采樣控制理論

采樣控制理論概述

經(jīng)典控制理論中研究采樣控制系統(tǒng)的組成原理、基本特性和分析設(shè)計方法的一個分支。采樣控制系統(tǒng)不同于連續(xù)控制系統(tǒng)，它的特點是系統(tǒng)中一處或幾處的信號具有脈沖序列或數(shù)字序列的形式。應(yīng)用采樣控制，有利于提高系統(tǒng)的控制精度和抗干擾能力，也有利于提高控制器的利用率和通用性。隨著微型計算機的普及，采樣控制更顯示出其優(yōu)越性。在采樣控制理論中主要采用頻率域方法，它以Z變換為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又稱Z變換法。通過引入Z變換,在連續(xù)控制系統(tǒng)研究中所采用的許多基本概念(如傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)等)和分析設(shè)計法(如穩(wěn)定性和過渡過程的分析方法、控制系統(tǒng)校正方法等)，都可經(jīng)過適當(dāng)?shù)男拚茝V應(yīng)用于采樣控制系統(tǒng)。在現(xiàn)代控制理論中，與采樣控制系統(tǒng)屬于同一范疇的離散系統(tǒng)的分析主要采用時間域方法，它是建立在狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上的，又稱狀態(tài)空間法。采樣控制系統(tǒng)按組成原理分為一般采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)。

一般采樣控制系統(tǒng)這種系統(tǒng)的典型的組成方式如圖1，圖中量測元件的作用是把受控對象的輸出變量變換為適當(dāng)?shù)奈锢砹恳詫崿F(xiàn)反饋，校正裝置的作用是使控制系統(tǒng)獲得滿意的性能。與一般連續(xù)型反饋控制系統(tǒng)不同的是，它包含信號采樣和復(fù)原的裝置。實現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，通常接于誤差信號e(t)的作用點。采樣器有多種采樣形式，最常見的是采樣周期為常數(shù)的等速采樣。當(dāng)系統(tǒng)中包含有幾個采樣器時，它們的采樣周期必須相等，相位必須同步。一切具有開關(guān)功能的裝置，如機械開關(guān)、數(shù)字電路、掃描裝置等都可用來作為采樣器。連續(xù)信號e(t)通過采樣器時, 隨著采樣開關(guān)的重復(fù)閉合和斷開, 變換為一個周期脈沖序列e(t)。e(t)的值在采樣開關(guān)閉合瞬間等于e(t)，而在開關(guān)斷開時等于零。由于受控對象常常是一個具有連續(xù)特性的系統(tǒng),為了使脈沖序列e(t)中的高頻分量不致對它構(gòu)成干擾和引起機械部件的損壞,e(t)在作用于連續(xù)部件之前需要通過具有濾波功能的裝置，復(fù)原為連續(xù)信號。這類復(fù)原裝置稱為保持器。最簡單的保持器是一個低通濾波器，能將脈沖序列轉(zhuǎn)換成在兩個相鄰采樣瞬時之間保持常值的一個階梯信號(圖2)，通常稱為零階保持器。它的傳遞函數(shù)為

，其中T 為脈沖序列的周期。

數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)是采樣控制系統(tǒng)中一種重要的類型。數(shù)字控制系統(tǒng)(圖3)除了包含信號的采樣和復(fù)原外，還包含信號量化和復(fù)原的過程。把信號幅值變換為數(shù)字計算機可接受的數(shù)碼,稱為量化。相應(yīng)的部件稱為模數(shù)變換器,簡稱A/D。使數(shù)碼恢復(fù)為信號幅值的裝置則稱為數(shù)模變換器，簡稱D/A。通常,數(shù)模變換器同時也具備保持器的功能。對信號進行量化的結(jié)果使得有可能采用數(shù)字計算機作校正裝置，通過編制相應(yīng)的程序，以實現(xiàn)按控制規(guī)律所要求的信號校正。數(shù)字校正裝置在通用性和精確性方面具有明顯的優(yōu)越性。

采樣過程的數(shù)字處理為簡化問題處理，在采樣控制理論中，把連續(xù)信號e(t)經(jīng)過采樣器得到的周期性脈沖序列e(t)理想化為一個數(shù)字函數(shù)序列,它的表達式為

