自動機理論理論發(fā)展

美國語言學家N.喬姆斯基等人建立了形式文法和自動機之間的聯(lián)系，證明語言的形式文法與自動機之間存在著如下的對應關系：①若某一語言能用圖靈機來識別，則它就能用 O型文法生成，反之亦然；②若某一語言能用線性有界自動機來識別，則它就能用上下文敏感文法生成，反之亦然；③若某一語言能用后進先出自動機來識別，則它就能用上下文自由文法生成，反之亦然；④若某一語言能用有限自動機來識別，則它就能用有限狀態(tài)文法生成，反之亦然。

這種關于形式文法與自動機的關系，反映了語言的生成過程與識別過程的內在聯(lián)系，它已成為計算機科學的基石之一。這是語言學對于現(xiàn)代自然科學發(fā)生影響的一個明證。

確定有限狀態(tài)自動機與非確定有限狀態(tài)自動機識別的語言都是正則語言。由于正則語言的良好性質，許多為其他自動機（下推自動機或圖靈機）不能判定的問題，在有限狀態(tài)自動機的情形下，都可以得到判定，并且存在有效的算法。

對一個確定有限狀態(tài)自動機，下述判定問題都可以判定，并且存在有效的算法。

該自動機識別的語言是否為空集；

該自動機識別的語言是否為有限集；

該自動機是否與另一個確定有限狀態(tài)自動機識別同一個的語言。

常見自動機有以下幾種：以電話交換機為主要實例的有限自動機，是自動機理論的基礎，被應用到自動控制，生物系統(tǒng)中；由下推表組成的單項非確定程序的下推自動機；線性有界自動機；用來描述通用計算機計算能力的圖靈機模型；進行與轉移函數(shù)，轉移狀態(tài)有關輸出的時序機；由一些基本語句構成程序框圖的波斯特機；隨即存儲機；堆棧自動機；不受有限自動機做控制器和存儲限制的無限自動機；統(tǒng)計自動機某一條件概率分布的概率自動機和細胞自動機。

數(shù)理語言學中研究抽象自動機的理論。抽象自動機是一種能夠識別語言的抽象的裝置，它不是具有物理實體的機器，而是表示計算機運算方式的抽象的邏輯關系系統(tǒng)，這樣的抽象自動機可以用來檢驗輸入的符號串是不是語言中合格的句子，如果是合格的句子，自動機就接收它，如果不是，就不接收它。如圖1所示：

自動機可分為有限自動機、后進先出自動機、線性有界自動機、圖靈機等幾種。它們對語言的識別能力各不相同。

自動機有如下基本概念：

符號 ：有某種意義或在這個機器上有效的任意數(shù)據(jù)(datum)。符號有時就叫做“字母”。

字：通過一些符號串接而形成的有限字符串。

字母表 ：符號的有限集合。字母表經(jīng)常指示為Sigma ，它是在字母表中所有字母的集合。

語言 ：字的集合，由給頂字母表中的符號形成。可以是也可以不是無限的。

Kleene閉包 ：一個語言可以被認為是所有可能字的子集。所有可能字的集合可以被認為是所有可能的字符串串接的集合。形式上說，所有可能字符串的集合叫做自由幺半群。它被指示為 Sigma *}，上標 * 被稱為Kleene星號 。

自動機是有限狀態(tài)機(FSM)的數(shù)學模型。FSM 是給定符號輸入，依據(jù)(可表達為一個表格的)轉移函數(shù)“跳轉”過一系列狀態(tài)的一種機器。在常見的 FSM 的“Mealy”變體中，這個轉移函數(shù)告訴自動機給定當前狀態(tài)和當前字符的時候下一個狀態(tài)是什么。

逐個讀取輸入中的符號，直到被完全耗盡(把它當作有一個字寫在其上的磁帶，通過自動機的讀磁頭來讀取它；磁頭在磁帶上前行移動，一次讀一個符號)。一旦輸入被耗盡，自動機被稱為“停止”了。

依賴自動機停止時的狀態(tài)，稱呼這個自動機要么是“接受”要么“拒絕”這個輸入。如果停止于“接受狀態(tài)”，則自動機“接受”了這個字。在另一方面，如果它停止于“拒絕狀態(tài)”，則這個字被“拒絕”。自動機接受的所有字的集合被稱為“這個自動機接受的語言”。

但要注意，自動機一般不必須有有限數(shù)目甚至可數(shù)個狀態(tài)。比如，量子有限自動機有不可數(shù)無限個狀態(tài)，因為所有可能狀態(tài)的集合是在復投影空間中所有點的集合。所以，量子有限自動機和有限狀態(tài)機一樣，都是更一般想法拓撲自動機的特殊情況，它的狀態(tài)的集合是拓撲空間，而狀態(tài)轉移函數(shù)取自在這個空間上的所有可能函數(shù)。拓撲自動機經(jīng)常叫做M-自動機，簡單是半自動機加上接受狀態(tài)集合的補充，這里的集合交集確定初始狀態(tài)是被接受還是被拒絕。

