準(zhǔn)等距點(diǎn)定義

四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn).如圖，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn) .

①當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直，且任何一條對(duì)角線不平分另一對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè);

②當(dāng)四邊形的對(duì)角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線的中垂線經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè);

③當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線的中垂線都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè);

④四邊形的對(duì)角線互相垂直且至少有一條對(duì)角線平分另一對(duì)角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè) .

到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn).如圖l.

(1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn).

(2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法).

(3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF.求證:點(diǎn)P是四邊形AB CD的準(zhǔn)等距點(diǎn).

(4)試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說(shuō)出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明).

解:(1)如圖2'中，點(diǎn)P即為所畫點(diǎn).(因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，所以在直線AC上除線段AC中點(diǎn)外的任意一點(diǎn)都符合條件)

(2)如圖3'中，點(diǎn)P即為所作點(diǎn).(線段BD的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn))

(3) 如圖4'中，連結(jié)DB，

在△DCF與△BCE中，

∠DCF=∠BCE，

∠CDF=∠CBE，

∠ CF=CE.

∴△DCF≌△BCE(AAS)，

∴CD=CB，

∴∠CDB=∠CBD.

∴∠PDB=∠PBD，

∴PD=PB，

∵PA≠PC

∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn).

(4)①當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且任何一條對(duì)角線不平分另一對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè);

由于國(guó)家水準(zhǔn)原點(diǎn)實(shí)際高程并非為海拔0米，經(jīng)國(guó)家測(cè)繪局批準(zhǔn)，由專家精確移植水準(zhǔn)原點(diǎn)信息數(shù)據(jù)，在青島銀海大世界內(nèi)建起了“中華人民共和國(guó)水準(zhǔn)零點(diǎn)”。水準(zhǔn)零點(diǎn)標(biāo)志雕塑，高6米，重10余噸，底座像一個(gè)鉛錘，寓意老一輩測(cè)量人工作的辛苦，頂部地球儀上有6個(gè)小圓球，寓意世界上6個(gè)著名的海拔原點(diǎn)。在零點(diǎn)雕塑的下面是一個(gè)觀測(cè)井，觀測(cè)井的底部設(shè)有一個(gè)價(jià)值不菲的巨大的紅色瑪瑙球，這個(gè)球體的頂平面就是我們國(guó)家海拔0米的地方。