有限沖激響應數(shù)字濾波器

有限沖激響應數(shù)字濾波器

有限沖激響應數(shù)字濾波器(finite impulse re?sponse digital filter) 數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)只含有有限個非零樣值的一類濾波器，簡記為FIR。它的一般實現(xiàn)為非遞歸型結(jié)構(gòu)，故也稱為非遞歸型數(shù)字濾波器。

有限沖擊響應數(shù)字濾波器具有絕對穩(wěn)定的特性，易于直接根據(jù)脈沖響應技術(shù)條件進行設(shè)計;可以在逼近任意幅度特性的同時，實現(xiàn)對稱的脈沖響應;可以實現(xiàn)嚴格的線性相位特性。由于它具有以上諸優(yōu)點，所以在數(shù)據(jù)通信和數(shù)字通信系統(tǒng)中，有著廣泛的應用。

有限沖激響應數(shù)字濾波器的設(shè)計，主要是使轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)在單位圓上的值H(e)逼近給定的幅度特性。常用的設(shè)計方法有:窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋機助優(yōu)化設(shè)計法等。有限沖激響應數(shù)字濾波器可用乘法累加器或通用數(shù)字信號處理器(DSP)實時實現(xiàn)。

無限沖激響應數(shù)字濾波器

對單位沖激的輸入信號的響應為無限長序列的數(shù)字濾波器。按所處理信號的類型，可分為一維、二維或多維無限沖激響應數(shù)字濾波器。

一維無限沖激響應數(shù)字濾波器 它處理單變量信號序列。其輸出序列y(n)與輸入序列x(n)的關(guān)系由常系數(shù)差分方程描述:

(1)

相應的z域轉(zhuǎn)移函數(shù)為

(2)

無限沖激響應數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點應位于z平面的單位圓內(nèi)，以保證濾波器的穩(wěn)定性。這類數(shù)字濾波器實現(xiàn)為遞歸型結(jié)構(gòu)，故又稱一維遞歸型數(shù)字濾波器。圖1為遞歸型數(shù)字濾波器采取一種直接型結(jié)構(gòu)的信號流圖。為便于調(diào)整并降低系數(shù)靈敏度，高階濾波器通常實現(xiàn)為以一階和二階直接型為基礎(chǔ)的級聯(lián)型或并聯(lián)型。 無限沖激響應數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要有兩類。一類是根據(jù)模擬濾波器設(shè)計理論，由模擬濾波器特性或結(jié)構(gòu)導出數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)或結(jié)構(gòu)，較典型的有沖激響應不變法和雙線性變換法。另一類是直接在z域中應用計算機輔助設(shè)計法。

沖激響應不變法 使所設(shè)計數(shù)字濾波器的單位沖激響應，等于具有給定頻響特性的模擬濾波器的沖激響應的抽樣值。這一方法的特點是數(shù)字信號頻率和模擬信號頻率之間的變換呈線性關(guān)系。但這種方法限于設(shè)計具有限帶特性的數(shù)字濾波器。

雙線性變換法 利用變量z與復頻率變量s的雙線性變換關(guān)系,將s平面的左半平面及其實頻率軸映射到z平面上的單位圓內(nèi)及其圓周上。這一方法的特點是s平面上的值與z平面上的值呈單值的對應關(guān)系，因此這種方法適于設(shè)計具有各種頻響特性的數(shù)字濾波器，不致發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。但是，z平面的頻率和s平面頻率之間具有非線性關(guān)系，致使數(shù)字濾波器的頻響特性與所要求的頻響特性發(fā)生頻率畸變,即卷繞現(xiàn)象。但是,一般要求濾波器通帶特性為平坦的頻響特性，因此，雙線性變換法是一種有效的、應用較為普遍的設(shè)計方法。

上述設(shè)計方法是以設(shè)計原型歸一化低通濾波器為基礎(chǔ)，經(jīng)頻率變換導出所要求性能的數(shù)字濾波器。頻率變換可以在s域進行，也可以在z域進行。

