穩(wěn)定廣義有限元法的研究與若干典型工程應(yīng)用中文摘要

廣義有限元法（GFEM）和拓展有限元法（XFEM）是最近二十多年新興的數(shù)值模擬技術(shù)。兩者可以用單元分解（PU）的概念統(tǒng)一起來，只是在整體或局部富集上有差別，文中統(tǒng)一用GFEM來代替二者。GFEM對規(guī)則網(wǎng)格上的有限元富集（附加）一些可以表征真解局部特征的基函數(shù)，來克服傳統(tǒng)有限元網(wǎng)格劃分的困難和不能有效模擬非光滑特征的缺點。多數(shù)情況下，富集函數(shù)與有限元PU函數(shù)具有較強的線性相關(guān)性，導(dǎo)致GFEM剛度矩陣的條件數(shù)很高、甚至是奇異的。本項目致力于穩(wěn)定GFEM的研究，主要想法是保持傳統(tǒng)GFEM網(wǎng)格與逼近性優(yōu)勢的同時，將其剛度矩陣條件數(shù)控制到與有限元同階。我們將穩(wěn)定GFEM應(yīng)用到四類典型非光滑性問題，裂紋、界面、奇性和高階問題。我們還研究數(shù)值積分、本質(zhì)邊界條件、blending元等GFEM執(zhí)行過程中的難題。最后，我們將評價穩(wěn)定GFEM與有限元等方法的優(yōu)缺點，識別穩(wěn)定GFEM優(yōu)于有限元的工程問題類別。

本項目研究穩(wěn)定廣義有限元法理論基礎(chǔ)及其在典型工程問題中的應(yīng)用。廣義有限元利用固定規(guī)則網(wǎng)格有限元耦合表征真解局部特征的富集數(shù)解決困難的工程問題，比如斷裂、界面、角奇性問題等。本項目執(zhí)行幾年內(nèi)，對廣義有限元的基礎(chǔ)理論和工程應(yīng)用都做出重要進展。在基礎(chǔ)理論方面，我們研究了穩(wěn)定性和魯棒性，該問題由廣義有限元的富集函數(shù)與有限元函數(shù)的線性相關(guān)性引起，是該領(lǐng)域難點之一。我們采取將富集函數(shù)減掉其插值和局部正交化等穩(wěn)定化技術(shù)，使新方法既保持常規(guī)廣義有限元的最佳收斂階，還使剛度矩陣條件數(shù)與有限元法同階，該項工作是廣義有限元領(lǐng)域的重要進展之一。 我們將穩(wěn)定廣義有限元應(yīng)用于斷裂問題，斷裂問題具有間斷和奇性雙重非光滑特征，通過裂尖奇解的漸進展開提取主奇性函數(shù)作為富集函數(shù)，成功獲得了穩(wěn)定且最佳收斂的廣義有限元，進一步將奇性富集節(jié)點凝聚，極大地減少方法的自由度。這一系列相關(guān)工作，對斷裂問題高精度數(shù)值模擬起到重要促進作用。我們還將穩(wěn)定廣義有限元應(yīng)用于帶奇性界面問題和拋物界面問題，同時處理界面處梯度間斷和角點處的奇性，據(jù)我們了解，同時處理梯度間斷和角奇性的研究很少。在角奇性方面，我們研究了四邊形漸進網(wǎng)格以及角奇性問題的有限體積法，極大擴充了角奇性問題的處理方案。此外，我們發(fā)展了任意界數(shù)值微分的多尺度快速正則化算法，將矩陣非零元個數(shù)壓縮到線性復(fù)雜度。 總體來講，本項目的實施從基礎(chǔ)理論到工程應(yīng)用都達到了預(yù)期目標(biāo)，對本領(lǐng)域的一些難點問題做出重要進展。在本項目支持下，本人正式發(fā)表科研論文5篇，投稿在審1篇，已完成預(yù)投稿1篇，其中第一或通訊作者論文4篇，Thomson Reuters JCR一區(qū)論文4篇，支持項目相關(guān)工程應(yīng)用領(lǐng)域論文2篇，撰寫中的論文初稿4篇。項目執(zhí)行期內(nèi)，本人晉升為教授和博導(dǎo)，招收博士生2名、碩士生4名、博士后1名，陸續(xù)獲得廣東省自然科學(xué)杰青和國家自然基金重大研究計劃項目集成項目（子課題）的資助。

內(nèi)容分為兩部分：第一部分介紹有限元的實用算法和程序設(shè)計方法等;第二部分結(jié)合具體實例講述了有限元法在一維、二維、三維問題中的應(yīng)用，特別討論了有限元網(wǎng)格的生成問題。

本書研究有限元強度折減方法在邊坡穩(wěn)定分析中的應(yīng)用。全書共8章，首先介紹有限元強度折減法的基本理論，包括邊坡安全系數(shù)的定義方式、有限元方法模擬邊坡的實現(xiàn)要點、Drucker-Prager 屈服準(zhǔn)則下安全系數(shù)的轉(zhuǎn)換問題和強度參數(shù)對邊坡穩(wěn)定性的影響程度；其次對現(xiàn)有邊坡失穩(wěn)判據(jù)進行對比分析和評價，提出基于邊坡等效塑性應(yīng)變分布的滑動面搜索方法；最后將有限元強度折減法進行具體應(yīng)用，包括在涉水邊坡穩(wěn)定分析、Hoek-Brown 準(zhǔn)則下巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定分析、三維均質(zhì)邊坡的穩(wěn)定分析及其空間效應(yīng)分析中的應(yīng)用。全書各章自成體系，內(nèi)容不求全面、系統(tǒng)，力求在學(xué)術(shù)上具有引導(dǎo)性和啟迪性；另外，本書的內(nèi)容深入淺出，重點突出，并配有大量插圖，讀者能夠迅速、準(zhǔn)確掌握有限元強度折減法及其在邊坡穩(wěn)定分析中的應(yīng)用。