網(wǎng)格曲面上測(cè)地B樣條曲線(xiàn)設(shè)計(jì)方法與遷移重用研究

曲面上的曲線(xiàn)設(shè)計(jì)在 CAD/CAM、制造幾何學(xué)中扮演著越來(lái)越重要的角色，廣泛應(yīng)用于刀具軌跡生成、機(jī)器人路徑規(guī)劃、曲面求交、曲面分割等領(lǐng)域，以及柔性制品的交互設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是曲面空間形狀設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。為解決流形曲面上的曲線(xiàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，將歐氏空間中的德布爾算法拓展到曲面空間，提出測(cè)地B樣條的概念，在一下幾個(gè)方面進(jìn)行了較為深入的研究： 1）提出一種離散化測(cè)地線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)計(jì)算方法。以網(wǎng)格曲面的拓?fù)溧徑雨P(guān)系為基礎(chǔ)，其計(jì)算量?jī)H與延長(zhǎng)線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的三角面?zhèn)€數(shù)有關(guān)，而與網(wǎng)格模型的整體規(guī)模無(wú)關(guān)，因而算法效率高。以該算法為基礎(chǔ)，拓展出經(jīng)過(guò)給定源點(diǎn)和初始方向的離散化測(cè)地線(xiàn)生成方法。2）針對(duì)曲線(xiàn)遷移重用過(guò)程中存在興趣區(qū)域交互選取的問(wèn)題，提出角度約束路徑算法。該算法的計(jì)算量?jī)H與兩頂點(diǎn)間的局部區(qū)域有關(guān)，時(shí)間復(fù)雜度方面優(yōu)于Dijkstra最短路徑法。3）提出一種在網(wǎng)格曲面上計(jì)算點(diǎn)到曲線(xiàn)最近距離的方法。將經(jīng)典B樣條曲線(xiàn)的節(jié)點(diǎn)插入算法拓展到曲面空間，把測(cè)地B樣條曲線(xiàn)分解為分段Bézier曲線(xiàn)的組合，利用拓展德卡斯特里奧算法的中間結(jié)果計(jì)算曲線(xiàn)的導(dǎo)矢，以此為基礎(chǔ)，將歐氏空間中計(jì)算點(diǎn)在曲線(xiàn)上正交投影點(diǎn)的算法拓展到曲面空間，給出曲面空間中計(jì)算點(diǎn)在曲線(xiàn)上正交投影點(diǎn)計(jì)算方法，點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)正交投影點(diǎn)之間的測(cè)地距離即為點(diǎn)到曲線(xiàn)的最短距離。4）借助于測(cè)地B樣條的概念，提出一種流形網(wǎng)格曲面上曲線(xiàn)等距線(xiàn)的計(jì)算方法。首先采用節(jié)點(diǎn)插入技術(shù)將源曲線(xiàn)分解為分段Bezier曲線(xiàn)，并進(jìn)行線(xiàn)性化逼近，通過(guò)曲線(xiàn)細(xì)分策略使其誤差控制在給定的容差?1之內(nèi)；提出一種給定源點(diǎn)和初始方向的離散化測(cè)地線(xiàn)構(gòu)造算法，以此算法為基礎(chǔ)，按照頂點(diǎn)等距方法，獲得源曲線(xiàn)的初始等距線(xiàn)；以初始等距線(xiàn)作為控制多邊形并適當(dāng)插入一些頂點(diǎn)，構(gòu)造滿(mǎn)足給定容差?2的G1連續(xù)分段Bezier曲線(xiàn)作為源曲線(xiàn)的等距線(xiàn)。等距曲線(xiàn)的整體逼近誤差由?1和?2之和構(gòu)成，因而可以實(shí)現(xiàn)誤差的全局控制。5）提出一種流形網(wǎng)格曲面上曲線(xiàn)幾何變換方法，包括：將歐氏空間中的對(duì)稱(chēng)定義拓展到曲面空間，提出了廣義鏡像的概念并給出了算法實(shí)現(xiàn)；提出一種流形網(wǎng)格曲面上曲線(xiàn)陣列復(fù)制方法，達(dá)到曲線(xiàn)快速、高效設(shè)計(jì)重用的目的；進(jìn)一步將曲線(xiàn)特征拓展到三維自由形狀特征，提出網(wǎng)格曲面上自由形狀特征的設(shè)計(jì)重用方法。6）提出一種利用重用前后曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)的歸一化測(cè)地極坐標(biāo)，在參數(shù)空間內(nèi)進(jìn)行形狀匹配的曲線(xiàn)形狀保持性評(píng)價(jià)方法，具備平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性。

