液體動力學方程

理想液體和穩(wěn)定流動

，因此在研究流動液體時必須考慮黏性的影響。為了分析問題簡便，通常先假設(shè)液體沒有黏性，推導出一些理想的簡單結(jié)論，而黏性的影響則通過實驗對理想的結(jié)論加以修正。對于液體的可壓縮性問題，也可用同樣方法處理。

（1）理想液體

在研究流動液體時，將假設(shè)的既無黏性又無壓縮性的液體稱為理想液體，而事實上存在的有黏性和可壓縮性的液體稱為實際液體。

（2）穩(wěn)定流動

液體流動時，若液體中任一點的壓力、速度和密度都不隨時間而變化，則這種的流動稱為穩(wěn)定流動。若在壓力、速度和密度中有一個量隨時間變化，就稱為不穩(wěn)定流動。圖a為穩(wěn)定流動，圖b為不穩(wěn)定流動。穩(wěn)定流動與時間無關(guān)，研究比較方便，而不穩(wěn)定流動研究起來比較復雜。因此在研究液壓系統(tǒng)的靜態(tài)性能時，往往將一些不穩(wěn)定流動問題適當簡化，作為穩(wěn)定流動來處理。

流量和平均流速

流量和平均流速是描述液體流動的兩個主要參數(shù)。液體在管道中流動時，通常將垂直于液體流動方向的截面積稱為通流截面。

單位時間內(nèi)通過某過流斷面的液體的體積稱為流量。一般用符號q表示。常用法定計量單位有m3/s或L/min等，單位的換算關(guān)系為：1m3/s=6×104L/min=1×106ml/s

在實際中，由于液體在管道中流動時的速度分布規(guī)律為拋物面，計算較為困難。為了便于計算，現(xiàn)假設(shè)過流斷面上流速是均勻分布的，且以均布流速va流動，流過斷面A的流量等于液體實際流過該斷面的流量。流速va稱為流斷面上的平均流速，以后所指的流速，除特別指出外，均按平均流速來處理。于是有q=vaA，故平均流速va為 va=q/A

在液壓缸中，液體的流速與活塞的運動速度相同，由此可見，當液壓缸的有效面積一定時，活塞運動速度的大小，由輸入液壓缸的流量來決定。

液體的流動狀態(tài)

英國物理學家雷諾通過大量的實驗，發(fā)現(xiàn)了液體在管路中流動時有層流和紊流（也稱湍流）兩種流動狀態(tài)，在層流時，液體質(zhì)點沿管路做直線運動，互不干擾，沒有橫向運動，即液體作分層流動，各層間的液體互不混雜。在紊流時，液體質(zhì)點除了沿管路運動外，還有橫向運動，呈紊亂混雜狀態(tài)。實驗證明，圓管中液體的流動狀態(tài)與液體的流速v、管路的內(nèi)徑d以及油液的運動黏度ν有關(guān)。因此能判定液體流動狀態(tài)的則是這三個參數(shù)所組成的一個無量綱的雷諾數(shù)Re，即Re=vd/ν

雷諾數(shù)的物理意義；雷諾數(shù)是液流的慣性力與內(nèi)摩擦力的比值。雷諾數(shù)較小時，液體的內(nèi)摩擦力起主導作用，液體質(zhì)點運動受黏性約束而不會隨意運動，液流狀態(tài)為層流；雷諾數(shù)較大時，慣性力起主導作用，液體黏性不能約束質(zhì)點運動，液流狀態(tài)為紊流。

實驗指出：液流從層流變?yōu)槲闪鲿r的雷諾數(shù)大于由紊流變?yōu)閷恿鲿r的雷諾數(shù)，工程中一般都以后者為判斷液流狀態(tài)的依據(jù)，稱其為臨界雷諾數(shù)，記做Rec。當Re<Rec時液流為層流；反之，則多為紊流。

臨界雷諾數(shù)由實驗求得。對于光滑金屬圓管中液流的Rec為2000~2320，對于橡膠軟管液流Rec的為1600~2000，其他通道的Rec可查有關(guān)資料。