在z域直接用計算機輔助設(shè)計方法 應用優(yōu)化方法來調(diào)整數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)或零極點位置，使得所設(shè)計的數(shù)字濾波器頻響特性與所要求特性的誤差為最小。在設(shè)計過程中需要采取措施，使得每次疊帶所得到的轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點位于單位圓內(nèi)，以保證濾波器的穩(wěn)定性。

由于運算的有限字長效應，遞歸型結(jié)構(gòu)有可能出現(xiàn)極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。這是由于運算字長的舍入而引入的非線性作用，使數(shù)字濾波器在零輸入時有振蕩輸出。因此，人們正研究設(shè)計低靈敏度的、穩(wěn)定的無限沖激響應數(shù)字濾波器，并已取得一定成果。

二維無限沖激響應數(shù)字濾波器 通稱二維遞歸型數(shù)字濾波器，用以處理二維數(shù)字信號序列。二維遞歸型數(shù)字濾波器有因果的四分之一平面型和半平面型兩種。圖2為因果的四分之一平面型低通濾波器幅譜特性。圖3為半平面型扇形特性的數(shù)字濾波器幅譜特性。 二維遞歸型數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有頻域法和空間域法兩種。頻域法設(shè)計主要是尋求一個滿足頻域給定指標要求的穩(wěn)定的無限沖激響應數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)。這種設(shè)計有兩類方法:一是譜變換法;另一是計算機輔助優(yōu)化方法?？臻g域法設(shè)計主要是尋求一個轉(zhuǎn)移函數(shù)，使其沖激響應在有限區(qū)域內(nèi)逼近給定的二維沖激響應。二維遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計的主要問題是穩(wěn)定性問題。二維數(shù)字濾波器的設(shè)計理論和方法尚不完善，特別是穩(wěn)定的、高階二維遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計還有待進一步研究。

IIR濾波器的特征是其輸出y(n)由當前的和過去的輸入信號x(n)及過去的輸出信號共同決定。

無限沖激響應數(shù)字濾波器只能實現(xiàn)為遞歸型結(jié)構(gòu)，故也稱為遞歸型數(shù)字濾波器。同一轉(zhuǎn)移函數(shù)的無限沖激響應數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)為不同的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，如直接型、并聯(lián)型、級聯(lián)型等。高階數(shù)字濾波器通常實現(xiàn)為以一階和二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的級聯(lián)型或并聯(lián)型結(jié)構(gòu)，以降低系數(shù)靈敏度。

無限沖激響應數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要有兩種:一種是采用映射方法將具有相應特性的模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器;另一種是用計算機輔助優(yōu)化設(shè)計實現(xiàn)具有特定幅度、相位特性要求的數(shù)字濾波器。無限沖激響應數(shù)字濾波器可以用單片數(shù)字信號處理器(DSP)實時實現(xiàn)，也可以用只讀存儲器和加法器組成的查表法結(jié)構(gòu)實時實現(xiàn)。對于同樣幅頻特性的要求，采用無限沖激響應數(shù)字濾波器實現(xiàn)，所需的階次要遠小于有限沖激響應數(shù)字濾波器。這類濾波器在通信設(shè)備中，有廣泛的應用。

對單位沖激的輸入信號的響應為無限長序列的數(shù)字濾波器。按所處理信號的類型，可分為一維、二維或多維無限沖激響應數(shù)字濾波器。

無限沖激響應數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點應位于z平面的單位圓內(nèi)，以保證濾波器的穩(wěn)定性。這類數(shù)字濾波器實現(xiàn)為遞歸型結(jié)構(gòu)，故又稱一維遞歸型數(shù)字濾波器。圖1為遞歸型數(shù)字濾波器采取一種直接型結(jié)構(gòu)的信號流圖。為便于調(diào)整并降低系數(shù)靈敏度，高階濾波器通常實現(xiàn)為以一階和二階直接型為基礎(chǔ)的級聯(lián)型或并聯(lián)型。 無限沖激響應數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要有兩類。一類是根據(jù)模擬濾波器設(shè)計理論，由模擬濾波器特性或結(jié)構(gòu)導出數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)或結(jié)構(gòu)，較典型的有沖激響應不變法和雙線性變換法。另一類是直接在z域中應用計算機輔助設(shè)計法。

