自動機(jī)理論計算能力與判定問題

確定有限狀態(tài)自動機(jī)與非確定有限狀態(tài)自動機(jī)識別的語言都是正則語言。由于正則語言的良好性質(zhì)，許多為其他自動機(jī)（下推自動機(jī)或圖靈機(jī)）不能判定的問題，在有限狀態(tài)自動機(jī)的情形下，都可以得到判定，并且存在有效的算法。

對一個確定有限狀態(tài)自動機(jī)，下述判定問題都可以判定，并且存在有效的算法。

該自動機(jī)識別的語言是否為空集；

該自動機(jī)識別的語言是否為有限集；

該自動機(jī)是否與另一個確定有限狀態(tài)自動機(jī)識別同一個的語言。

常見自動機(jī)有以下幾種：以電話交換機(jī)為主要實例的有限自動機(jī)，是自動機(jī)理論的基礎(chǔ)，被應(yīng)用到自動控制，生物系統(tǒng)中；由下推表組成的單項非確定程序的下推自動機(jī)；線性有界自動機(jī)；用來描述通用計算機(jī)計算能力的圖靈機(jī)模型；進(jìn)行與轉(zhuǎn)移函數(shù)，轉(zhuǎn)移狀態(tài)有關(guān)輸出的時序機(jī)；由一些基本語句構(gòu)成程序框圖的波斯特機(jī)；隨即存儲機(jī)；堆棧自動機(jī)；不受有限自動機(jī)做控制器和存儲限制的無限自動機(jī)；統(tǒng)計自動機(jī)某一條件概率分布的概率自動機(jī)和細(xì)胞自動機(jī)。

數(shù)理語言學(xué)中研究抽象自動機(jī)的理論。抽象自動機(jī)是一種能夠識別語言的抽象的裝置，它不是具有物理實體的機(jī)器，而是表示計算機(jī)運(yùn)算方式的抽象的邏輯關(guān)系系統(tǒng)，這樣的抽象自動機(jī)可以用來檢驗輸入的符號串是不是語言中合格的句子，如果是合格的句子，自動機(jī)就接收它，如果不是，就不接收它。如圖1所示：

自動機(jī)可分為有限自動機(jī)、后進(jìn)先出自動機(jī)、線性有界自動機(jī)、圖靈機(jī)等幾種。它們對語言的識別能力各不相同。

自動機(jī)有如下基本概念：

符號 ：有某種意義或在這個機(jī)器上有效的任意數(shù)據(jù)(datum)。符號有時就叫做“字母”。

字：通過一些符號串接而形成的有限字符串。

字母表 ：符號的有限集合。字母表經(jīng)常指示為Sigma ，它是在字母表中所有字母的集合。

語言 ：字的集合，由給頂字母表中的符號形成?？梢允且部梢圆皇菬o限的。

Kleene閉包 ：一個語言可以被認(rèn)為是所有可能字的子集。所有可能字的集合可以被認(rèn)為是所有可能的字符串串接的集合。形式上說，所有可能字符串的集合叫做自由幺半群。它被指示為 Sigma *}，上標(biāo) * 被稱為Kleene星號 。

自動機(jī)是有限狀態(tài)機(jī)(FSM)的數(shù)學(xué)模型。FSM 是給定符號輸入，依據(jù)(可表達(dá)為一個表格的)轉(zhuǎn)移函數(shù)“跳轉(zhuǎn)”過一系列狀態(tài)的一種機(jī)器。在常見的 FSM 的“Mealy”變體中，這個轉(zhuǎn)移函數(shù)告訴自動機(jī)給定當(dāng)前狀態(tài)和當(dāng)前字符的時候下一個狀態(tài)是什么。

逐個讀取輸入中的符號，直到被完全耗盡(把它當(dāng)作有一個字寫在其上的磁帶，通過自動機(jī)的讀磁頭來讀取它；磁頭在磁帶上前行移動，一次讀一個符號)。一旦輸入被耗盡，自動機(jī)被稱為“停止”了。