曲面上的曲線(xiàn)設(shè)計(jì)在制造幾何學(xué)、機(jī)器人路徑規(guī)劃和CAD/CAM等領(lǐng)域具有重要地位。項(xiàng)目將歐氏空間中的經(jīng)典德布爾算法拓展到彎曲空間，形成與經(jīng)典B樣條曲線(xiàn)具有統(tǒng)一表示形式的、不依賴(lài)于網(wǎng)格參數(shù)化的曲面上自由曲線(xiàn)表達(dá)形式- - 測(cè)地B樣條曲線(xiàn)。提出三角網(wǎng)格曲面上測(cè)地線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)概念和計(jì)算方法，采用測(cè)地誤差幾何補(bǔ)償策略，進(jìn)行測(cè)地B樣條插值和交互設(shè)計(jì)方法研究，建立測(cè)地B樣條曲線(xiàn)設(shè)計(jì)理論與方法，形成一種新的網(wǎng)格曲面上曲線(xiàn)的交互設(shè)計(jì)框架；提出以三角面片為度量單元的最小充分計(jì)算區(qū)域概念，研究曲面上點(diǎn)集的測(cè)地凸包子域的計(jì)算方法，使曲線(xiàn)生成計(jì)算量不依賴(lài)于父網(wǎng)格模型的規(guī)模，為測(cè)地B樣條曲線(xiàn)的工程化應(yīng)用提供支撐；基于離散微分算子，研究測(cè)地B樣條曲線(xiàn)形狀保持的幾何屬性表征與所需滿(mǎn)足的充要條件，闡明測(cè)地B樣條曲線(xiàn)形狀保持性與對(duì)曲面形狀適應(yīng)性的協(xié)調(diào)機(jī)制，形成曲面上曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)重用方法，為彎曲空間的形狀設(shè)計(jì)與重用奠定基礎(chǔ)。

本項(xiàng)目旨在建立一條從CAGD（計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)）到CG（計(jì)算機(jī)圖形學(xué)）的理論通道, 把本研究團(tuán)隊(duì)與合作單位的CAGD重要成果移植到CG. 近4年以來(lái)，我們以自己的研究成果為起點(diǎn)，瞄準(zhǔn)“以已知曲線(xiàn)為公共特征線(xiàn)的曲面束”這個(gè)國(guó)際前沿?zé)狳c(diǎn)作積極推廣及持久攻關(guān)，在帶有離散測(cè)地線(xiàn)/曲率線(xiàn)的網(wǎng)格曲面束、帶有B樣條曲率線(xiàn)/測(cè)地線(xiàn)的NURBS曲面束、NURBS曲面導(dǎo)矢界，以及網(wǎng)格補(bǔ)洞/求交/變形、網(wǎng)格誤差的區(qū)間分析、漸進(jìn)迭代逼近、細(xì)分、曲線(xiàn)重構(gòu)/參數(shù)化等離散型或連續(xù)型曲面的特征計(jì)算的理論研究與實(shí)際應(yīng)用中取得了一批嶄新成果，推導(dǎo)了一系列定理與算法，為CAD與CG提供了高質(zhì)高效的工具，順利完成了預(yù)定計(jì)劃.本研究共發(fā)表1篇SCI論文，10篇EI論文，1本專(zhuān)著，1本專(zhuān)著的完整1章，2篇國(guó)際國(guó)內(nèi)會(huì)議論文，以及其它10篇國(guó)內(nèi)外期刊論文；其中2篇論文獲得最佳學(xué)生論文獎(jiǎng)，1人獲幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算杰出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)；培養(yǎng)畢業(yè)碩士生8人.本項(xiàng)目的獨(dú)創(chuàng)新穎性在于，它與以往已知網(wǎng)格求離散測(cè)地線(xiàn)或離散差分值的操作走向完全相反，將給用戶(hù)提供更廣泛與更合適的網(wǎng)格選擇；而網(wǎng)格曲面或NURBS曲面的這些特征計(jì)算則前所未有，將揭示相應(yīng)曲面的嶄新的幾何及代數(shù)特征，顯著地強(qiáng)化軟件系統(tǒng)功能. 2100433B

