拓撲穩(wěn)定性

一般是指作用在系統(tǒng)上的擾動排除后，系統(tǒng)能否恢復(fù)原狀、或以怎樣的精度恢復(fù)原狀的性能。它是控制理論的一個極其重要的問題。在經(jīng)典控制理論中，一般涉及到的是定常的線性系統(tǒng)，有關(guān)這種系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判別方法主要有： 羅斯—胡爾維茨準(zhǔn)則、奈奎斯特判據(jù)、波德圖、尼柯爾圖和根軌跡法等。在現(xiàn)代控制理論中，對線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究，主要是李雅普諾夫的穩(wěn)定性理論。李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)的輸出 (響應(yīng)) 是否有界來定義系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并區(qū)分了三種情況： (1) 穩(wěn)定的，即對于系統(tǒng)初始值的一個擾動，如果其響應(yīng)的幅值是有界的。(2) 漸近穩(wěn)定的，即對于系統(tǒng)初始值的一個擾動，如果其響應(yīng)能夠最終回到初始狀態(tài)。(3)不穩(wěn)定的，即對于系統(tǒng)初始值的一個擾動，其響應(yīng)的幅值不是有界的。經(jīng)典控制理論所研究的穩(wěn)定性只限于第二種情況漸近穩(wěn)定，而把另兩種情況都看作是不穩(wěn)定的。因而李雅普諾夫的穩(wěn)定性概念更具一般性。李雅普諾夫用兩種方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，第一種方法是： 用近似極數(shù)表示非線性函數(shù)，然后用近似方法求解非線性方程，最后根據(jù)解的性質(zhì)，確定其系統(tǒng)的穩(wěn)定性; 第二種方法是： 不必求解方程，而用李雅普諾夫函數(shù)的純量函數(shù)來判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，并分析系統(tǒng)的響應(yīng)。由于第二種方法具有不必求解方程的特點，因而也稱直接法，而稱第一種方法為間接法。由于許多非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的方程是難以求解的，又由于通過計算機可以找到所需的李雅普諾夫函數(shù)，還能找到系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，所以第二種方法在控制理論中得到廣泛應(yīng)用。穩(wěn)定性對于社會經(jīng)濟系統(tǒng)極為重要，是經(jīng)濟學(xué)經(jīng)常討論的重要課題之一。探討經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于了解經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)發(fā)展規(guī)律、預(yù)測經(jīng)濟發(fā)展方向以及分析經(jīng)濟系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)等，都有著重要的現(xiàn)實意義。

度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設(shè)R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函數(shù)，滿足如下條件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0?x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z) ρ(y，z);

則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ)。設(shè)A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間。如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離。當(dāng)ρ(x，y)=0時，記x～y.～是R上的一個等價關(guān)系，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函數(shù)ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導(dǎo)出的商(度量)空間。

度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x₀∈R，存在常數(shù)M，使ρ(x₀，x)≤M對A中的一切x成立。設(shè)x₀∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x₀) 0為中心，r為半徑的開球，或x ₀的r鄰域，記為O(x ₀，r).又設(shè)A?R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)?A，則A稱為開集;而稱開集的補集為閉集。R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。

度量空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年引進的，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一種基本而重要并且非常接近于歐幾里得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎(chǔ)之一。

拓撲穩(wěn)定性同胚

數(shù)學(xué)上指一對一的一種對應(yīng)。在集合論(set theory)中指兩組成員的一種屬性，一組中的任何一個成員能同另一組中的一個成員配對，反之亦然。在拓撲學(xué)(topology)中，兩個空間中的一個能不撕破、不粘連地變形成另一個，這兩個空間就是同胚的。例如，球體的表面和立方體的表面就是同胚的。

設(shè)E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。

為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續(xù)的。

從一緊空間到另一緊空間上的任一連續(xù)雙射是同胚。

拓撲穩(wěn)定性實例——擴張映射

撒布(Shub，M.)在1969年最先研究得到的一類結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的半動力系統(tǒng)。最簡單的擴張映射的例子是復(fù)平面上由z?z ²定義的單位圓周的自映射。一般定義是：設(shè)M是緊致黎曼流形，f∈C ¹(M，M)，如果存在M上的黎曼度量〈·，·〉和實數(shù)τ>1，使得：

則稱f為擴張映射，這里|·|是由〈·，·〉引出的范數(shù)。擴張映射是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，并且具有有理的ζ函數(shù).因此，擴張映射是對微分同胚理論研究的推廣。在緊流形上擴張映射的存在對流形本身需要加以很強的限制，其歐拉示性數(shù)必須是零，其通用復(fù)迭空間必須微分同胚于R，其基本群必須是無扭的等。例如，在二維緊曲面中，只有環(huán)面和克萊因瓶才可以具有擴張映射。

拓撲穩(wěn)定性(topological stability)亦稱半結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性或半穩(wěn)定性。

通常是描述系統(tǒng)在C小擾動下的一個穩(wěn)定性概念。設(shè)(M，d)是緊致度量空間，f：M→M是同胚。若對任意ε>0，存在δ>0，使得對任意同胚g：M→M，當(dāng)d(f，g)≤δ時，存在連續(xù)滿射h：M→M滿足：

1.h°g=f°h，即上圖可交換；

2.d(h，id_M)≤ε；

則稱f是拓撲穩(wěn)定的。

對度量空間上的連續(xù)流而言，其定義如下：設(shè)(M，d)是緊致度量空間，φ是M上的連續(xù)流。若對任意ε>0，存在δ>0，使得對任意連續(xù)流ψ：R×M→M及任t∈(0，1]，當(dāng)d(φ_t，ψ_t)≤δ時，存在連續(xù)滿射h：M→M滿足：

1.對任意x∈M，h把φ過x的軌道映到ψ過h(x)的軌道內(nèi)；

2.d(h，id_M)≤ε；

則稱φ是拓撲穩(wěn)定的。

對于自映射情形，也可給出拓撲穩(wěn)定性的類似定義。微分流形上的安諾索夫系統(tǒng)是拓撲穩(wěn)定的；擴張映射是拓撲穩(wěn)定的。對微分同胚來說，公理A和強橫截條件蘊涵著拓撲穩(wěn)定性。

由于時間反演對稱性的存在，拓撲絕緣體可由取值于?₂的不變量來分類，稱為?₂不變量。

?₂不變量的物理意義為未配對的馬約拉納零模的存在性，即交叉的邊緣態(tài)形成的錐形奇點。

?₂不變量可視為動量空間上的普法夫線叢的斯蒂弗爾-惠特尼類。