網(wǎng)格曲面上測地B樣條曲線設(shè)計方法與遷移重用研究項目摘要

曲面上的曲線設(shè)計在制造幾何學(xué)、機器人路徑規(guī)劃和CAD/CAM等領(lǐng)域具有重要地位。項目將歐氏空間中的經(jīng)典德布爾算法拓展到彎曲空間，形成與經(jīng)典B樣條曲線具有統(tǒng)一表示形式的、不依賴于網(wǎng)格參數(shù)化的曲面上自由曲線表達(dá)形式- - 測地B樣條曲線。提出三角網(wǎng)格曲面上測地線的延長線概念和計算方法，采用測地誤差幾何補償策略，進行測地B樣條插值和交互設(shè)計方法研究，建立測地B樣條曲線設(shè)計理論與方法，形成一種新的網(wǎng)格曲面上曲線的交互設(shè)計框架；提出以三角面片為度量單元的最小充分計算區(qū)域概念，研究曲面上點集的測地凸包子域的計算方法，使曲線生成計算量不依賴于父網(wǎng)格模型的規(guī)模，為測地B樣條曲線的工程化應(yīng)用提供支撐；基于離散微分算子，研究測地B樣條曲線形狀保持的幾何屬性表征與所需滿足的充要條件，闡明測地B樣條曲線形狀保持性與對曲面形狀適應(yīng)性的協(xié)調(diào)機制，形成曲面上曲線的設(shè)計重用方法，為彎曲空間的形狀設(shè)計與重用奠定基礎(chǔ)。

曲面上的曲線設(shè)計在 CAD/CAM、制造幾何學(xué)中扮演著越來越重要的角色，廣泛應(yīng)用于刀具軌跡生成、機器人路徑規(guī)劃、曲面求交、曲面分割等領(lǐng)域，以及柔性制品的交互設(shè)計系統(tǒng)，是曲面空間形狀設(shè)計的基礎(chǔ)。為解決流形曲面上的曲線設(shè)計問題，將歐氏空間中的德布爾算法拓展到曲面空間，提出測地B樣條的概念，在一下幾個方面進行了較為深入的研究： 1）提出一種離散化測地線延長線計算方法。以網(wǎng)格曲面的拓?fù)溧徑雨P(guān)系為基礎(chǔ)，其計算量僅與延長線所經(jīng)過的三角面?zhèn)€數(shù)有關(guān)，而與網(wǎng)格模型的整體規(guī)模無關(guān)，因而算法效率高。以該算法為基礎(chǔ)，拓展出經(jīng)過給定源點和初始方向的離散化測地線生成方法。2）針對曲線遷移重用過程中存在興趣區(qū)域交互選取的問題，提出角度約束路徑算法。該算法的計算量僅與兩頂點間的局部區(qū)域有關(guān)，時間復(fù)雜度方面優(yōu)于Dijkstra最短路徑法。3）提出一種在網(wǎng)格曲面上計算點到曲線最近距離的方法。將經(jīng)典B樣條曲線的節(jié)點插入算法拓展到曲面空間，把測地B樣條曲線分解為分段Bézier曲線的組合，利用拓展德卡斯特里奧算法的中間結(jié)果計算曲線的導(dǎo)矢，以此為基礎(chǔ)，將歐氏空間中計算點在曲線上正交投影點的算法拓展到曲面空間，給出曲面空間中計算點在曲線上正交投影點計算方法，點與其對應(yīng)正交投影點之間的測地距離即為點到曲線的最短距離。4）借助于測地B樣條的概念，提出一種流形網(wǎng)格曲面上曲線等距線的計算方法。首先采用節(jié)點插入技術(shù)將源曲線分解為分段Bezier曲線，并進行線性化逼近，通過曲線細(xì)分策略使其誤差控制在給定的容差?1之內(nèi)；提出一種給定源點和初始方向的離散化測地線構(gòu)造算法，以此算法為基礎(chǔ)，按照頂點等距方法，獲得源曲線的初始等距線；以初始等距線作為控制多邊形并適當(dāng)插入一些頂點，構(gòu)造滿足給定容差?2的G1連續(xù)分段Bezier曲線作為源曲線的等距線。等距曲線的整體逼近誤差由?1和?2之和構(gòu)成，因而可以實現(xiàn)誤差的全局控制。5）提出一種流形網(wǎng)格曲面上曲線幾何變換方法，包括：將歐氏空間中的對稱定義拓展到曲面空間，提出了廣義鏡像的概念并給出了算法實現(xiàn)；提出一種流形網(wǎng)格曲面上曲線陣列復(fù)制方法，達(dá)到曲線快速、高效設(shè)計重用的目的；進一步將曲線特征拓展到三維自由形狀特征，提出網(wǎng)格曲面上自由形狀特征的設(shè)計重用方法。6）提出一種利用重用前后曲線控制頂點的歸一化測地極坐標(biāo)，在參數(shù)空間內(nèi)進行形狀匹配的曲線形狀保持性評價方法，具備平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性。