計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)在服務(wù)對(duì)象、數(shù)據(jù)量度、表現(xiàn)手段、理論支撐上不同于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(CG), 然而其數(shù)學(xué)沉淀更為深厚, 可給CG以更多影響與支持. 本申請(qǐng)旨在建立一條從CAGD到CG的理論通道, 把本研究團(tuán)隊(duì)近年CAGD重要成果移植到CG, 以網(wǎng)格的曲面束、測(cè)地距離場(chǎng)、調(diào)和算子、曲率線(xiàn)和梯度界等為突破口，進(jìn)行網(wǎng)格的3項(xiàng)逆向設(shè)計(jì)與3項(xiàng)特征計(jì)算研究. 具體來(lái)說(shuō)就是: 具有公共離散測(cè)地線(xiàn)的網(wǎng)格曲面束設(shè)計(jì), 以空間閉多邊形為邊界的調(diào)和網(wǎng)格曲面設(shè)計(jì),保離散測(cè)地線(xiàn)與(或)保離散曲率線(xiàn)的網(wǎng)格曲面簡(jiǎn)化, 網(wǎng)格曲面的離散曲率線(xiàn)計(jì)算, 離散測(cè)地環(huán)高精度計(jì)算, 以及1,2階梯度界估計(jì). 本項(xiàng)目的獨(dú)創(chuàng)新穎性在于,它與以往已知網(wǎng)格求離散測(cè)地線(xiàn)或離散差分值的操作走向完全相反, 將給用戶(hù)提供更廣泛與更合適的網(wǎng)格選擇; 而網(wǎng)格曲面的這些特征計(jì)算則前所未有, 將揭示網(wǎng)格嶄新的幾何及代數(shù)特征,顯著地強(qiáng)化軟件系統(tǒng)功能.

以復(fù)雜三角網(wǎng)格曲面五軸高效加工軌跡規(guī)劃為研究目標(biāo)，提出基于離散曲面上曲線(xiàn)黎曼測(cè)地推進(jìn)的高效曲面加工理論和方法，引入加工過(guò)程約束，獲取三角網(wǎng)格曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何信息，規(guī)劃出高效加工軌跡，為測(cè)量-數(shù)控加工一體化、薄壁曲面零件的閉環(huán)自適應(yīng)加工、有限元優(yōu)化設(shè)計(jì)與數(shù)控加工的直接集成等領(lǐng)域提供理論和技術(shù)基礎(chǔ)。.研究?jī)?nèi)容：1）定義反映刀具有效切削寬度的黎曼度量，研究三角網(wǎng)格曲面上黎曼度量意義下曲線(xiàn)的測(cè)地推進(jìn)算法，獲得曲面上與數(shù)控加工相關(guān)的內(nèi)蘊(yùn)幾何信息，突破傳統(tǒng)方法中把三角網(wǎng)格曲面問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題處理的局限性；2）研究刀具軌跡對(duì)加工過(guò)程動(dòng)態(tài)特性和物理因素的影響機(jī)理和仿真模型，把相關(guān)約束引入黎曼測(cè)地推進(jìn)過(guò)程中，使刀具軌跡同時(shí)滿(mǎn)足幾何約束和加工過(guò)程約束；3）在測(cè)地推進(jìn)基礎(chǔ)上，將平面域高效軌跡規(guī)劃方法推廣到曲面，以提高平均進(jìn)給率、穩(wěn)定切削力和減少刀具磨損為目標(biāo)，研究面向五軸高效加工的軌跡規(guī)劃方法。