式中T 為采樣周期,e(kT)是連續(xù)信號e(t)在采樣瞬時kT(k=0,1,2,...)的值，符號Σ表示所列變量的求和，δ(t-kT)稱為作用于kT時刻的單位脈沖函數(shù)，它的定義是:

為了使采樣信號能恢復(fù)到原連續(xù)信號,采樣周期T的值不能任意選取，必須符合香農(nóng)定理所給出的條件，即要求不等式

成立,其中ω1是原連續(xù)信號的幅頻譜的上限頻率，它的含義是信號的傅里葉變換后振蕩分量中不包含頻率大于ω1 的諧波分量。

采樣系統(tǒng)的基本特性在采樣控制理論中，系統(tǒng)的分析和設(shè)計都是建立在脈沖傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上的。脈沖傳遞函數(shù)表征采樣系統(tǒng)的輸出輸入關(guān)系，這個關(guān)系用系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比來表示。

采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果已知采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)=N(z)/D(z)。那么系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程D(z)=0的根均位于z 復(fù)數(shù)平面上圍繞原點的半徑為1的單位圓內(nèi)。常用的判斷采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法。

①代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)利用雙線性變換

，可把z復(fù)數(shù)平面上單位圓內(nèi)部映射到r復(fù)數(shù)平面上除虛軸以外的左半平面內(nèi)。因此D(z)=0的根均位于z平面的單位圓內(nèi)等價于

的根均位于r平面的左半平面內(nèi)。通過對D(r)=0運用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù),可判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

②奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對反饋中不包含環(huán)節(jié)的采樣控制系統(tǒng)，用

表示斷開反饋(見反饋控制系統(tǒng))時的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。DO(z)=0為系統(tǒng)的開環(huán)特征方程。當(dāng)復(fù)數(shù)變量z由z平面的(1,j0)點出發(fā)沿單位圓逆時針方向變化時，在G0(z)復(fù)數(shù)平面上作出相應(yīng)的G0(z)的軌線。那么，當(dāng) G0(z)軌線沿逆時針方向包圍(-1,j0)點的次數(shù)恰好等于D0(z)=0在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)時，采樣控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是連續(xù)控制系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的推廣。

③根軌跡法把連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡的作圖步驟(見根軌跡法)運用于采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G0(z),可分析采樣反饋系統(tǒng)的特征方程根的分布，從而可用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

采樣系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)采樣系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是指典型輸入作用下系統(tǒng)輸出的響應(yīng)。用R(z)表示輸入作用r(t)的Z變換，G(z)表示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),則輸出響應(yīng)c(t)的Z變換C(z)=G(z)R(z)。通過對C(z)求Z變換的反變換即可定出c(t)。通常分析結(jié)果只能反映瞬態(tài)響應(yīng)在采樣時刻kT(k=0,1,2,...)上的函數(shù)值。

采樣控制系統(tǒng)的校正校正是通過引入某種裝置使控制系統(tǒng)具有所期望的性能指標的方法。常用的校正裝置類型有模擬校正裝置和數(shù)字校正裝置。在一般采樣控制系統(tǒng)中采用模擬校正裝置，它們常是電阻和電容組成的一個網(wǎng)絡(luò)。在數(shù)字控制系統(tǒng)中采用數(shù)字校正裝置，它用數(shù)字處理或數(shù)字計算的方式實現(xiàn)對信號的校正，?？赏ㄟ^編制相應(yīng)的算法程序由數(shù)字計算機來完成。數(shù)字控制器的優(yōu)點，是能以很高的精度來實現(xiàn)所要求的復(fù)雜運算，而且只需要通過改變程序就可產(chǎn)生不同的控制校正作用。相應(yīng)的連續(xù)控制系統(tǒng)校正裝置的設(shè)計方法(見控制系統(tǒng)校正方法)，在經(jīng)過適當(dāng)?shù)男拚?，可用于設(shè)計采樣控制系統(tǒng)的校正裝置。

參考書目

B.C.Kuo, Analysis andSynthesisofSampled-Data ControlSystems， Prentice-HallInc.,Englewood Cliffs, N.J., 1963.