對于非圓形截面的通道，液流的雷諾數(shù)可按下式計算：Re=4vR/ν

式中：R為通流截面的水力半徑。

水力半徑是等于液流的有效截面積和它的濕周(過流斷面上與液體接觸的固體壁面的周長)x之比，

即R=A/x

水力半徑的大小對通流能力影響很大。水力半徑大意味著液流和管壁的接觸周長相對較短，管壁對液流的阻力較小，通流能力較大，即使通流截面面積較小也不易堵塞。

液體動力學方程連續(xù)性方程

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學中的一種表達形式。

液體的可壓縮性很小，在一般情況下認為是不可壓縮的，即密度ρ為常數(shù)。由質(zhì)量守恒定律可知，理想液體在通道中作穩(wěn)定流動時，液體的質(zhì)量既不會增多，也不會減少，因此在單位時間內(nèi)流過通道任一通流截面的液體質(zhì)量一定是相等的。如左所示，管路的兩個通流面積分別為A1、A2，液體流速分別為v1、v2，液體的密度ρ為，則有

ρv1 A1=ρv2 A2=常量

v1 A1=v2 A2=q=常量 （1-1）

式（1-1）稱為液流的連續(xù)性方程，它說明不可壓縮液體在通道中穩(wěn)定流動時，流過各截面的流量相等，而流速和通流截面面積成反比。因此，流量一定時，管路細的地方流速大，管路粗的地方流速小。

在具有分支的管路中，有Q1=Q2 Q3的關(guān)系。

液體動力學方程伯努利方程

伯努利方程是能量守恒定律在流動液體中的表現(xiàn)形式。為了討論問題方便，我們先討論理想液體的流動情況，然后再擴展到實際液體的流動情況。

1、理想液體的伯努利方程

理想液體在管內(nèi)穩(wěn)定流動時沒有能量損失。在流動過程中，由于它具有一定的速度，所以除了具有位置勢能和壓力能外，還具有動能。如圖2-13所示，取該管上的任意兩截面1-1和2-2，假定截面積分別為A1、A2，兩截面上液體的壓力分別為p1、p2速度分別為v1和v2，由兩截面至水平參考面的距離分別為h1、h2。根據(jù)能量守恒定律，重力作用下的理想液體在通道內(nèi)穩(wěn)定流動時的伯努利方程為

p1 1/2ρv1^2 ρgh1=p2 1/2ρv2^2 ρgh2

或 p ρgh (1/2)*ρv^2=常量 （1-2）

式中p為單位體積液體的壓力能； 為單位體積液體相對干水平參考面的位能；ρv2/2為單位體積液體的動能。

式（1-2）即為理想液體的伯努利方程，它表明了流動液體各質(zhì)點的位置、壓力和速度之間的關(guān)系。其物理意義為：在管內(nèi)做穩(wěn)定流動的理想液體具有動能、位置勢能和壓力能三種能量，在任一截面上的這三種能量都可以互相轉(zhuǎn)換，但其和都保持不變。由此可見，靜壓力基本方程是伯努利方程（流速為零）的特例。

2、實際液體的伯努利方程

式（1-2）是理想液體的伯努利方程，但實際液體具有黏性，在過流斷面上各點的速度是不同的，所以方程中ρv×v/2這一項要進行修正，其修正系數(shù)為a，稱為動能修正系數(shù)。一般液體處于層流流動時取a=2，液體處于紊流流動時，取a=1。另外，由于液體有黏性，會產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，因而造成能量損失。若單位質(zhì)量的實際液體從一個截面流到另一截面的能量損失用Δpw表示，則實際液體的伯努利方程為

p1 1/2ρα1v1^2 ρgh1=p2 1/2ρα2v2^2 ρgh2 Δpw

液體動力學方程動量方程

動量方程是動量定理在流體力學中的應用。由動量定理可知：作用在物體上的外力等于物體在受力方向上的動量變化率，即ΣF=mv2/Δt-mv1/Δt

對于在管道內(nèi)作穩(wěn)定流動的液體，若忽略其可壓縮性，可將m=ρqΔt代入上式?？紤]到以平均流速代替實際流速會產(chǎn)生誤差，因而引入動量修正系數(shù)β，則上式變成