一般的說，自動機不需要嚴格的接受或拒絕一個輸入；它可以按某個在零和一之間的概率接受它。還是用量子有限自動機作為展示例子，它只按某個概率接受輸入。這個想法也是更一般情況幾何自動機或度量自動機的特殊情況，它的狀態(tài)的集合是度量空間，一個語言被這個自動機接受如果在初始點和接受狀態(tài)的集合之間的距離關于這個度量是足夠的小 。

上述自動機接受的語言家族被稱為正規(guī)語言(Regular Expression)。更強力的自動機可以接受更復雜的語言。比如:

自動機PDA

PDA(下推自動機)這種機器等同于 DFA (或 NFA)，除了它們額外的裝備了棧形式的內存。轉移函數(shù) δ 也依賴于在棧頂?shù)姆?，并在每次轉移時指定如何變更棧。非確定 PDA 接受上下文無關語言。

自動機LBA

LBA （線性有界自動機）是有限制的 圖靈機；不使用無限磁帶，它的磁帶有同輸入字元串成正比的空間。LBA 接受上下文有關語言。

自動機圖靈機

它們是最強力的電腦器。它們擁有磁帶形式的無限內存，和可以讀取和變更磁帶的磁頭，它可在磁帶上向任何方向移動。圖靈機等價于演算法，是現(xiàn)代電腦的理論基礎。圖靈機判定遞歸語言并識別遞歸可枚舉語言。

下面是三類有限自動機

確定有限自動機(DFA)

自動機的每個狀態(tài)都有對字母表中所有符號的轉移。

非確定有限自動機(NFA)

自動機的狀態(tài)對字母表中的每個符號可以有也可以沒有轉移，對一個符號甚至可以有多個轉移。自動機接受一個字，如果存在至少一個從 q0 到 F 中標記(label)著這個輸入字的一個狀態(tài)的路徑。如果一個轉移是「未定義」的，自動機因此不知道如何繼續(xù)讀取輸入，則拒絕這個字。

有ε轉移的非確定有限自動機(FND-ε或ε-NFA)

除了有能力對任何符號跳轉到更多狀態(tài)或沒有狀態(tài)可以跳轉之外，它們可以做根本不關于符號的跳轉。就是說，如果一個狀態(tài)有標記著 ε 的轉移，則 NFA 可以處在 ε-轉移可到達的任何狀態(tài)中，直接或通過其他有 ε-轉移的狀態(tài)。從一個狀態(tài) q 通過這種方法可到達的狀態(tài)的集合叫做 q 的 ε-閉包。

盡管可以證明所有這些自動機都「可以接受同樣的語言」。你總是可以構造接受與給定的 NFA M 同樣語言的某個 DFA M。

自動機是有限狀態(tài)機(FSM)的數(shù)學模型。

FSM 是給定符號輸入，依據(jù)(可表達為一個表格的)轉移函數(shù)“跳轉”過一系列狀態(tài)的一種機器。在常見的 FSM 的“Mealy”變體中，這個轉移函數(shù)告訴自動機給定當前狀態(tài)和當前字符的時候下一個狀態(tài)是什么。

逐個讀取輸入中的符號，直到被完全耗盡(把它當作有一個字寫在其上的磁帶，通過自動機的讀磁頭來讀取它；磁頭在磁帶上前行移動，一次讀一個符號)。一旦輸入被耗盡，自動機被稱為“停止”了。

依賴自動機停止時的狀態(tài)，稱呼這個自動機要么是“接受”要么“拒絕”這個輸入。如果停止于“接受狀態(tài)”，則自動機“接受”了這個字。在另一方面，如果它停止于“拒絕狀態(tài)”，則這個字被“拒絕”。自動機接受的所有字的集合被稱為“這個自動機接受的語言”。

自動機 automaton 原來是模仿人和動物的行動而做成的機器人的意思。但是現(xiàn)已被抽象化為如下的機器。時間是離散的（t=0，1，2……），在每一個時刻它處于所存在的有限個內部狀態(tài)中的一個。對每一個時刻給予有限個輸入中的一個。那么下一個時刻的內部狀態(tài)就由現(xiàn)在的輸入和現(xiàn)在的內部狀態(tài)所決定。每個時刻的輸出只由那個時刻的內部狀態(tài)所決定。作為自動機的例子可以舉出由McCulloch-pitts的神經(jīng)模型組合所得到的神經(jīng)網(wǎng)絡模型、數(shù)字計算機等。