有限單元法基礎(chǔ)

王煥定，哈爾濱工業(yè)大學(xué)教授，博導(dǎo)。

1964年畢業(yè)于西安冶金建筑學(xué)院（現(xiàn)西安建筑科技大學(xué)）應(yīng)用力學(xué)專業(yè)，一直從事力學(xué)教學(xué)工作，1987年擔(dān)任結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室主任，l990年評(píng)為教授，l997年聘為博導(dǎo)。

曾為中國(guó)建筑學(xué)會(huì)建筑結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)組成員，黑龍江省力學(xué)學(xué)會(huì)理事，高等學(xué)校工科力學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)委員（1990-2000）?，F(xiàn)任中國(guó)工程抗震理論及計(jì)算軟件專業(yè)委員會(huì)主任。

1993年獲黑龍江省教育系統(tǒng)勞動(dòng)模范稱號(hào)，1995年獲寶鋼優(yōu)秀教師稱號(hào)，1998年獲全國(guó)優(yōu)秀教師稱號(hào)，2005年所負(fù)責(zé)的課程（結(jié)構(gòu)力學(xué)）被評(píng)為國(guó)家級(jí)精品課程，2007年獲得國(guó)家級(jí)教學(xué)名師獎(jiǎng)，2008年所主持的力學(xué)課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)被評(píng)為國(guó)家級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)。編著、譯著結(jié)構(gòu)力學(xué)、有限單元法等教材9套。

主要符號(hào)表

第1章 緒論

1-1 有限單元法的分析過程

1-2 有限單元法發(fā)展概況

1-3 學(xué)習(xí)指導(dǎo)

第2章 變形體虛位移原理

2-1 彈性力學(xué)的基本方程及其矩陣表示

2-1-1 平衡(運(yùn)動(dòng))微分方程

2-1-2 小變形的幾何方程(位移一應(yīng)變關(guān)系)

2-1-3 邊界條件(邊界處平衡和協(xié)調(diào)條件)

2-1-4 線性彈性體的物理方程(本構(gòu)關(guān)系)

2-1-5 物理量的矩陣表示

2-1-6 彈性力學(xué)基本方程的矩陣表示

2-2 外力總虛功·虛位移原理表述和證明

2-2-1 彈性力學(xué)平面問題外力總虛功

2-2-2 變形體虛位移原理表述和證明

2-3 最小勢(shì)能原理及里茲法

2-3-1 最小勢(shì)能原理

2-3-2 最小勢(shì)能原理與位移法

2-3-3 里茲法

2-4 結(jié)論與討論

2-4-1 主要結(jié)論

2-4-2 一些討論

習(xí)題

第3章 桿件體系結(jié)構(gòu)單元分析

3-1 引言

3-1-1 關(guān)于離散化問題

3-1-2 桿件體系結(jié)構(gòu)虛位移原理(虛功方程)

3-1-3 桿件體系結(jié)構(gòu)總勢(shì)能表達(dá)式

3-2 等直桿單元的單元分析

3-2-1 拉(壓)桿單元

3-2-2 扭轉(zhuǎn)桿單元

3-2-3 只計(jì)彎曲的桿單元

3-2-4 考慮軸向變形的彎曲單元——平面自由式單元

3-2-5 有約束單元

3-2-6 空間自由式單元

3-2-7 考慮剪切時(shí)的平面自由式單元

3-2-8 有剛域單元

3-2-9 單元分析小結(jié)

3-2-10 單元分析舉例

3-3 桿件體系結(jié)構(gòu)單元分析的物理實(shí)質(zhì)

3-3-1 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)

3-3-2 單元分析的物理實(shí)質(zhì)

3-4 桿件體系結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載子程序

3-4-1 一些公共的自定義數(shù)據(jù)類型部分

3-4-2 單元?jiǎng)偠染仃囎映绦?局部坐標(biāo)系)源程序

3-4-3 單元等效結(jié)點(diǎn)荷載子程序(局部坐標(biāo)系)

3-5 結(jié)論與討論

3-5-1 主要結(jié)論

3-5-2 一些討論

習(xí)題

第4章 桿件體系結(jié)構(gòu)的整體分析

4-1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

4-1-1 坐標(biāo)系單位矢量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

4-1-2 各單元物理量的轉(zhuǎn)換

4-1-3 整體單元?jiǎng)偠染仃嚺e例

4-2 結(jié)構(gòu)整體剛度方程

4-2-1 用最小勢(shì)能原理進(jìn)行結(jié)構(gòu)整體分析

4-2-2 直接剛度法集裝整體剛度方程的規(guī)則

4-2-3 直接剛度法集裝整體剛度方程舉例

4-3 結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的性質(zhì)

