最優(yōu)化問題

工程設(shè)計中最優(yōu)化問題（optimization problem）的一般提法是要選擇一組參數(shù)（變量），在滿足一系列有關(guān)的限制條件（約束）下，使設(shè)計指標（目標）達到最優(yōu)值。因此，最優(yōu)化問題通?？梢员硎緸閿?shù)學(xué)規(guī)劃形式的問題。

最優(yōu)化問題基本信息

中文名 最優(yōu)化問題 外文名 optimization problem
典型例子 目標函數(shù)的可行解 解決方法 整數(shù)規(guī)劃
動態(tài)規(guī)劃 最優(yōu)策略 定????式 數(shù)學(xué)規(guī)劃

設(shè)計變量與設(shè)計空間

式子中的
是
維實數(shù)空間（記為
）中的一個向量，它由
個分量
組成。它是在最優(yōu)化過程中變化而決定設(shè)計方案的量，即在最優(yōu)化中需要進行選擇的一組數(shù)值，稱為設(shè)計變量向量。從幾何上講，每個變量向量就是以各變量分量為坐標軸的變量空間的一個點。當(dāng)
時，即只有一個變量分量，這個變量沿直線變化；當(dāng)
時，即只有兩個變量分量時，這個變量向量的所有點組成一平面；而當(dāng)
時，組成立體空間。有三個以上變量分量時，則構(gòu)成多維空間。設(shè)計空間的每一個設(shè)計變量向量對應(yīng)于一個設(shè)計點，即對應(yīng)于一個設(shè)計方案。設(shè)計空間包含了該項設(shè)計的所有可能方案。

目標函數(shù)

式子中的
稱為目標函數(shù)。它是設(shè)計變量向量的實值連續(xù)函數(shù)，通常還假定它有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。目標函數(shù)是比較可供選擇的許多設(shè)計方案的依據(jù)，最優(yōu)化的目的就是要使它取極值。在變量空間中，目標函數(shù)取某常值的所有點組成的面稱為等值面。即它是使目標函數(shù)取同一常數(shù)值的點集：

當(dāng)
，即只有兩個變量分量時為等值線。

等值面具有以下性質(zhì)：

（1）有不同值的等值面之間不相交。因為目標函數(shù)是單值函數(shù)。

（2）除了極值點所在的等值面以外，不會在區(qū)域的內(nèi)部中斷。因為目標函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

（3）等值面稠密的地方，目標函數(shù)值變化得比較快；稀疏的地方變化得比較慢。

（4）一般地說，在極值點附近等值面近似地呈現(xiàn)為通信橢圓面族。 2100433B

最優(yōu)化問題造價信息

市場價 信息價 詢價
材料名稱 規(guī)格/型號 市場價
（除稅）		 工程建議價
（除稅）		 行情 品牌 單位 稅率 供應(yīng)商 報價日期
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優(yōu)化節(jié)能排風(fēng)扇 400電機價:70;電源:單相;風(fēng)量(m3/h):48;功率(W):120;品種:排氣扇; 查看價格 查看價格

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優(yōu)化避雷針 品種:避雷針;型號:HD-LTR5/6;類型:優(yōu)化避雷針; 查看價格 查看價格

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材料名稱 規(guī)格/型號 除稅
信息價		 含稅
信息價		 行情 品牌 單位 稅率 地區(qū)/時間
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臺 珠海市2012年11月信息價
材料名稱 規(guī)格/需求量 報價數(shù) 最新報價
（元）		 供應(yīng)商 報價地區(qū) 最新報價時間
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造價通是不是出問題了很多資料不見了 造價通是不是出問題了 很多資料不見了|0 1 查看價格 0 廣東  廣州市 2009-03-28

工程設(shè)計中最優(yōu)化問題（optimization problem）的一般提法是要選擇一組參數(shù)（變量），在滿足一系列有關(guān)的限制條件（約束）下，使設(shè)計指標（目標）達到最優(yōu)值。因此，最優(yōu)化問題通?？梢员硎緸橐韵碌臄?shù)學(xué)規(guī)劃形式的問題。

