樣條無網(wǎng)格法

定義

樣條曲線是經(jīng)過一系列給定點的光滑曲線。最初，樣條曲線都是借助于物理樣條得到的，放樣員把富有彈性的細(xì)木條（或有機(jī)玻璃條），用壓鐵固定在曲線應(yīng)該通過的給定型值點處，樣條做自然彎曲所繪制出來的曲線就是樣條曲線。樣條曲線不僅通過各有序型值點，并且在各型值點處的一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，也即該曲線具有連續(xù)的、曲率變化均勻的特點。

樣條曲線——非均勻有理 B 樣條曲線

非均勻有理 B 樣條曲線（NURBS），是一種用途廣泛的樣條曲線，它不僅能夠用于描述自由曲線和曲面，而且還提供了包括能精確表達(dá)圓錐曲線曲面在內(nèi)各種幾何體的統(tǒng)一表達(dá)式。自1983年，SDRC公司成功地將NURBS模型應(yīng)用在它的實體造型軟件中，NURBS已經(jīng)成為計算機(jī)輔助設(shè)計及計算機(jī)輔助制造的幾何造型基礎(chǔ)，得到了廣泛應(yīng)用 。

AutoCAD 使用的就是這種NURBS數(shù)學(xué)模型來創(chuàng)建樣條曲線，這也是在MDT中進(jìn)行曲面造型和實體造型的基礎(chǔ)。

在詳細(xì)闡明AutoCAD用于構(gòu)造和修改NURBS曲線（以下簡稱“樣條曲線”）的各項功能之前，從數(shù)學(xué)和幾何角度了解關(guān)于NURBS曲線的幾個術(shù)語，是非常有必要的。這里僅解釋與理解AutoCAD中的NURBS曲線有關(guān)的名詞，其它相關(guān)詳細(xì)數(shù)學(xué)知識，請參見有關(guān)資料。

NURBS曲線的相關(guān)術(shù)語

型值點或擬合點：所求的樣條曲線應(yīng)通過的已知給定點。

特征多邊形或控制多邊形：樣條曲線是由一些折線組成的多邊形構(gòu)造出來的。簡單地說，以數(shù)值計算的方法，用光滑的參數(shù)曲線段逼近該折線多邊形，就構(gòu)造出一條樣條曲線。改變該多邊形的頂點和個數(shù)，會影響曲線的形狀。這里所說的折線多邊形，就是樣條曲線的特征多邊形或控制多邊形 。

樣條曲線曲線段

樣條曲線是由一組逼近控制多邊形的光滑參數(shù)曲線段構(gòu)成，這些曲線段就是樣條曲線段。

特征多邊形/控制多邊形的頂點/控制點

構(gòu)成特征多邊形的各段折線的端點，就是特征多邊形的頂點，也叫做控制多邊形的控制點。只有在特殊情況下，樣條曲線才能通過控制點。

樣條曲線曲線次數(shù)

樣條曲線的次數(shù)，是由樣條曲線數(shù)學(xué)定義中所取的基函數(shù)所決定的。直觀的說，所構(gòu)成樣條曲線的一段光滑參數(shù)曲線段，由控制多邊形的相鄰連續(xù)的幾段折線段決定，就是幾次樣條，最常用的就是二次和三次樣條。二次樣條的某一曲線段只與相應(yīng)的兩段折線段，三個控制多邊形頂點有關(guān)，改變其中一個頂點，將影響三段樣條曲線段。同樣的，對三次樣條，某一曲線段由相應(yīng)的三段折線段，四個控制點決定 。

樣條曲線曲線階數(shù)

階數(shù)與次數(shù)有關(guān)，樣條曲線的階是其次數(shù)加一。階數(shù)越高，控制點越多。二次樣條的階數(shù)是三，樣條曲線段由三個控制點決定；三次樣條的階數(shù)是四，樣條曲線段與四個控制點決定。

樣條曲線曲線權(quán)值

權(quán)值可控制樣條曲線段在控制多邊形范圍內(nèi)做局部調(diào)整，反映了曲線靠近控制多邊形的程度，權(quán)值越大，曲線段越靠近控制多邊形。反之，則遠(yuǎn)離。當(dāng)權(quán)值為1時，NURBS曲線退化為非有理B樣條曲線，可見非有理B樣條曲線是NURBS的一個子集。

樣條曲線曲線允差

允差是指樣條曲線通過型值點的精確程度，允差越小，樣條曲線與型值點越接近，允差為零，樣條曲線將通過型值點 。

本項目研究綜合性樣條的理論與應(yīng)用。綜合性樣條是近年來才出現(xiàn)的樣條的新品種，其特點是兼有多樣性與簡便性。多樣性指一條樣條曲線上有多種類型的曲線段存在；簡便性指樣條曲線的求導(dǎo)要簡單，計算要穩(wěn)定、方便。NURBS具有多樣性，但不具備簡便性；B樣條雖有簡便性，但缺少多樣性。相比之下，綜合性樣條的優(yōu)點是突出的。本項目的研究難點，在于綜合性樣條定義空間的構(gòu)造,無現(xiàn)成研究樣條的方法可循。為此，本項目首先要創(chuàng)造新方法，構(gòu)造該空間。該空間要具有聯(lián)合性與可變性。聯(lián)合性要求該空間能融合多個空間于一個整體；可變性能使綜合性樣條曲線曲面可以從其中的一個空間變到另外一個空間。其次要在該空間中構(gòu)造具有權(quán)性，局部支撐性的B基。該基應(yīng)具有可變性。通過可變性統(tǒng)一多樣性和簡便性，最后，要研究綜合性樣條曲線曲面的性質(zhì)，發(fā)揚多樣性、利用簡便性，建立富有特色的理論體系，要設(shè)計高效算法，使其在CAD和逆向工程應(yīng)用中發(fā)揮巨大的作用。