本項目旨在建立一條從CAGD（計算機輔助幾何設(shè)計）到CG（計算機圖形學(xué)）的理論通道, 把本研究團隊與合作單位的CAGD重要成果移植到CG. 近4年以來，我們以自己的研究成果為起點，瞄準(zhǔn)“以已知曲線為公共特征線的曲面束”這個國際前沿?zé)狳c作積極推廣及持久攻關(guān)，在帶有離散測地線/曲率線的網(wǎng)格曲面束、帶有B樣條曲率線/測地線的NURBS曲面束、NURBS曲面導(dǎo)矢界，以及網(wǎng)格補洞/求交/變形、網(wǎng)格誤差的區(qū)間分析、漸進迭代逼近、細(xì)分、曲線重構(gòu)/參數(shù)化等離散型或連續(xù)型曲面的特征計算的理論研究與實際應(yīng)用中取得了一批嶄新成果，推導(dǎo)了一系列定理與算法，為CAD與CG提供了高質(zhì)高效的工具，順利完成了預(yù)定計劃.本研究共發(fā)表1篇SCI論文，10篇EI論文，1本專著，1本專著的完整1章，2篇國際國內(nèi)會議論文，以及其它10篇國內(nèi)外期刊論文；其中2篇論文獲得最佳學(xué)生論文獎，1人獲幾何設(shè)計與計算杰出貢獻獎；培養(yǎng)畢業(yè)碩士生8人.本項目的獨創(chuàng)新穎性在于，它與以往已知網(wǎng)格求離散測地線或離散差分值的操作走向完全相反，將給用戶提供更廣泛與更合適的網(wǎng)格選擇；而網(wǎng)格曲面或NURBS曲面的這些特征計算則前所未有，將揭示相應(yīng)曲面的嶄新的幾何及代數(shù)特征，顯著地強化軟件系統(tǒng)功能. 2100433B

計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)在服務(wù)對象、數(shù)據(jù)量度、表現(xiàn)手段、理論支撐上不同于計算機圖形學(xué)(CG), 然而其數(shù)學(xué)沉淀更為深厚, 可給CG以更多影響與支持. 本申請旨在建立一條從CAGD到CG的理論通道, 把本研究團隊近年CAGD重要成果移植到CG, 以網(wǎng)格的曲面束、測地距離場、調(diào)和算子、曲率線和梯度界等為突破口，進行網(wǎng)格的3項逆向設(shè)計與3項特征計算研究. 具體來說就是: 具有公共離散測地線的網(wǎng)格曲面束設(shè)計, 以空間閉多邊形為邊界的調(diào)和網(wǎng)格曲面設(shè)計,保離散測地線與(或)保離散曲率線的網(wǎng)格曲面簡化, 網(wǎng)格曲面的離散曲率線計算, 離散測地環(huán)高精度計算, 以及1,2階梯度界估計. 本項目的獨創(chuàng)新穎性在于,它與以往已知網(wǎng)格求離散測地線或離散差分值的操作走向完全相反, 將給用戶提供更廣泛與更合適的網(wǎng)格選擇; 而網(wǎng)格曲面的這些特征計算則前所未有, 將揭示網(wǎng)格嶄新的幾何及代數(shù)特征,顯著地強化軟件系統(tǒng)功能.

以復(fù)雜三角網(wǎng)格曲面五軸高效加工軌跡規(guī)劃為研究目標(biāo)，提出基于離散曲面上曲線黎曼測地推進的高效曲面加工理論和方法，引入加工過程約束，獲取三角網(wǎng)格曲面的內(nèi)蘊幾何信息，規(guī)劃出高效加工軌跡，為測量-數(shù)控加工一體化、薄壁曲面零件的閉環(huán)自適應(yīng)加工、有限元優(yōu)化設(shè)計與數(shù)控加工的直接集成等領(lǐng)域提供理論和技術(shù)基礎(chǔ)。.研究內(nèi)容：1）定義反映刀具有效切削寬度的黎曼度量，研究三角網(wǎng)格曲面上黎曼度量意義下曲線的測地推進算法，獲得曲面上與數(shù)控加工相關(guān)的內(nèi)蘊幾何信息，突破傳統(tǒng)方法中把三角網(wǎng)格曲面問題簡化為平面問題處理的局限性；2）研究刀具軌跡對加工過程動態(tài)特性和物理因素的影響機理和仿真模型，把相關(guān)約束引入黎曼測地推進過程中，使刀具軌跡同時滿足幾何約束和加工過程約束；3）在測地推進基礎(chǔ)上，將平面域高效軌跡規(guī)劃方法推廣到曲面，以提高平均進給率、穩(wěn)定切削力和減少刀具磨損為目標(biāo)，研究面向五軸高效加工的軌跡規(guī)劃方法。