4-3-1 性質(zhì)

4-3-2 元素物理意義

4-4 整體分析的物理實(shí)質(zhì)

4-5 邊界條件處理

4-5-1 “劃零置一”法

4-5-2 乘大數(shù)法

4-5-3 斜支承處理

4-6 單元內(nèi)力的計(jì)算

4-6-1 單元桿端內(nèi)力(軸力、剪力、彎矩等)的計(jì)算

4-6-2 單元內(nèi)任一截面的內(nèi)力

4-7 程序調(diào)試中關(guān)鍵量的速算方法

4-7-1 整體剛度矩陣元素速算方法

4-7-2 綜合等效結(jié)點(diǎn)荷載元素的速算方法

4-7-3 已知結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移求指定單元桿端力的速算方法

4-8 桿件體系結(jié)構(gòu)靜力分析程序功能及力學(xué)建模的簡(jiǎn)要說明

4-8-1 桿件體系結(jié)構(gòu)靜力分析程序功能的簡(jiǎn)要說明

4-8-2 桿件體系結(jié)構(gòu)靜力分析力學(xué)建模的簡(jiǎn)要說明

4-9 結(jié)論與討論

4-9-1 主要結(jié)論

4-9-2 一些討論

習(xí)題

第5章 平面問題有限元分析

5-1 引言

5-1-1 結(jié)構(gòu)離散化

5-1-2 平面問題的總勢(shì)能表達(dá)式

5-2 常應(yīng)變?nèi)切螁卧?

5-2-1 單元結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力

5-2-2 用面積坐標(biāo)建立單元位移場(chǎng)

5-2-3 基于最小勢(shì)能原理的單元分析

5-2-4 計(jì)算實(shí)例

5-2-5 收斂準(zhǔn)則

5-3 矩形雙線性單元

5-3-1 用正則坐標(biāo)建立單元位移場(chǎng)

5-3-2 應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣

5-3-3 單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ш奢d矩陣

5-3-4 計(jì)算結(jié)果整理

5-3-5 計(jì)算實(shí)例

5-4 平面問題計(jì)算程序PSTE的簡(jiǎn)要說明

5-5 平面等參數(shù)單元

5-5-1 基本概念

5-5-2 幾種常用單元描述和位移模式

5-5-3 等參元單元特性分析

5-5-4 數(shù)值積分

5-5-5 作等參元分析時(shí)必須注意的事項(xiàng)

5-5-6 計(jì)算實(shí)例

5-5-7 二維和三維彈性分析計(jì)算程序簡(jiǎn)要說明

5-6 Wi1son非協(xié)調(diào)元

5-6-1 雙線性單元計(jì)算純彎曲問題的誤差

5-6-2 wi1son非協(xié)調(diào)元表述

5-6-3 wi1son非協(xié)調(diào)元的收斂性

5-7 結(jié)論與討論

5-7-1 主要結(jié)論

5-7-2 一些討論

習(xí)題

第6章 空間問題與軸對(duì)稱問題

6-1 空間問題

6-1-1 常應(yīng)變四面體單元

6-1-2其他單元形式形函數(shù)

6-1-3 三維等參元單元分析

6-1-4 算例

6-2 軸對(duì)稱問題

6-2-1 離散化

6-2-2 三角形環(huán)單元

6-3 結(jié)論與討論

6-3-1 主要結(jié)論

6-3-2 一些討論

習(xí)題

第7章 彈性板殼有限元分析初步

7-1 彈性薄板基本理論

7-2 矩形(12自由度)薄板單元分析

7-2-1 單元位移場(chǎng)建立

7-2-2 非完全協(xié)調(diào)元的收斂性準(zhǔn)則

7-2-3 單元分析

7-3 柱殼分析的矩形平面殼體單元

7-3-1 單元分析(局部坐標(biāo))

……

主要參考文獻(xiàn)2100433B

《有限單元法基礎(chǔ)(第2版)》共分為7章，包括緒論、變形體虛位移原理、桿件體系結(jié)構(gòu)單元分析、桿件體系結(jié)構(gòu)的整體分析、平面問題有限元分析、空間問題與軸對(duì)稱問題以及彈性板殼有限元分析初步等內(nèi)容。