依賴自動機(jī)停止時的狀態(tài)，稱呼這個自動機(jī)要么是“接受”要么“拒絕”這個輸入。如果停止于“接受狀態(tài)”，則自動機(jī)“接受”了這個字。在另一方面，如果它停止于“拒絕狀態(tài)”，則這個字被“拒絕”。自動機(jī)接受的所有字的集合被稱為“這個自動機(jī)接受的語言”。

但要注意，自動機(jī)一般不必須有有限數(shù)目甚至可數(shù)個狀態(tài)。比如，量子有限自動機(jī)有不可數(shù)無限個狀態(tài)，因為所有可能狀態(tài)的集合是在復(fù)投影空間中所有點的集合。所以，量子有限自動機(jī)和有限狀態(tài)機(jī)一樣，都是更一般想法拓?fù)渥詣訖C(jī)的特殊情況，它的狀態(tài)的集合是拓?fù)淇臻g，而狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)取自在這個空間上的所有可能函數(shù)。拓?fù)渥詣訖C(jī)經(jīng)常叫做M-自動機(jī)，簡單是半自動機(jī)加上接受狀態(tài)集合的補(bǔ)充，這里的集合交集確定初始狀態(tài)是被接受還是被拒絕。

一般的說，自動機(jī)不需要嚴(yán)格的接受或拒絕一個輸入；它可以按某個在零和一之間的概率接受它。還是用量子有限自動機(jī)作為展示例子，它只按某個概率接受輸入。這個想法也是更一般情況幾何自動機(jī)或度量自動機(jī)的特殊情況，它的狀態(tài)的集合是度量空間，一個語言被這個自動機(jī)接受如果在初始點和接受狀態(tài)的集合之間的距離關(guān)于這個度量是足夠的小 。

美國語言學(xué)家N.喬姆斯基等人建立了形式文法和自動機(jī)之間的聯(lián)系，證明語言的形式文法與自動機(jī)之間存在著如下的對應(yīng)關(guān)系：①若某一語言能用圖靈機(jī)來識別，則它就能用 O型文法生成，反之亦然；②若某一語言能用線性有界自動機(jī)來識別，則它就能用上下文敏感文法生成，反之亦然；③若某一語言能用后進(jìn)先出自動機(jī)來識別，則它就能用上下文自由文法生成，反之亦然；④若某一語言能用有限自動機(jī)來識別，則它就能用有限狀態(tài)文法生成，反之亦然。

這種關(guān)于形式文法與自動機(jī)的關(guān)系，反映了語言的生成過程與識別過程的內(nèi)在聯(lián)系，它已成為計算機(jī)科學(xué)的基石之一。這是語言學(xué)對于現(xiàn)代自然科學(xué)發(fā)生影響的一個明證。

上述自動機(jī)接受的語言家族被稱為正規(guī)語言(Regular Expression)。更強(qiáng)力的自動機(jī)可以接受更復(fù)雜的語言。比如:

自動機(jī)PDA

PDA(下推自動機(jī))這種機(jī)器等同于 DFA (或 NFA)，除了它們額外的裝備了棧形式的內(nèi)存。轉(zhuǎn)移函數(shù) δ 也依賴于在棧頂?shù)姆?，并在每次轉(zhuǎn)移時指定如何變更棧。非確定 PDA 接受上下文無關(guān)語言。

自動機(jī)LBA

LBA （線性有界自動機(jī)）是有限制的 圖靈機(jī)；不使用無限磁帶，它的磁帶有同輸入字元串成正比的空間。LBA 接受上下文有關(guān)語言。

自動機(jī)圖靈機(jī)