沖激響應不變法 使所設(shè)計數(shù)字濾波器的單位沖激響應，等于具有給定頻響特性的模擬濾波器的沖激響應的抽樣值。這一方法的特點是數(shù)字信號頻率和模擬信號頻率之間的變換呈線性關(guān)系。但這種方法限于設(shè)計具有限帶特性的數(shù)字濾波器。

雙線性變換法 利用變量z與復頻率變量s的雙線性變換關(guān)系,將s平面的左半平面及其實頻率軸映射到z平面上的單位圓內(nèi)及其圓周上。這一方法的特點是s平面上的值與z平面上的值呈單值的對應關(guān)系，因此這種方法適于設(shè)計具有各種頻響特性的數(shù)字濾波器，不致發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。但是，z平面的頻率和s平面頻率之間具有非線性關(guān)系，致使數(shù)字濾波器的頻響特性與所要求的頻響特性發(fā)生頻率畸變,即卷繞現(xiàn)象。但是,一般要求濾波器通帶特性為平坦的頻響特性，因此，雙線性變換法是一種有效的、應用較為普遍的設(shè)計方法。

上述設(shè)計方法是以設(shè)計原型歸一化低通濾波器為基礎(chǔ)，經(jīng)頻率變換導出所要求性能的數(shù)字濾波器。頻率變換可以在s域進行，也可以在z域進行。

在z域直接用計算機輔助設(shè)計方法 應用優(yōu)化方法來調(diào)整數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)或零極點位置，使得所設(shè)計的數(shù)字濾波器頻響特性與所要求特性的誤差為最小。在設(shè)計過程中需要采取措施，使得每次疊帶所得到的轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點位于單位圓內(nèi)，以保證濾波器的穩(wěn)定性。

由于運算的有限字長效應，遞歸型結(jié)構(gòu)有可能出現(xiàn)極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。這是由于運算字長的舍入而引入的非線性作用，使數(shù)字濾波器在零輸入時有振蕩輸出。因此，人們正研究設(shè)計低靈敏度的、穩(wěn)定的無限沖激響應數(shù)字濾波器，并已取得一定成果。

二維無限沖激響應數(shù)字濾波器 通稱二維遞歸型數(shù)字濾波器，用以處理二維數(shù)字信號序列。二維遞歸型數(shù)字濾波器有因果的四分之一平面型和半平面型兩種。圖2為因果的四分之一平面型低通濾波器幅譜特性。圖3為半平面型扇形特性的數(shù)字濾波器幅譜特性。 二維遞歸型數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有頻域法和空間域法兩種。頻域法設(shè)計主要是尋求一個滿足頻域給定指標要求的穩(wěn)定的無限沖激響應數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)。這種設(shè)計有兩類方法:一是譜變換法;另一是計算機輔助優(yōu)化方法。空間域法設(shè)計主要是尋求一個轉(zhuǎn)移函數(shù)，使其沖激響應在有限區(qū)域內(nèi)逼近給定的二維沖激響應。二維遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計的主要問題是穩(wěn)定性問題。二維數(shù)字濾波器的設(shè)計理論和方法尚不完善，特別是穩(wěn)定的、高階二維遞歸型數(shù)字濾波器設(shè)計還有待進一步研究。

數(shù)字濾波器(digital filter )通過對數(shù)字信號的運算處理，改變信號頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。它可以用計算機軟件或大規(guī)模集成電路硬件實時實現(xiàn)。

原理 數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)。線性、時不變數(shù)字濾波器是最基礎(chǔ)的數(shù)字濾波器，其特性可描述為:設(shè)數(shù)字濾波器的輸入和輸出信號序列分別可以 由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，則該數(shù)字濾波器的算法可由下列差分方程式表達即圖1.