本次修編對(duì)內(nèi)容構(gòu)架未做大的改變，在保持本科教學(xué)基本要求的前提下，考慮到當(dāng)前研究生入學(xué)時(shí)的知識(shí)水平和研究生教學(xué)的要求，新增了關(guān)于力學(xué)建模、逐步精細(xì)化分析技術(shù)、板殼分析的加深內(nèi)容和工程分析中的若干問題等教學(xué)內(nèi)容。

《有限單元法基礎(chǔ)(第2版)》可供土木、交通、水利和工程力學(xué)專業(yè)本科教學(xué)和部分土木、交通、水利專業(yè)的研究生使用，也可作為有關(guān)工程技術(shù)人員學(xué)習(xí)有限單元法的入門參考書。

全書分為兩篇共17章。第1篇（第1-7章）為基本部分，包括有限單元法的理論基礎(chǔ)——加權(quán)余量法和變分原理；彈性力學(xué)問題有限單元法的一般原理和表達(dá)格式，單元和插值函數(shù)的構(gòu)造，等參元和數(shù)值積分，有限單元法應(yīng)用中的若干實(shí)際考慮，線性代數(shù)方程組的解法，有限單元法的計(jì)算機(jī)程序。第2篇（第8-17章）為專題部分，包括（桿、板、殼）結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，場(chǎng)和動(dòng)力問題，以及（材料、幾何、接觸）非線性問題3個(gè)部分。本書反映了有限單元法的學(xué)科上和應(yīng)用方面的發(fā)展水平，凝聚了作者本人和所在教研組長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。書中每章附有復(fù)習(xí)思考題和練習(xí)題。書末還附有用于求解不同類型線彈性問題計(jì)算機(jī)實(shí)踐的教學(xué)程序。 本書可作為力學(xué)、機(jī)械、動(dòng)力、航空航天、土木、水利等專業(yè)本科生和研究生的教材，也可作為上述專業(yè)教師和工程技術(shù)及科研開發(fā)人員的參考書。