它們是最強(qiáng)力的電腦器。它們擁有磁帶形式的無限內(nèi)存，和可以讀取和變更磁帶的磁頭，它可在磁帶上向任何方向移動。圖靈機(jī)等價于演算法，是現(xiàn)代電腦的理論基礎(chǔ)。圖靈機(jī)判定遞歸語言并識別遞歸可枚舉語言。

下面是三類有限自動機(jī)

確定有限自動機(jī)(DFA)

自動機(jī)的每個狀態(tài)都有對字母表中所有符號的轉(zhuǎn)移。

非確定有限自動機(jī)(NFA)

自動機(jī)的狀態(tài)對字母表中的每個符號可以有也可以沒有轉(zhuǎn)移，對一個符號甚至可以有多個轉(zhuǎn)移。自動機(jī)接受一個字，如果存在至少一個從 q0 到 F 中標(biāo)記(label)著這個輸入字的一個狀態(tài)的路徑。如果一個轉(zhuǎn)移是「未定義」的，自動機(jī)因此不知道如何繼續(xù)讀取輸入，則拒絕這個字。

有ε轉(zhuǎn)移的非確定有限自動機(jī)(FND-ε或ε-NFA)

除了有能力對任何符號跳轉(zhuǎn)到更多狀態(tài)或沒有狀態(tài)可以跳轉(zhuǎn)之外，它們可以做根本不關(guān)于符號的跳轉(zhuǎn)。就是說，如果一個狀態(tài)有標(biāo)記著 ε 的轉(zhuǎn)移，則 NFA 可以處在 ε-轉(zhuǎn)移可到達(dá)的任何狀態(tài)中，直接或通過其他有 ε-轉(zhuǎn)移的狀態(tài)。從一個狀態(tài) q 通過這種方法可到達(dá)的狀態(tài)的集合叫做 q 的 ε-閉包。

盡管可以證明所有這些自動機(jī)都「可以接受同樣的語言」。你總是可以構(gòu)造接受與給定的 NFA M 同樣語言的某個 DFA M。

自動機(jī)是有限狀態(tài)機(jī)(FSM)的數(shù)學(xué)模型。

FSM 是給定符號輸入，依據(jù)(可表達(dá)為一個表格的)轉(zhuǎn)移函數(shù)“跳轉(zhuǎn)”過一系列狀態(tài)的一種機(jī)器。在常見的 FSM 的“Mealy”變體中，這個轉(zhuǎn)移函數(shù)告訴自動機(jī)給定當(dāng)前狀態(tài)和當(dāng)前字符的時候下一個狀態(tài)是什么。

逐個讀取輸入中的符號，直到被完全耗盡(把它當(dāng)作有一個字寫在其上的磁帶，通過自動機(jī)的讀磁頭來讀取它；磁頭在磁帶上前行移動，一次讀一個符號)。一旦輸入被耗盡，自動機(jī)被稱為“停止”了。

依賴自動機(jī)停止時的狀態(tài)，稱呼這個自動機(jī)要么是“接受”要么“拒絕”這個輸入。如果停止于“接受狀態(tài)”，則自動機(jī)“接受”了這個字。在另一方面，如果它停止于“拒絕狀態(tài)”，則這個字被“拒絕”。自動機(jī)接受的所有字的集合被稱為“這個自動機(jī)接受的語言”。

自動機(jī) automaton 原來是模仿人和動物的行動而做成的機(jī)器人的意思。但是現(xiàn)已被抽象化為如下的機(jī)器。時間是離散的（t=0，1，2……），在每一個時刻它處于所存在的有限個內(nèi)部狀態(tài)中的一個。對每一個時刻給予有限個輸入中的一個。那么下一個時刻的內(nèi)部狀態(tài)就由現(xiàn)在的輸入和現(xiàn)在的內(nèi)部狀態(tài)所決定。每個時刻的輸出只由那個時刻的內(nèi)部狀態(tài)所決定。作為自動機(jī)的例子可以舉出由McCulloch-pitts的神經(jīng)模型組合所得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、數(shù)字計算機(jī)等。