對于一組可用列向量

表示的變量，我們的目的是

式中的
是“
”的縮寫，表示“在
約束條件之下”。
和
是指目標函數(shù)
取最大值或最小值。

因此，進行工程優(yōu)化設(shè)計時，應(yīng)將工程設(shè)計問題用上述形式表示成數(shù)學(xué)問題，再用最優(yōu)化的方法求解。這項工作就是建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型。

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評分： 3

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約束最優(yōu)化問題就是求目標函數(shù)

滿足約束條件
的極值問題。因此，約束最優(yōu)化，也稱條件極值 。

約束最優(yōu)化問題的解法有兩種：

約束最優(yōu)化問題化約束最優(yōu)化問題為無約束最優(yōu)化問題

例1 最大面積 設(shè)長方形的長、寬之和等于

問長方形的長、寬如何設(shè)計，才能使面積最大"para" label-module="para">

解: 這就是一個約束最優(yōu)化問題：設(shè)長方形的長為x，寬為y，求目標函數(shù)A=xy在條件x y=a之下的最大值。

由于從約束條件x y=a中容易解出y=a-x，代入目標函數(shù)

問題歸結(jié)為求一元函數(shù)A(x)的極值。

由

，得駐點
。這是實際問題，最值一定存在，則
就是最大值點。因此，當(dāng)
時，長方形面積最大，其最大值為
。

從上述例子可以看出化約束最優(yōu)化問題為無約束最優(yōu)化問題的思路：從約束條件

中解出
并將它代人目標函數(shù)
于是，問題就轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)

的無約束最優(yōu)化問題。

但是，這種方法有局限性，因為有時從約束條件

中解出y或x并非易事。因此，下面介紹另一種方法 。

約束最優(yōu)化問題拉格朗日乘數(shù)法

這一方法的思路是：把求約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求無約束最優(yōu)化問題，看它應(yīng)該滿足什么樣的條件"para" label-module="para">

設(shè)

是函數(shù)
在約束條件
下的約束最優(yōu)化問題的極值點。如果函數(shù)
在點(x，y)的鄰域內(nèi)有連續(xù)偏微商，且
、
不全為0(不妨設(shè)
≠0)，則根據(jù)費馬引理，一元函數(shù)
在點x的微商

由隱微分法，有

而
是由
所確定，所以

代入上式，消去
，得

即

令
則有

稱滿足此方程組(1)的點(x，y)為可能極值點。

為了便于記憶，并能容易地寫出方程組(1)，我們構(gòu)造一個函數(shù)

稱
為拉格朗日函數(shù)。則方程組(1)可以記為

于是，我們把用拉格朗日乘數(shù)法求解約束最優(yōu)化問題的步驟歸納如下：

①構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

稱為拉格朗日乘數(shù)；

②解方程組

得點(x，y)為可能極值點；

③根據(jù)實際問題的性質(zhì)，在可能極值點處求極值 。2100433B

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約束最優(yōu)化問題(constrained optimization problem)是指具有約束條件的非線性規(guī)劃問題。極小化問題的一般形式為

僅有等式約束條件的約束最優(yōu)化問題，可采用消元法、拉格朗日乘子法或罰函數(shù)法，將其化為無約束最優(yōu)化問題求解；對于含有等式約束和不等式約束條件的最優(yōu)化問題，可采用以下方法：將不等式約束化為等式約束；將約束問題化為無約束問題；將非線性規(guī)劃問題用線性逼近的方法來近似求解；在可行域中沿某方向作一維搜索，尋求最優(yōu)解 。

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結(jié)構(gòu)最優(yōu)化問題的研究具有重要的理論價值，同時有廣泛的應(yīng)用背景。很多重要的實際問題都可以歸結(jié)為結(jié)構(gòu)最優(yōu)化問題，因此對此方向的研究越來越的到國內(nèi)專家學(xué)者的關(guān)注。我們擬對起進行進一步的研究。設(shè)計一些更有效的結(jié)構(gòu)，擬牛頓算法及其軟件，分析其收斂性。推動一般結(jié)構(gòu)最優(yōu)化理論的進一步發(fā)展。... 2100433B

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