有限單元法第0章緒論1

0.1有限元法的要點(diǎn)和特性1

0.2有限元法的發(fā)展、現(xiàn)狀和未來5

0.3本書概述9

有限單元法第1篇基 本 部 分

第1章有限元法的理論基礎(chǔ)——加權(quán)余量法和變分原理13

1.1引言13

1.2微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法14

1.3變分原理和里茲方法28

1.4彈性力學(xué)的基本方程和變分原理36

1.5小結(jié)51

復(fù)習(xí)題52

練習(xí)題53

第2章彈性力學(xué)問題有限元方法的一般原理和表達(dá)格式55

2.1引言55

2.2彈性力學(xué)平面問題的有限元格式56

2.3廣義坐標(biāo)有限元法的一般格式77

2.4有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則82

2.5軸對(duì)稱問題的有限元格式85

2.6小結(jié)93

復(fù)習(xí)題94

練習(xí)題95

第3章單元和插值函數(shù)的構(gòu)造98

3.1引言98

3.2一維單元101

3.3二維單元105

3.4三維單元117

3.5階譜單元122

3.6小結(jié)127

復(fù)習(xí)題128

練習(xí)題129

第4章等參元和數(shù)值積分130

4.1引言130

4.2等參變換的概念和單元矩陣的變換131

4.3等參變換的條件和等參元的收斂性136

4.4等參元用于分析彈性力學(xué)問題的一般格式140

4.5數(shù)值積分方法143

4.6等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇153

4.7小結(jié)159

復(fù)習(xí)題160

練習(xí)題160

第5章有限元法應(yīng)用中的若干實(shí)際考慮162

5.1引言162

5.2有限元模型的建立163

5.3應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)和處理167

5.4子結(jié)構(gòu)法186

5.5結(jié)構(gòu)對(duì)稱性和周期性的利用192

5.6非協(xié)調(diào)元和分片試驗(yàn)209

5.7小結(jié)217

復(fù)習(xí)題218

練習(xí)題219

第6章線性代數(shù)方程組的解法221

6.1引言221

6.2高斯消去法及其變化形式222

6.3帶狀系數(shù)矩陣的直接解法231

6.4利用外存的直接解法237

6.5迭代解法240

6.6小結(jié)250

復(fù)習(xí)題251

練習(xí)題252

第7章有限元分析計(jì)算機(jī)程序254

7.1引言254

7.2有限元分析的主體程序256

7.3前處理程序263

7.4后處理程序266

7.5有限元軟件的技術(shù)發(fā)展267

練習(xí)題268

有限單元法第2篇專 題 部 分

第8章有限元法的進(jìn)一步基礎(chǔ)——約束變分原理271

8.1引言271

8.2約束變分原理272

8.3彈性力學(xué)廣義變分原理281

8.4彈性力學(xué)修正變分原理286

8.5不可（或接近不可）壓縮彈性力學(xué)問題的有限元法289

8.6小結(jié)298

復(fù)習(xí)題299

練習(xí)題300

第9章桿件結(jié)構(gòu)力學(xué)問題302

9.1結(jié)構(gòu)單元概論302

9.2等截面直桿\|梁?jiǎn)卧?06

9.3平面桿件系統(tǒng)323

9.4空間桿件系統(tǒng)329

9.5小結(jié)331

復(fù)習(xí)題332

練習(xí)題333

第10章平板彎曲問題334

10.1引言334

10.2基于薄板理論的非協(xié)調(diào)板單元338

10.3基于薄板理論的協(xié)調(diào)板單元348

10.4Mindlin板單元（位移和轉(zhuǎn)動(dòng)各自獨(dú)立插值的板單元）352

10.5基于離散Kirchhoff理論（DKT）的薄板單元364

10.6應(yīng)力雜交板單元367

10.7小結(jié)375

復(fù)習(xí)題376

練習(xí)題377

第11章殼體問題378

11.1引言378

11.2基于薄殼理論的軸對(duì)稱殼元381

11.3位移和轉(zhuǎn)動(dòng)各自獨(dú)立插值的軸對(duì)稱殼元389

11.4用于一般殼體的平面殼元398

11.5用于一般殼體的超參數(shù)殼元406

11.6相對(duì)自由度殼元415

11.7殼元和實(shí)體元的聯(lián)結(jié)418

11.8殼元和梁\|桿元的聯(lián)結(jié)430

11.9小結(jié)437

復(fù)習(xí)題438

練習(xí)題439

第12章熱傳導(dǎo)問題441

12.1引言441

12.2穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題444

12.3瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題447

12.4熱應(yīng)力的計(jì)算461

12.5小結(jié)464

復(fù)習(xí)題465

練習(xí)題466

第13章動(dòng)力學(xué)問題468

13.1引言468

13.2質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣472

13.3直接積分法476

13.4振型疊加法484

13.5解的穩(wěn)定性491

13.6大型特征值問題的解法495

13.7減縮系統(tǒng)自由度的方法509

13.8小結(jié)518

復(fù)習(xí)題519

練習(xí)題520

第14章流固耦合問題523

14.1引言523

14.2無粘小擾動(dòng)流動(dòng)的基本方程和表達(dá)形式524

14.3流固耦合系統(tǒng)有限元分析的（ui,p)格式527

14.4流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力特性分析533

14.5流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析537

14.6小結(jié)543

復(fù)習(xí)題544

練習(xí)題544

第15章材料非線性問題545

15.1引言545

15.2非線性方程組的解法547

15.3材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系556

15.4彈塑性增量有限元分析576

15.5彈塑性增量分析數(shù)值方法中的幾個(gè)問題579

15.6彈塑性全量有限元分析595

15.7熱彈塑性\|蠕變有限元分析600

15.8小結(jié)613

復(fù)習(xí)題614

練習(xí)題615

第16章幾何非線性問題617

16.1引言617

16.2大變形條件下的應(yīng)變和應(yīng)力的度量618

16.3幾何非線性問題的表達(dá)格式624

16.4有限元求解方程及解法629

16.5大變形條件下的本構(gòu)關(guān)系642

16.6結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題649

16.7算例654

16.8小結(jié)659

復(fù)習(xí)題661

練習(xí)題662

第17章接觸和碰撞問題666

17.1引言666

17.2接觸界面條件667

17.3接觸問題的求解方案671

17.4接觸問題的有限元方程678

17.5有限元方程的求解方法685

17.6接觸分析中的幾個(gè)問題691

17.7算例695

17.8小結(jié)700

復(fù)習(xí)題701

練習(xí)題702

參考文獻(xiàn)704

A主要參考書704

B各章的參考文獻(xiàn)704

附錄A有限元分析教學(xué)程序（FEATP）711

A1有限元分析主體程序源代碼711

A2前處理程序使用說明7622100433B

釋文：巖土有限單元法是用以求解巖土體內(nèi)應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)、滲流場(chǎng)的一種數(shù)值方法。將研究區(qū)域離散化成有限個(gè)網(wǎng)格單元，以網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)函數(shù)值作為求解對(duì)象，從定解問題的變分形式出發(fā)導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解，以達(dá)到求解系統(tǒng)偏微分方程的一種數(shù)值方法。 2100433B