 塑性增量理論。在此基礎(chǔ)上，1924 年，普朗特考慮到金屬屈服后應(yīng)包括彈性應(yīng)變部分，1930 年羅伊斯將這一理論推廣到三維應(yīng)力問(wèn)題，完善并建立了普朗特—羅伊斯塑性增量理論。包括下述基本假設(shè)：1)材料是不可壓縮的。對(duì)金屬材料而言， 即使在高壓狀態(tài)下，根據(jù)彈性理論可知物體在平均正應(yīng)力的作用下，所引起的變形只有彈性體積變形，不會(huì)引起塑性體積變形；但在應(yīng)力偏量作用下，會(huì)使物體產(chǎn)生畸變，但體積不發(fā)生變形。物體的畸變又包括彈性變形和塑性變形兩部分， 也就是說(shuō)塑性變形僅由應(yīng)變偏量引起， 同時(shí)認(rèn)為塑性狀態(tài)下體積變形等于零。2)應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例。由于應(yīng)力羅德參數(shù)代表應(yīng)力莫爾圓的相對(duì)位置， 應(yīng)變?cè)隽苛_德參數(shù)代表應(yīng)變?cè)隽磕獱枅A的相對(duì)位置， 因此應(yīng)力羅德參數(shù)與應(yīng)變?cè)隽苛_德參數(shù)之間的關(guān)系可以通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)確定。3)材料是理想剛塑性的，L- M 理論在推導(dǎo)過(guò)程中均考慮了塑性應(yīng)變?cè)隽浚?因此是基于剛塑性模型建立的。

連續(xù)性假設(shè)

連續(xù)性假設(shè)有兩層含義：物質(zhì)點(diǎn)無(wú)空隙地分布于物體所占據(jù)的整個(gè)空間；物體在變形過(guò)程中仍保持連續(xù)性，不出現(xiàn)開(kāi)裂或重疊現(xiàn)象。顯然，在連續(xù)性假定下，表征物體變形和內(nèi)力的量就可以表示為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。這樣，我們?cè)谶M(jìn)行彈塑性力學(xué)分析時(shí)，就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)分析這個(gè)強(qiáng)有力的工具。連續(xù)性假設(shè)顯然與介質(zhì)由不連續(xù)的粒子所組成這一事實(shí)相矛盾。但是，采用連續(xù)性假設(shè)不僅是為了避免數(shù)學(xué)上的困難，更重要的是根據(jù)它所做出的力學(xué)分析，被廣泛的實(shí)踐證明是正確的。事實(shí)上，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，只要物體的尺寸足夠大，與晶體材料的晶?；蚧旌喜牧系念w粒相比數(shù)量級(jí)懸殊，就可以當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)來(lái)處理。

輔助性假設(shè)

為了解析求解，通常需要引入輔助性假設(shè)。其中均勻性假設(shè)認(rèn)為，物體內(nèi)各點(diǎn)處物理力學(xué)性質(zhì)相同，即特性參數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假設(shè)認(rèn)為，材料的性質(zhì)與方向無(wú)關(guān)，即特性參數(shù)不隨方向而變化。例如，在做某種金屬拉伸試驗(yàn)時(shí)，不管試件從鑄錠的哪個(gè)方向切出，都不影響結(jié)果；與拉力垂直的各個(gè)方向都有相同收縮。實(shí)際上，金屬材料由微小晶體組成，晶體本身是各向異性的。但是，由于晶體很微小而排列又不規(guī)則，按其材料的平均性質(zhì)，可以認(rèn)為金屬材料是各向同性的。然而，有些材料則必須考慮各向異性，例如復(fù)合材料、木材 等。

小變形假設(shè)

小變形假設(shè)指物體在外力作用下產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小，可以不考慮因變形而引起的尺寸變化。這樣，就可以用變形以前的幾何尺寸來(lái)建立各種方程。此外，應(yīng)變的二階微量可以忽略不計(jì)，從而使得幾何方程線性化。然而，對(duì)于大變形問(wèn)題，必須考慮幾何關(guān)系中的高階非線性項(xiàng)，平衡方程也該在變形后的物體上列出。

無(wú)初應(yīng)力假設(shè)

無(wú)初應(yīng)力假設(shè)認(rèn)為物體在外力作用以前，其內(nèi)部各點(diǎn)應(yīng)力均為零。分析計(jì)算是從這種狀態(tài)出發(fā)的，求得的應(yīng)力僅僅是由于荷載變化產(chǎn)生的。若物體中有初應(yīng)力存在，則彈塑性理論求得的應(yīng)力加上初應(yīng)力才是物體中的實(shí)際應(yīng)力。2100433B