式中ar，br是濾波器的系數(shù)。相應濾波器的頻域轉(zhuǎn)移函數(shù)為圖2.

轉(zhuǎn)移函數(shù)是角頻率ω的函數(shù)，因而它就代表數(shù)字濾波 器的頻率特性。

分類 數(shù)字濾波器按其單位沖激響應h(n)性質(zhì)分類，有有限沖激響應數(shù)字濾波器(FIR)和無限沖激響應數(shù)字濾波器(IIR)之分。有限沖激響應數(shù)字濾波器(FIR)一般輸出和輸入間無反饋路徑，亦稱非遞歸型濾波器，特性穩(wěn)定。無限沖激響應數(shù)字濾波(IIR)輸入間有反饋路徑，故稱遞歸型濾波器，在系數(shù)取值不當時可能引起振蕩。

數(shù)字濾波器還可以按其所處理信號類型分類，分為一維數(shù)字濾波器和二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理單變量函數(shù)信號序列，例如，語音信號、時間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理兩個變量或多個變量的函數(shù)信號序列，例如，二維圖像的離散信號是平面坐標的抽樣值。

一般模擬濾波器是因果的、線性的和時不變的。也就是說，模擬濾波器在某一給定時刻的響應與在此時刻以后的激勵無關(guān)(因果性);對單個或多個激勵信號的響應滿足線性條件(線性);內(nèi)部參數(shù)不隨時間而變化(時不變)。而數(shù)字濾波器則可以實現(xiàn)為因果的或非因果的，線性的或非線性的、時不變的或時變的。這就是數(shù)字濾波器具有靈活性、多變性和適應性的特點，它可以實現(xiàn)模擬濾波器所不能實現(xiàn)的功能。

使用方法 通信信號源常是連續(xù)時間信號，例如，語音信號和圖像信號。應用數(shù)字濾波器處理此類信號時，須先對所處理的信號進行限帶、抽樣和模-數(shù)變換，然后進行數(shù)字濾波。數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應大于被處理信號帶寬的兩倍。這是因為數(shù)字濾波器的幅頻響應是以抽樣率為間隔呈周期重復的特性，并且是以折疊頻率(1/2抽樣頻率點)呈鏡像對稱。為了保證濾波后輸出頻譜不發(fā)生混疊，必須滿足上述抽樣率要求。為得到輸出為連續(xù)時間信號，數(shù)字濾波器的輸出須經(jīng)數(shù)模變換和平滑濾波。

設(shè)計 數(shù)字濾波器的設(shè)計理論和設(shè)計方法已很成熟。有限沖激響應數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)嚴格的線性相位特性，并且保證絕對穩(wěn)定。無限沖激響應數(shù)字濾波器設(shè)計時，應考慮穩(wěn)定性問題，其轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點必須保證位于Z平面的單位圓內(nèi)。由于應用計算機輔助優(yōu)化設(shè)計和仿真技術(shù)，目前，可以應用數(shù)字濾波器設(shè)計軟件包，根據(jù)給定技術(shù)指標，在計算機上自動化設(shè)計，給出滿足要求的設(shè)計結(jié)果。

實現(xiàn)和應用 隨著大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術(shù)的進展，數(shù)字濾波器的實時硬件實現(xiàn)也發(fā)展得很快。原先應用存儲器和加法器實現(xiàn)的，現(xiàn)在可以用單片微處理器實現(xiàn)。要求處理速度較高，運算量較大的可以用單片通用高速數(shù)字信號處理器(DSP)(含有乘法器)實時實現(xiàn)。高速或運算量大的可以用陣列處理器實現(xiàn)。產(chǎn)量大、小型化要求高的還可以設(shè)計成專用集成電路(ASIC)實現(xiàn)，

由于數(shù)字濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、高可靠性、可復用、無介入衰耗，以及可實現(xiàn)嚴格的線性相位，所以在通信工程中有非常廣泛的應用。