ΣF=ρqv2-ρqv1=ρqβ2va2-ρqβ1va1

上式為流動液體的動量方程（矢量方程）。當液流為紊流時取β=1，為層流時取β=1.33。2100433B

實際中液壓油總是在流動的，因此除了研究靜止液體的性質(zhì)外，還必須研究液體運動時的現(xiàn)象和規(guī)律，液體流動時的三個基本方程，即連續(xù)性方程、伯努利方程、動量方程。

如圖1所示，以液體中的彈簧振子為例，介紹阻尼振動的動力學方程。

假設(shè)：振動速度較小時，摩擦力正比于質(zhì)點的速率。即：

對物塊應用牛頓第二定律：

為二階線性常系數(shù)齊次方程，即阻尼振動的動力學方程。

液體的蒸氣壓隨溫度的升高而增大，當液體的蒸氣壓等于外界大氣壓時，液體內(nèi)部產(chǎn)生大量氣泡并不斷逸出，在液體內(nèi)部和表面同時發(fā)生劇烈汽化的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象稱為沸騰，此時的溫度稱為該液體的沸點。以水為例，一個大氣壓下，若水溫達到100℃，此時水的蒸氣壓正好是1個大氣壓，水開始沸騰，100℃即是1個大氣壓下水的沸點。

液體的沸點和外部壓強有關(guān)。當液體所受的壓強增大時，它的沸點升高；壓強減小時，沸點降低。例如，蒸氣鍋爐里的蒸氣壓強約有幾十個大氣壓，鍋爐里的水的沸點可在200℃以上。又如，在珠穆朗瑪峰上大氣壓為32kPa，水加熱到71℃就沸騰了，但飯不易煮熟。這是由于大氣壓隨地勢的升高而降低，水的沸點也隨高度的升高而逐漸下降。因此,提及液體的沸點時，必須同時指明外界壓力條件。習慣上把壓力為101.325kPa時的液體沸點作為正常沸點。

化工生產(chǎn)中經(jīng)常利用沸點和外界壓力的關(guān)系來處理生產(chǎn)中遇到的問題，常采用減壓蒸餾的方法來分離和提純高沸點化合物或在常壓下易分解的化合物。例如生活用的高壓鍋，就是利用升高液面的壓力使液體沸點升高，從而升高鍋內(nèi)的溫度,使食物更易煮熟。

在一定溫度下，溶液中分子運動的速度及其具有的能量都不相同，液面上那些能量較大的分子可以克服液體分子間的引力而逸出液體表面，成為蒸氣分子。這一過程稱為蒸發(fā)。另一方面，其中的一些氣體分子撞擊液體表面被吸引重新返回液體。這個與液體蒸發(fā)現(xiàn)象相反的過程稱為凝聚。

起初，液體上方?jīng)]有氣體分子，凝聚的速度為零;隨著氣體分子越來越多，凝聚的速度也越來越快，當凝聚速度和液體蒸發(fā)速度相等時，即單位時間內(nèi)，溢出液體表面的分子數(shù)等于返回液體變成液體的分子數(shù)，就達到了蒸發(fā)與凝聚的動態(tài)平衡:

此時，在液面上方的氣體分子數(shù)不再改變，蒸氣的壓力就恒定了。在恒定的溫度下，與液體平衡的蒸氣稱為飽和蒸氣；飽和蒸氣的壓力就是該溫度下的飽和蒸氣壓，簡稱蒸氣壓。

在一定溫度下,每種液體都有恒定的蒸氣壓，它是液體的一種特征，常用來表示液體在一定溫度下的揮發(fā)性。蒸氣壓大的物質(zhì)為易揮發(fā)物質(zhì)，反之為難揮發(fā)物質(zhì)。同物質(zhì)在不同溫度下有不同的蒸氣壓，并隨著溫度的升高而增大。